THE EFFECTS OF CLASSROOM MATHEMATICS TEACHING ON STUDENTSrsquo; LEARNING
FUTURE DIRECTIONS FOR RESEARCH THAT CONNECTS TEACHING AND LEARNING
In this section, we identify several principles that we believe will elevate the quality of research that aims to link mathematics teaching and learning. Some of these principles can be applied immediately, and some will require development themselves. We believe that attending to each of the principles, even if they are not fully developed, will increase the chances that research findings will contribute to a growing, coherent, and useful base of knowledge for improving classroom teaching.
Be Explicit About Learning Goals
The distinction we elaborated earlier, between teaching features that support skill efficiency and those that support conceptual understanding, foreshadows the first principle of conducting research on teaching/learning relationships: Researchers must be clear and explicit about the kinds of learning they will study. Talking about teaching, in general terms, as “effective” or “not effective” is no longer helpful. Teaching is effective (or not) for helping students achieve particular kinds of learning goals. Teaching is effective for something and the something must be described and measured as precisely as possible.
We are not saying that a simple correspondence exists between specific features of teaching and specific learning outcomes. This empirical question has yet to be answered. Of course, the data we reviewed earlier indicate already that the correspondence will not be straightforward. The features of teaching that support conceptual understanding might also sup-port skill fluency. Regardless of how these particular relationships are resolved, one lesson from past work is that further progress in understanding connections between teaching and learning depends on being clear about the learning outcomes to be measured and on developing assessments that measure these outcomes directly.
We recommend that the learning goal of mathematical proficiency (National Research Council, 2001) become part of some research agendas in the future. This ambitious goal, which is defined as the integration of five strands of knowledge, has not yet been operationalized through instrument development. Considerable effort will be needed to construct tasks that measure the integration of these strands. Measuring each strand individually misses the point of the construct. It is the integration of the strands that characterizes this promising goal. How to handle these conceptual and methodological challenges presents an immediate task worth pursuing.
Build and Use Theories
Once learning goals are chosen and instruments developed to measure them, theories must guide the research process. Ideally, theories will guide key aspects of the entire process: (1) the generation of testable hypotheses about the connections between teaching and learning, (2) the selection and modification of methodological designs that are appropriate for the questions, and (3) the analyses and interpretation of the data. Earlier, we identified the lack of theories of teaching and learning relationships as a major cause for the absence of better claims. Now, we remind the reader that the existence of theories, even local theories, has great benefits for guiding the design of individual studies and for connecting the findings from individual studies to build a useful knowledge base for teaching.
We underscore one benefit of working from theories—they allow researchers to understand what they are studying. Theories of teaching provide a framework within which to understand the interactions among features of teaching and the reasons that features of teaching might be more or less effective, within different systems, for facilitating particular kinds of learning. Unless researchers, and teachers, understand why teaching influences learning in a particular way, the knowledge is of little use (Rowan et al., 2002). Under- standing the reasons for the effects of teaching allows teachers to adapt the features of interest to their own setting without fatal changes (Brown amp; Campione, 1996). This makes knowledge useful. When connections between teaching and learning are not under-stood, isolated findings of “what works” can become rules or prescriptions for practice that are applied too rigidly or changed inappropriately. Users need to know how to modify or adjust the prescriptions to fit the expected differences from classroom to class- room. This benefit of working from theories becomes critical for our discussion of policy in the concluding section of the chapter.
The process through which theories of mathematics teaching and learning relationships are best developed is not yet clear. Ruthven (2002) described two different processes for building theories of teaching, attributed to French and Italian researchers, respectively. A first approach is characterized by top-down activities in which researchers specify the hypotheses to be tested and teachers implement the tests as prescribed. The second approach is characterized by bot-tom-up activities in which the teachers experiment with various instructional strategies and, together with researchers, detect more general principles that gradually emerge. We believe it is too early in the history of mathematics education research to tell whether one or the other, or a third, approach will be most productive for generating useful theories. All approaches should be considered.
A call to build theories is, fundamentally, a call for researchers to be clear about the hypotheses they use when conducting empirical studies. Hypotheses are researchersrsquo; expressions of how well they under- stand the phenomena under investigation. Explicit statements of hypotheses provide a measure for how the field is advancing in its collective understanding of the phenomena. Thus, hypotheses and
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课堂数学教学对学生学习的影响
连接教学与学习的未来研究方向
在本节中，我们确定了一些我们相信会提高数学教学质量的原则，旨在将数学教学与学习联系起来。其中有些原则可以立即应用，有些则需要开发本身。我们相信，遵循每一项原则，即使它们尚未完全发展，也将促进研究成果形成一个不断增长的、连贯的、有用的知识基础，以改善课堂教学的机会。
明确学习目标
我们之前阐述过的支持技能效率的教学特征和支持概念理解的教学特征之间的区别，突出了开展教与学关系研究的首要原则：研究者必须清楚和明确他们要研究的学习类型。笼统地说，将教学称为“有效”或“无效”不再有帮助。教学对于帮助学生实现特定的学习目标是有效的（或无效的）。教学对某些事物是有效的，而这些事物必须被尽可能精确地描述和衡量。
我们并不是说特定的教学特征和特定的学习结果之间存在简单的对应关系。这个实证问题尚未得到解答。当然，我们早些时候查看的数据已经表明，这些通信不会很简单。支持概念理解的教学特征也可能支持技能流利性。不管这些特殊的关系是如何解决的，过去工作的一个教训是，要想进一步理解教与学之间的联系，就必须清楚要衡量的学习结果，并开发直接衡量这些结果的评估方法。
我们建议数学能力的学习目标（国家研究委员会，2001年）成为未来一些研究议程的一部分。这一雄心勃勃的目标被定义为整合五个知识链，但尚未通过文书开发实现。需要付出相当大的努力来构建衡量这些链的整合的任务。单独测量每一根线并没有把握住结构的关键。这是这一有希望的目标的特点。如何处理这些概念和方法上的挑战是一项紧迫的任务，值得追求。
建立和使用理论
一旦选择了学习目标，并开发了测量它们的工具，理论就必须指导研究过程。理想情况下，理论将指导整个过程的关键方面：（1）生成关于教与学之间联系的可检验的假设，（2）选择和修改适合问题的方法设计，以及（3）分析和解释数据。早些时候，我们发现缺乏教学和学习关系的理论是缺乏更好的主张的主要原因。现在，我们提醒读者，理论的存在，甚至是局部理论，对于指导个别研究的设计，以及将个别研究的结果联系起来，建立一个有用的教学知识库，都有很大的好处。
我们强调了理论工作的一个好处——它们让研究人员了解他们正在研究的东西。教学理论提供了一个框架，在这个框架内，我们可以理解教学特征之间的相互作用，以及为什么在不同的系统中，为了促进特定类型的学习，教学特征可能更有效或更不有效。除非研究人员和教师理解为什么教学以一种特定的方式影响学习，否则知识是没有什么用处的（Rowand等人， 2002）。理解教学效果的原因可以使教师在不发生致命变化的情况下，将兴趣的特点适应于自己的设置（Brown和Campione，1996）。这使知识变得有用。当教学和学习之间的联系不被理解时，关于“什么有效”的孤立发现可能会成为实践的规则或处方，而这些规则或处方被应用得过于死板或改变得不适当。用户需要知道如何修改或调整处方，以适应不同教室之间的预期差异。这种从理论出发的好处对于本章最后一节的政策讨论至关重要。
数学教与学关系理论的最佳发展过程尚不清楚。鲁斯文（2002年）描述了两种不同的教学理论构建过程，分别归因于法国和意大利的研究人员。第一种方法的特点是自上而下的活动，研究人员指定要测试的假设，教师按照规定实施测试。第二种方法的特点是自下而上的活动，在这种活动中，教师实验各种教学策略，并与研究人员一起，发现逐渐出现的更普遍的原则。我们认为，在数学教育研究的历史上，要判断哪一种或另一种或第三种方法最能产生有用的理论还为时过早，应该考虑所有的方法。
要求建立理论，从根本上说，就是要求研究人员在进行实证研究时明确他们所使用的假设。假设是研究人员对所调查现象理解程度的表达。明确的假设陈述为该领域如何在其对现象的集体理解中前进提供了一种度量。因此，假设及其产生的理论不仅有助于研究者进行实证研究，而且为研究者就自己对教与学关系的理解相互交流提供了重要的途径。具体来说，本地假设被明确、精炼和积累，理论就会出现，把个别研究联系在一起，使构建有用的知识库成为可能。
对知识库的功能设定现实的期望
第三个可以告知未来研究议程的原则是承认研究在制定政策和建议实践方面的适当作用。为了给教与学之间的关系的研究定义一个适当的角色，考虑第一个Gage（1978年）的观察。盖奇认为，发展一种由高可预测性和控制性定义的教学科学是不现实的。原因可以从前面提到的记录教与学之间直接联系的挑战中找到。但是，盖奇说，教学艺术的科学基础是现实的。期望有越来越健全的理论和经验基础来作出明智的（尽管仍然不确定）决定是现实的。盖奇引用了哲学家约西亚·罗伊斯1891年的一句话：
用科学的不足来作为对科学一无所知的充分借口是徒劳的。科学本身越不充分，就越需要把它作为我们开始工作的起点”(第20页)。
我们认为，一个现实的期望是，知识库可以为政策和实践提供信息，并可以在一定程度上信心十足地用于决策。当知识库变得更详细、更丰富、更连贯时，自信水平会上升。因为某些领域的研究比其他领域更先进，所以比起实现其他学习目标的决定，关于支持某些学习目标的教学实践的决定将更有信心。
研究声明的不确定性与其他许多涉及人类行为复杂性的专业领域的发现非常相似，以健康和营养领域为例。关于运动、饮食和药物影响的科学研究提供了关于健康生活方式的建议。水果和蔬菜在很多方面都对你有好处。每天服用小剂量的阿司匹林可以降低中风的风险。高纤维饮食可以降低患结肠癌的风险。但是，就像在教育领域一样，大多数建议都是有一定信心提出的，而不是确定的。而随着推荐的具体性增加，置信度就会下降。水果和蔬菜是好的，但哪些是最好的，以及每个人应该吃多少？每个人都应该每天服用一小剂量的阿司匹林吗？年轻人怎么办？那些对阿司匹林有轻微胃部反应的人怎么办？就像教育一样，问题在于太多的交互作用会影响任何一种特定治疗的效果——个人的生理机能、运动量、体重、年龄等等。确切地说明最佳饮食、药物治疗和生活方式是不可能的。但是，可以建立一个知识库，为决策提供信息，增强信心。
关于身体健康的决定和关于教育的决定之间的最后一个平行点是重要的。读者们肯定已经注意到，随着有关营养和药物治疗的新信息的出现，建议发生了变化，有时变化很大。你应该吃黄油还是人造黄油？多年来，人造黄油一直是黄油的健康替代品。有了关于反式脂肪酸的新知识，黄油可能是更好的选择。有关激素治疗和乳腺癌等更严重问题的建议也出现了相当大的变化，甚至出现了逆转。这并不意味着医学界是愚蠢的、懒惰的，也不是说医学界的研究是欠考虑的、有缺陷的。相反，这些问题是极其复杂的，要理清治疗影响结果的所有相互作用和条件是非常困难的。同样值得注意的是，人们普遍认为他们受益于卫生和医疗专业人员所能提供的最新和当前最好的信息，即使它在未来会发生变化。在教育中，教与学的关系也应如此。
这一分析的一个含义是，教育工作者和公众不应该期待教育领域的批判性实验。他们不应该指望单一的研究，无论规模有多大或构思有多好，来回答什么样的教学方式最适合实现特定的学习目标的问题。设计良好的研究能够产生明确的结果，可以提高人们对推荐哪些教学特征的信心水平，但当有更好的信息或条件发生变化时，这些建议总是会发生变化。
我们在总结这一节时提醒读者，并非所有的教育决策都是（或者应该是）基于研究。例如，学习目标是关于什么是社会最重要的价值观和应该被选择的陈述，部分通过关于价值观的公共辩论（Hiebert, 2003年）。概念理解有多重要?它应该优先考虑还是其他能力更重要?研究可以告诉社会什么是可能的，但什么是最重要的。一旦学习目标被选定并明确（至少部分是基于价值判断），研究人员就可以检查有助于实现这些目标的教学特征。
说明不同研究方法的成本和收益
我们提出的提高课堂教与学关系研究质量的第四项原则是，在进行实证研究和解释数据时，要仔细考虑不同研究设计和策略的优缺点。我们通过考虑与三个特定情境相关的问题来阐述这一原则：比较教学方法效果的研究设计；将教学特征与学生学习联系起来的研究设计以及小规模定性研究和大规模定量研究之间的权衡。
不同教学方法效果的比较
比较学生在两种或两种以上教学方法下的学习情况的研究设计通常是准实验（Campbell和Stanley，1963年）。一些方法特征与科学实验的通常惯例是一致的（控制一些变量，同时研究其他变量之间的差异），但有些不是（缺乏随机分配学生的教学方法）。这些比较研究的一个优点是，它们通常具有一定的生态效度。也就是说，他们是在真实的教室里进行的，有着所有常见的复杂情况。教学方法是作为系统来实现的，具有所有通常的交互作用。第二个优势是，这些研究有机会控制一些最明显的替代解释的结果。例如，前测可以显示不同治疗组的学生相似的入门知识和技能，不同组之间的内容可以相似，但不同教学方法所规定的方式不同，课堂观察可以确保方法的忠实实施。
比较教学方法的准实验的一些缺点是设计中固有的，研究者难以控制。确保切实实施一种教学方法的生态有效性也保证了这种方法在其他环境中不会完全被复制。如前所述，包括学生在内的许多课堂条件影响实施方法的方式，从而影响学习结果。研究人员面临的挑战是，无论该系统在各个教室之间自然发生的变化如何，系统内强大的教学特征是否会产生特定的结果。这需要多次重复，这是教育研究人员不常采用的策略。但是，复制是最强大的工具之一，可以用来区分教学的哪些特征会在教学系统的不同实现中产生差异，甚至在不同系统中产生差异。
这些教学比较研究的另一个缺点更容易被研究人员解决。比较研究报告往往没有充分说明所研究的教学特点或方法。没有对所比较的教学特征的完整描述，就无法用将特定的教学与特定的学习联系起来的方式来解释结果。没有这些解释，就不可能理解记录下来的关系。优越的学习报告期间，一个稀薄的“学生为中心”的方法相比，稀薄的“直接教学”方法是没有价值的。关于以学生为中心的方法究竟是什么促进了学生的学习，我们没有办法提出更具体的假设。而正是这些不被理解的联系，在其他条件下实施教学特征时，可能导致“致命突变”（Brown和Campione，1996年）。
在包括对照条件的研究报告中，对教学方法的描述很少往往是特别的缺陷。实验方法的描述通常比较详细，但控制方法的描述可以含糊地说成是“提供传统的指导”或“紧跟着教科书”。缺乏描述的控制方法削弱了实验方法能产生更好结果的说法的教育意义。这是因为这样一种要求的力量取决于控制方法的质量和实验方法的质量。当一种教学方法优于另一种教学方法时，无论比较哪种方法，这种说法在教育上的重要性仅与较弱的方法的质量相同。如果较弱的方法非常弱，或没有充分描述以判断其质量，那么显示替代方法产生更好的结果的结果是不重要的。要评价教学方法之间的比较要求，必须全面描述所有的方法。
我们以一个关于研究问题的建议来结束这一节。历史表明，社会科学研究中的假设几乎总是被证实的（Greenwald，Pratkanis，Lieppe和Baumgardner，1986年）。在预测实验条件优于控制条件时尤其如此。几个著名的研究偏见，如霍桑效应，可能解释了频繁的假设确认。但是，正如格林沃尔德和他的同事（1986）所主张的，这种趋势可以而且应该通过改变研究问题的性质来应对。与其问“方法A比方法B好吗？”研究人员应该问“在什么情况下方法A比方法B好？”在什么情况下，A组的教学特征会比B组的教学特征更有效地促进特定数学学习目标的实现？的确，这正是布朗内尔和莫泽（1949）的研究的特点，并得到了Cronbach（1986）的好评。Cronbach赞同Greenwald和他的同事（1986）的建议，他指出了记录特定教学方法有效的条件的好处，而不是声称一种方法优于另一种方法。
教学与学生学习的关联特征
将教学与学习联系起来的一种常见的研究方法是衡量一系列教学的具体特征和学生的成就收益，然后通过相关技术，确定最符合学生学习的教学特征。被称为过程-产品研究(Brophy和Good，1986；Dunkin和Biddle，1974年），该方法通常侧重于计算教师行为的频率，并将这些与学生在标准化成绩测试中的收获联系起来。该方法主要负责前面描述的教学特征和学生技能效率之间的模式。
相关教学法的优势在于，它能够区分出可能是学习的关键促进因素的教学特征，以及那些可能是教学实施的一部分但可能不是关键因素的特征。例如，教学可能会根据要求学生提供替代解决方案的方法和花在小组开发共享解决方案方法上的时间的维度而有所不同。对于学生的概念发展而言，其中一个特征(或两者之间的相互作用)可能比另一个更重要。精心设计的相关性研究可以提供有用的信息。Schoen，Cebulla，Finn和Fi（2003）提出了一个例子，说明了如何利用相关性来整理课堂上使用改革课程的关键教学变量。虽然传统的过程—产品方法选择了一种特定的教师行为，并使用标准化测试来衡量学习，但相关方法并不局限于这些独立和因变量。这种方法尤其适用于在几乎没有假设的情况下创建初始的地形地图，以说明哪种教学特征可能促进哪种学习。
相关性方法的一个潜在危险是其最大优势的另一面——假设教学由一系列可互换的特征组成，并且单个特征的影响可以独立于它们与系统中其他特征的相互作用来衡量。尽管许多研究人员已经明确,“任何教学行为只有在有意义的关系在教室里发生的其他教学行为”（Good等人，1983年，第20页），们经常被警告，看起来在总结和合成的研究和研究成果纳入教师的专业发展活动。如果不考虑功能是系统的一部分，过程-产品关系的建议可能会像“教师应该更经常地参与过程[X]”那样简单和被误导。因此，正如我们前面提到的，在讨论发展充分的教与学关系理论所面临
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