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实施以理论驱动为主导的数学教学促进学生的理解
Rongjin Huang1 · Zikun Gong2 · Xue Han3
摘 要
课例研究（LS）已成为中国几十年来促进教师专业发展的有效途径。本研究探讨了课例研究如何改进教学以促进学生的理解。一个包括教学工作者（实践教学研究专家和大学数学教育者）和中国数学教师在内的课例研究小组探讨并记录了教师参与者如何通过结合两种教学观念：学习路径（LT）和变式教学（VP），将注意力转移到学生的学习上。前者描述了儿童思考和学习的推测路线，以及沿着路线向学习目标迈进的相关任务，而后者则提出了逐步使用系统任务的策略。学习路径和变式教学的概念用于指导整个课例研究过程中的计划，教学和总结。数据包括课程计划，课堂录像，课后讨论，课后测验和教师反思报告。本研究表明，通过建立学习路径和策略性地使用变式任务，课程在学生的理解能力、熟练程度和数学推理方面得到了改进。此外，通过课例研究对学习路径进行了改进。本研究旨在探讨理论驱动型的教学法如何帮助教师提高教学质量并发展理论与实践之间的联系。
关键词：课例研究，学习路径，变式教学，理论驱动课程研究
- 引言
课例研究（LS）是一种起源于亚洲的以实践为基础的专业发展形式，并在世界范围内得到广泛采用（Hart et al. 2011; Lewis et al. 2006）。课例研究的一个显著特点是通过关注学生的学习来改善教学和发展教师的数学专业知识（Murata 2011）。中国课例研究已经实践了几十年（Chen and Yang 2013）,并为中国的教学和教师能力的提高做出了巨大贡献（Huang and Bao 2006；Huang and Han 2015）。研究发现，中国教师在课堂教学过程中试图更多地关注于教师的教学实践，而不是直接关注对学生学习的启发（Chen and Yang 2013；Huang and Bao 2006）。然而，自2011年以来，新课程标准一直期望数学教师关注学生的学习。本研究旨在探索数学教师如何通过理论驱动的课例研究教学方法，发展课堂以促进学生的理解。具体而言，本研究旨在解决以下研究问题：
- 课例研究小组如何改善课堂教学以促进学生的理解？
- 教师如何提高学生的理解能力？
- 课例研究过程如何促进课例研究的指导理论的完善？
- 文献与理论框架
本节讨论了有效数学教学的观点，课例研究基础理论，理论驱动的课例研究模型，以及针对分数除法的课例研究研究课程的研究。
2.1有效的数学课堂教学
尽管在有效数学教学的构成方面存在跨文化差异（Cai and Wang 2010），NCTM（2014）综合了八种基于证据的有效数学教学实践，包括建立以学生学习为重点的数学目标，实施促进推理和解决问题的任务，使用多种数学表示，以及使用学生思维的证据。《中国课程标准》（MOE 2011）强调，教学是教师和学生积极参与课程，相互交流，共同发展对数学概念的理解的过程。数学教学应建立学生在解决问题上的自我探索，引导学生通过实践，思考，探索和交流等方式获得数学基础知识、技能、思维方法和数学实践经验，并不断培养学生形成，提出，分析和解决问题的能力。鉴于中美两国对有效数学教学的共同认识，本研究强调了以下几个方面：设定明确的数学目标，实施促进学生学习的数学任务，培养学生的概念理解能力，并收集学生思维的证据。
2.2课例研究中的两个理论基础
根据中国的文献综述和数学教学实践，课例研究的专家团队（如大学教授和专家）采用了两个具体的学习路径概念（Clements and Sarama 2004）和变式教学（Gu et al.2004；Marton and Pang 2006）指导他们在整个课例研究的活动。
学习路径（LT）已被发展并被提出作为课堂教学的基础（Simon 1995；Sztajn et al.2012)。Simon（1995）在其开创性工作中提出了假设的学习路径作为学生在推进学习目标的过程中可以继续学习的途径。进一步的研究已经将学习路径概念提炼为“通过一系列教学任务描述儿童在特定数学领域中的思考和学习以及相关、推测的路线”（Clements and Sarama 2004, p.83)。研究表明，学习路径的使用可以支持教师的知识增长和教学决策，使教师能够专注于学生的思维，并最终提高学生的成绩（Clements et al.2011)。
变式教学（VP）源于中国数学教学传统，注重运用有意识的教学和数学任务的系统变化，以帮助学生发展新的概念和解决问题的能力（Gu et al.2004)。基于变式的核心概念，研究人员发展了一套变式理论（Marton and Pang 2006；Marton and Tsui 2004)。根据该理论，学习是发展观察事物的新方法，通过特定的比较，人们可以辨别被研究对象的关键特征，从而更多地了解它。例如，将三角形与“非三角形”（例如，正方形，五边形，六边形）进行对比，可以看出三角形的几个关键方面，例如边的数量。然后学生可以通过查看不同类型的三角形（例如直角三角形和等腰三角形）来学习其他关键特征，例如角的大小和边的长度。此外，通过检查外观变化仍然保持不变的部分（例如三角形的位置和大小），学生可以进一步辨别三角形的不变特征，例如所有角度的总和为180度（Lo and Marton，2012)。因此，在数学课堂教学中，创造某种变式模式至关重要：检查什么是不变的（ Marton and Pang 2006；Marton and Tsui 2004)。Lo和Marton（2012）进一步论证“当学习者需要辨别两个以上或更多的关键特征时，最有效的策略是让学习者在遇到同时变化的特征之前，一次辨别一个特征”（p.11）。
为了使用可测量的术语来描述学生的学习，研究人员从变式教学理论（Marton and Pang 2006）建立了包括学习目标，制定学习目标和学习对象在内的框架。学习对象是“学生在上课时或在有限的一系列课程中期望发展的一种特定的洞察力、技能或能力”（Marton and Pang 2006, p.194)。学习目标是教师和学生共同构建的变异和不变性的模式。变式的范围包括必要条件，以适用于制定的学习目标。根据学生课后对书面和口头问题的回答中，我们可以看出学习的生活对象，即学习者所经历的学习对象。
Gu等人（2004）强调使用不同任务促进学生的概念理解的作用。这符合Watson和Mason（2006）的观点，既不同的任务可以用来培养学生的猜想。此外，Marton和他的同事（Marton and Pang2006；Marton and Tsui 2004）也重点研究了在变式教学指导下的课程学习如何影响教学和学生的学习。在这项研究中，我们利用学习对象、实施对象和生活对象的视角，来研究理论驱动的课例研究如何改善课堂教学和学生的学习。
2.3理论驱动课例研究的模型
尽管学习路径的概念表明了描述儿童思考和学习的推测路线以及相关任务的重要性，以便沿着路线走向学习目标，但是如何设计这些任务并将其呈现给学生尚未明确解决。变式教学的概念强调逐步使用系统任务的具体策略，但没有明确关注儿童学习的路径。因此，这两个视角的结合可以为设计和提供课程提供有用的工具：变式教学可以帮助教师根据学习路径策略性地设计和实施任务。在课程设计和实施中，我们通过定位和变式教学创建了一个模型课例研究循环，如图1所示。
图1：课例研究循环
在规划课堂教学时，教师要设定明确的数学学习目标，根据学习路径和变式教学选择适当的数学学习任务，并预测学生对任务的反应。在实施课堂教学时，教师鼓励学生在解决任务的同时表达自己的行为和思想，组织全班学生讨论，并在表达之间建立联系。在课后反思中，通过课堂观察和评估收集学生学习的证据。然后应根据这些证据提出改进建议。
2.4分数除法的教与学研究
对于学生和教师而言，发展分数除法的概念性理解并不是一件容易的事（Carpenter et al.1988)。研究人员已经开发出两种通用的教学方法来教授分数分部（Li 2008)。一种是根据分数的性质和除法的意义，为分数算法提供数学证明(Tirosh 2000)。另一种方法是使用具体或直观演示来解释如何计算分数的除法，例如通过引用解释将整数除法扩展到分数除法（Silvia 1983）或部分解释（Ott et al.1991)。
最近，人们提出了一种补充方法，即使用商和分部模型来理解分数的划分， 并证明算法运作的原因（Sowder et al.2010)。特别是，建议通过解决与序列一致的应用题来教授分数的分解：（1）用分项模型和除法与乘法之间的关系来解决单位分数除以非零整数；（2）用商和除法与乘法之间的关系来解决单位分数除以整数的问题；（3）用推论模型来解决分数除以分数的问题以及除法与乘法之间的关系（CCSSI 2010)。
基于现有研究和等分割的框架（Maloney et al.2014），课例研究的专家团队开发了一个学习路径。学习路径包括五个维度：序列，情境，模型，表示和任务。
序列维度包括八个级别：（1）整数除以整数；（2）分数除以整数，其中被除数是除数的倍数；（3）单位分数除以整数；（4）分数除以整数；（5）整数除以单位分数；（6）整数除以分数；（7）单位分数除以单位分数；（8）分数除以分数。现场情境包括情境和数学情境。模型是指有分和有商的模型。具体表征包括视觉表征，例如使用图片解释算法；语言表征，例如使用口头语言解释算法（即，1秒能有多少个秒？）；以及符号表征（即==或=）。
与每个级别对齐，还有关于模型和任务的说明。例如，在级别4，建议使用部分模型。以下任务为例：与3位朋友分享一份公斤的蛋糕，每个朋友能得到多少？此外，还阐述了三个代表性问题。
3、方法
在本节中，我们首先描述了课例研究的主要组成部分，包括课例研究组、工具和实现课例研究的过程。然后，我们介绍了数据收集和数据分析的方法。
3.1背景：学校，教师和课程学习小组
课例研究发生在中国东南部的一所小学。学校为1至6年级（45个班级）的1500名学生提供服务，其中包括24名数学教师。课例研究小组由三名具有不同经验水平的数学教师和三名教学人员（两名教学研究专家和一名大学数学教师）组成。教学研究专家是受雇于各种实践教育部门并初步与实践教师合作的专家（see Huang et al.（2014）or Gu and Gu（the issue）for details)。表中显示了这些教师和教学人员（如教授和专家）的背景，如表1所示。
表1 表明，大学数学教育学家孔先生在小学和大学教授数学和数学教育方面经验丰富。任先生和邵先生是两位优秀的小学数学教师，具有教学研究活动的经验。两位经验丰富的老师是唐老师和韩老师。陆老师根据专家建议的学习路径教授研究工作。陆老师拥有信息和技术学士学位，并拥有5年的数学教学经验。她曾获多次区级和市级的教学奖。通过以学校为基础的教学研究小组，两位经验丰富的教师与校本研究小组一起制定了初步的课程计划，并观摩和改进了课程。
该专家组负责监督一次课例研究的过程并开发分部的学习路径。校本教师团队负责设计和提供研究课程。专家和教师都参加了观摩研究课程和课后情况汇报。虽然专家对研究课程提出了批评意见，但参与的教师对研究课程的修订做出了最终决定。
3.2进行课堂学习的过程
课例研究小组进行了两个连续的研究课程：一个是关于用分数除以整数的课程，另一个是关于用分数除以分数的课程。一个三阶段的过程（Huang and bao 2006）被用来发展这两个研究课程。在第一阶段，试验教学1中，教师们共同开发了研究课程，陆老师在课堂上进行了教学。在第二阶段，试验教学2，该小组根据第一次汇报和自我反思，努力修改课程计划，陆老师将修订后的课程教给另外一组学生。在第三阶段，该小组试图通过基于磨课和汇报教授同一主题，来开发一门示范性课程。在试验教学1和2期间，小组观察了教学情况，收集了学生的课后测验和陆老师的反思，听取了汇报，并修订了课程计划。在第三阶段，只进行课后测验和教师反思。课程研究于2014年10月进行。两个研究课程分别在60班（26名学生），604名（28名学生）和607名（34名学生）中进行。这三个班2014年春季统一考试合格率为100％，优秀率为98％（602），94.6％
（604），和98.5％（607）。因此，学生们这三类中的数学表现相似。
3.3数据收集
在课例研究期间，我们收集了以下数据：（a）学习路径的前后版本，（b）所有版本的课程计划，（c）研究课程和学生作业单的录像，（d）研究课程后的录像汇报，(e) 课前采访老师的录像，(f) 课后测验（参见附录1），（g）选定的学生课后访谈，（h）示范教师和教学研究专家的反思期刊，以及（i）与教师的课后访谈录音和教学研究专家。为了解决文本的研究问题，由于篇幅限制，我们使用了研究第二课的前七种数据。
3.4数据分析
录音采访、录像课程和汇报材料均以中文逐字记录。数据分析在中文文件上进行，相关的成绩单翻译成英文。
为了解决研究问题1（例如，改进课堂教学），我们检查了两个级别的数据。在宏观层面，根据课程计划和课程录像审查了研究课程的课堂讲授和相关任务
（见表2；与第一节研究课程相关的课堂讲授和相关任务可以在“附录”中找到2”。第1课和第2课之间的本质区别在于使用的解释模型：在第1课中使用了部分模型，而在第2课中使用了商模式）。在微观层面，我们关注的是学习对象的转换，制定学习的对象和生活的学习对象。
表2研究课程中的学习路径和任务顺序
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