THE EFFECTS OF CLASSROOM
MATHEMATICS TEACHING
ON STUDENTSrsquo; LEARNING
James Hiebert
UNIVERSITY OF DELAWARE
Douglas A. Grouws
UNIVERSITY OF MISSOURI
TEACHING MATTERS . . .
BUT HOW IS NOT EASY TO DOCUMENT
We begin with the following claim: The nature of classroom mathematics teaching significantly affects the nature and level of studentsrsquo; learning. Such a claim seems obvious. Everyone can remember teachers who were especially effective. Surely, teaching makes a difference. Systematically collected data support most peoplersquo;s personal experience by showing that different teachers produce different levels of student achievement gains (Nye, Konstantopoulos, amp; Hedges, 2004; Sanders amp; Rivers, 1996; Sanders, Saxton, amp; Horn, 1997). In fact, the cumulative effect over several years of effective teachers is substantial. Having good teachers really does make a difference. But what makes mathematics teachers effective? This question does not have an obvious or easy answer. The answer is not found by searching the reports cited above on teacher effectiveness. Many reasons could explain why some of the teachers in these studies were more effective than others. Classrooms are filled with complex dynamics, and many factors could be responsible for increased student learning. This is not one of those pedantic educational issues that researchers get tangled up in by splitting hairs and that, in the end, simply demonstrate what everyone already knows. This is a very central and difficult question to answer. It is, in a real sense, the core question of education. What is it, exactly, about teaching that influences studentsrsquo; learning?
Although laypersons in the street often have quick answers based on recollections of their favorite teachers, documenting particular features of teaching that are consistently effective for studentsrsquo; learning has proven to be one of the great research challenges in education. Our aim in this chapter is to tackle directly the issue of teaching effectiveness—why it has been so hard to document, what is known about it, and how the mathematics education community can learn more. We first examine why it has been so difficult to establish robust links between teaching and learning, then we present a few claims that organize and structure the literature on teaching effects in what we hope are helpful ways, and finally we outline a set of goals and strategies to guide future work in this central and urgent research domain. Although we believe the claims we make about links between mathematics teaching and learning are well supported, we do not present an exhaustive review of the research literature to substantiate them. Rather, we develop arguments to support our claims, select a few studies that illustrate them, and refer the reader to other, more extensive reviews of relevant research. Before considering some of the difficulties facing researchers who try to document the effects of teaching, we need to define what we mean by teaching. Simple definitions, presented in some classic treatments of teaching, are a good starting point. Thorndike (1906) defined teaching as the methods used to help students achieve the learning goals valued by society. Gage (1978) defined teaching as “any activity on the part of one person intended to facilitate learning by another” (p. 14). These definitions are incomplete because, although they contain much of what we mean by teaching, they treat teaching as a one-way relationship—teachers acting on students. In reality, teaching is
influenced by students and has a bidirectional quality. Cohen, Raudenbush, and Ball (2003) captured this quality by saying that “instruction consists of interactions among teachers and students around content” (p. 122). If we use Cohen et al.rsquo;s definition but add back the goal-directedness explicit in Thorndikersquo;s definition and restrict the environments to school classrooms, we have a working definition that sets the boundaries for this chapter: Teaching consists of classroom interactions among teachers and students
around content directed toward facilitating studentsrsquo; achievement of learning goals. Why has it been so difficult to identify features of teaching, as defined here, that show consistent and strong effects on studentsrsquo; learning? Examining this question sets the context for both the claims we make about links between mathematics teaching and learning and the strategies we propose to advance this central research domain in mathematics education. Because the issues surrounding the difficulty of linking teaching with learning are not unique to mathematics, and because they have been addressed in the broader literature, we examine the question both within this broader context and within contexts specific to mathematics.
A Claim That Appears Obvious is Strikingly Difficult to Specify
Despite more than 100 years of work on specifying effective teaching, the field still is searching for reliable, demonstrable recommendations of teaching methods. This is not to say that recommendations have not been proposed. The education literature is
filled with suggestions, recommendations, and sureto-succeed descriptions of teaching. Pestalozzi, one of the great educators of the past, was said to have claimed discovery of “the ultimate method of effective instruction” in the early 1800s(Reusser, 2001, p. 1). A perusal of more recent analyses indicates that Pestalozzis optimism is alive but not widespread.
Reviews of the teaching-learning literature indicate considerable differences of opinion, not just about which teaching methods are effective, but even about how much is known about whether any
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在学生的学习中数学教学的课堂影响
詹姆斯Hiebert
特拉华大学
道格拉斯·a·Grouws
密苏里大学
教学很重要hellip;hellip;
但是如何记录并不容易
我们从以下观点开始:课堂数学教学的性质显著影响学生学习的性质和水平。这种说法似乎是显而易见的。每个人都能记住那些特别有效的老师。当然，教学是有影响的。系统收集的数据支持大多数人的个人经验，显示不同的教师产生不同水平的学生成就收益(Nye, Konstantopoulos， amp; Hedges, 2004;Sanders amp; Rivers, 1996年;Sanders, Saxton， amp; Horn, 1997)。事实上，几年的有效教师的累积效应是巨大的。有好老师真的很重要。但是，是什么让数学老师发挥作用呢?这个问题没有一个明显或简单的答案。通过搜索上面提到的关于教师效率的报告并没有找到答案。很多原因可以解释为什么这些研究中的一些教师比其他人更有效。教室里充满了复杂的动态，许多因素都可以增加学生的学习。这不是那些学究气的教育问题，那些研究人员通过吹毛求疵而纠缠不清的问题，那些问题最终只是证明了每个人都知道的东西。这是一个非常核心而又难以回答的问题。从真正意义上说，这是教育的核心问题。到底是什么影响了学生的学习?
尽管在街上的外行人往往可以通过对他们最喜欢的老师的回忆来快速找到答案，但证明对学生的学习一直有效的教学特点是教育研究中最大的挑战之一。本章的目的是直接解决教学效率的问题——为什么很难记录，关于它已知的是什么，以及数学教育社区如何可以学到更多。我们首先检查为什么它是如此难以建立健壮的教与学之间的联系,然后我们现在一些声称组织和结构的文学教学效果在我们希望的是有用的方面,最后我们列出一系列的目标和战略指导未来的工作这个中心和紧迫的研究领域。虽然我们认为我们提出的数学教学和学习之间的联系的主张得到了很好的支持，但我们没有提出详尽的研究文献来证实它们。相反，我们发展论点来支持我们的主张，选择几个研究来说明它们，并让读者参考其他更广泛的相关研究综述。在考虑试图记录教学效果的研究人员所面临的一些困难之前，我们需要定义什么是教学。一些经典的教学方法给出了简单的定义，这是一个很好的起点。桑代克(1906)将教学定义为帮助学生实现社会所重视的学习目标的方法。Gage(1978)将教学定义为“一个人旨在促进另一个人学习的任何活动”(第14页)。这些定义是不完整的，因为尽管它们包含了我们所说的教学的大部分含义，但它们将教学视为一种单向的关系——教师对学生的行为。事实上，教学是受学生影响，具有双向性。Cohen, Raudenbush和Ball(2003)通过说“教学包括教师和学生之间围绕内容的互动”(第122页)抓住了这一品质。如果我们使用Cohen等人的定义，但再加上Thorndike定义中明确的目标导向，并将环境限制在学校教室，我们就有了一个有效的定义，为本章设定了界限:教学包括教师和学生之间的课堂互动围绕旨在促进学生实现学习目标的内容。为什么很难确定教学的特征，如这里定义的，显示出一致和强烈的影响学生的学习?研究这个问题设置了背景，我们提出了数学教学和学习之间的联系和我们提出的策略，以推进这一中心研究领域的数学教育。因为围绕教学与学习相联系的困难的问题并非数学所独有，而且因为它们已经在更广泛的文献中得到了解决，我们将在更广泛的背景下和特定于数学的背景下研究这个问题。
一项看似显而易见的主张，其实极其难以具体说明尽管关于有效教学的工作已经进行了100多年，但该领域仍在寻找可靠的、可证明的教学方法的建议。这并不是说没有提出建议。教育文献是充满了建议，以及对教学的肯定成功的描述。Pestalozzi是过去最伟大的教育家之一，据说他在19世纪早期发现了“有效教学的终极方法”(Reusser, 2001, p. 1)。仔细阅读最近的分析表明，Pestalozzi的乐观主义仍然存在，但并不普遍。对教学文献的评论显示了相当大的意见分歧，不仅仅是关于哪种教学方法有效，甚至是关于对任何方法是否特别有效的了解有多少。一些研究人员描绘了一个在记录教与学之间联系方面取得良好进展的领域，但其他研究人员看到的进展较少。《教学研究手册》(Handbook of Research on Teaching)第三版包括两章，以相当大的信心回顾了特定教学行为与学生学习之间的联系(Brophy amp; Good, 1986;Rosenshine amp; Stevens, 1986)。最近，Brophy(1999)通过在积累的研究基础上确定有效教学的12条原则，加强了这种乐观主义。与这些乐观的主张相反，Romberg和Carpenter(1986)认为，对教学的研究和对学习的研究构成了数学教育的两个独立领域，很少尝试将学习和教学联系起来。因此，对于两者之间的具体联系几乎没有什么可说的。Romberg和Carpenter不太乐观的观点也出现在同样的手册的第三版中，其中包括Brophy和Good(1986)和Rosenshine和Stevens(1986)的积极治疗。关于教学与学习之间缺乏以证据为基础的联系的观察至少可以追溯到上世纪中叶。美国教育研究协会教师效率标准委员会发布的一份报告得出了这样的结论:经过对教师效率的40年的研究，其间进行了大量的研究，人们可以指出很少的结果，学校主管可以安全地雇用一个教师或授予他的任期，机构可以雇用认证教师，或教师教育教师可以雇用规划或改进教师教育项目。(Barretal。引用于《达菲》1981年第113页)
二十年后，一些评论表明，努力将特定的教学特点与学生的学习联系起来仍然没有产生什么结果(Berliner, 1976;Heath amp; Nielson, 1974)。即使从这些早期的评论开始，继续关注课堂教学对学习的影响，研究人员仍然没有被证据一致说服(Shuell, 1996)。反驳Brophy(1999)的乐观观点，最新第四版《研究手册》的两章关于明确处理教学对学习的影响的教学是绝对谨慎的主张，教学与学习(Floden, 2001;Oser amp; Baeriswyl, 2001)。
研究界关于教学对学习的影响的不确定性可以用从事这项工作的研究人员所面临的一些挑战以及这些挑战已经(或尚未)得到解决的方式来解释。在研究这些挑战之前，我们必须指出，该领域的这种不确定性是有代价的。其中之一是美国主要决策者的看法，即研究并没有为课堂实践提供信息:教育并没有非常依赖证据，无论是在如何培训教师、使用什么样的课程或使用什么样的教学方法方面。(2002年11月10日《纽约时报》J. Traub引用美国教育部长助理格罗弗·怀特赫斯特的话)。为有效的数学教学提供循证描述的压力正在增加。因此，本章的重点问题不仅从研究的角度来看是根本的，而且从政策的角度来看是紧迫的。在建立教与学之间的联系方面取得进一步进展的第一步是理解为什么这么难。在以下几节中，我们将概述试图将教与学联系起来的研究人员所面临的一些困难。这些不是借口;它们是必须解决的严重障碍。
的确，在研究了以下挑战之后，我们希望读者们能把他们的问题从“为什么将教与学联系起来如此困难?”到“是否有可能在特定的特点或教学方法与学生的学习之间建立可靠的联系?”预见到这种挫折，我们继续这一章，提出了几个关于影响学习的教学特征的主张，我们相信，尽管存在挑战，这些主张已经积累了相当多的实证支持。有用的教学理论供不应求没有明确的理论，任何科学领域都很难取得进展。事实上，一些研究人员会认为，在一定程度上，实证研究是由理论指导的领域是科学的(国家研究委员会，2002)。理论之所以有用，是因为它们将研究人员的注意力引导到特定的关系上，为所研究的现象提供意义，对所问研究问题的相对重要性进行评级，并将个体研究的发现放在更大的背景下。理论建议在制定下一个研究问题时应该看哪里，并提供一个组织计划，或一个故事线，在其中积累和组合单独的结果集。Karmiloff-Smith和Inhelder(1974)发表了一篇具有挑衅性的文章，题为《如果你想要领先，就得有一个理论》。他们描述的是儿童努力发展他们对物理现象的理解，但这个类比同样适用于研究人员发展对教与学之间联系的理解。健全的、有用的课堂教学理论还不存在。
认为课堂教学和学生学习之间的联系的理论甚至更不发达(Floden, 2001;Oser amp; Baeriswyl, 2001)。在数学领域，学习的理论比教学的理论更清晰。虽然学习理论为教学研究提供了一定的指导，但它们并没有直接转化为教学理论，不能单独用来刺激或协调关于教对学效果的研究议程。
可能在有用的工作理论中发挥重要作用的教学组成部分或特征已经被确定，数学教学理论的开始已经被提出(例如，布鲁索，1997;戴夫,1973;Gravemeijer, 1994;Leinhardt amp; Greeno, 1986;国家研究委员会，2001年;Schoenfeld, 1998;Simon, Tzur, Heinz， amp; Kinzel, 2004)。这些努力标志着重要的进展。但是，关于如何将教学的关键组成部分结合在一起，形成一个互动的、动态的系统，以实现特定的学习目标的理论，还没有得到充分的发展，以指导随着时间的推移而逐步建立起来的研究工作。在没有指导理论的情况下，研究人员只能在浑浊的水中摸索前进。选择专注于教学关系的研究，往往是因为它们与研究人员的个人兴趣相一致。当研究人员追求不同的研究问题，使用不同的教学和学习方法时，他们的发现往往是相互孤立的。数据不容易积累来揭示模式和一般原则。为了克服这些障碍并继续前进，研究人员需要构建有用的理论。那些试图发展理论的人面临着至少三个主要的概念性挑战。
挑战1:不同的教学方法可能对不同的学习目标有效
根据实证研究结果或理论论证，没有理由相信单一的教学方法对于实现所有类型的学习目标是最有效的。也许有些教学方法更有效，比如记忆数字事实，而其他的教学方法更有效地深化概念理解，还有一些方法更有效地获得复杂程序的顺利执行。
此外，一些教学方法可能在短期内特别有效，而其他方法可能在长期内更好地保持和增加收益。因为一节课中可能包含一系列的目标，而在一个多课单元中几乎肯定会包含一系列目标，所以最好或最有效的教学方法可能是多种方法的混合，并在它们之间及时、灵活地转换。认识到不同的教学方法可能对不同的学习目标有效的一个后果是，事实是，比较一种教学方法和另一种使用生硬的学习措施的实证研究很难解释。这些教学方法被认为是有效的学习方式是什么?
挑战二:教学是一个具有交互特征的系统
一种教学方法包含多种功能，它们以几乎无数种方式相互作用(Cohen等人，2003;设计研究集刊，2003;Stigler amp; Hiebert, 1999)。教学理论必须把教学看作是一个相互作用的特征系统，而不是一个独立的、可互换的特征集合。这意味着，教学特征对学生学习的影响不能独立于它们所运行的系统来衡量。某一特征对学生学习的影响可能取决于它与系统中其他特征的相互作用。两个简单的例子说明了教学的系统性质。1995年第三届国际数学与科学研究(TIMSS)视频研究的一个惊人结果是，日本和美国在八年级数学教学上的差异。
一般来说，日本的课程要求学生解决困难的数学问题，而美国的课程强调低水平技能的实践(Stigler amp; Hiebert, 1999)。对课程的随意观察表明，日本教师比美国教师问了更多的高级问题，但仔细观察就会发现，主要的区别在于被问的高级问题的种类和被问的时间(Kawanaka amp; Stigler, 1999)。日本教师的高阶问题大多是关于学生提出的解决方法，而美国教师的高阶问题大多是关于他们自己演示的方法。日语教学的特点不仅在于高级问题的存在，还在于这些问题如何与所采用的教学体系相适应并加强。关于教学的系统性质的第二个例子来自对教学的一个特征的研究，这一特征通常与当前的建议相关联——要求学生在小组中工作。显然，小组是否能有效地帮助学生实现学习目标取决于许多周围的因素，包括学生在协作工作中获得的知识和技能，以及分配给他们的任务类型(Good, Mulryan， amp; McCaslin, 1992;韦伯,1991;Webb, Troper， amp; Fall, 1995年)。
当本章的第一作者作为TIMSS的一部分回顾录像课程时，他观察到一位八年级老师要求学生分成小组，共同回答“一个12面物体的名字是什么?”学生们互相快速询问是否有人知道这个名字，然后在剩下的时间里讨论非数学话题。这项任务本身不适于合作调查。小组工作的效果是由它所隶属的系统所决定的。教学的系统本质的一个后果是，教学的个性化特征(如高阶问题或使用小团体)对学生学习的影响是难以孤立的。系统的教学，而不是单一的教学特点，影响学生的学习。这并不是说一个系统内的所有特征都对它们对学生学习的影响负有同等的责任。特定功能或功能组合可能比其他功能对系统的影响更大。但任何一种特征的效果都受到相关和相互作用的特征的影响。教学理论必须解释这种基本的复杂性。大量的语境条件无疑会影响学生学习的性质和水平(Berliner, 1976;Dunkin amp; Biddle, 1974)。这些条件包括教室内外的条件——课堂上的学生人数、每天的课程长度、家庭对完成家庭作业的支持等等。与简单地调整或缓和教学对学习的影响相比，某些调节教学对学习影响的变量对教学与学习关系的影响更大。这些变量可以逆转因果流，从而改变教学的本质。例如，学生可以通过微妙或不那么微妙的方式来抵制和改变老师的意图(Cohen等人，2003;接受姑息疗法,1985)。这就是为什么我们调整桑代克和盖奇的教学定义，如前所述，包括双向互动，而不仅仅是单向的互动，从教师到学生。
发展教学理论，特别是将教与学联系起来的理论，显然是一项具有挑战性的任务。缺乏强有力
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