Thoughtful Reasoning
When students are confronted with a problem, they often resort to rather primitive ways of thinking. Sometimes well-trained students will con- sciously think of analogous problems previously solved to see if there is anything that these previous experiences can bring to the current problem. When primitive methods are used (which can be called the “peasantrsquo;s way”), a solution is unlikely, and if it emerges it will have taken consider- ably more time than an elegant solution (which can be called the “poetrsquo;s way”) that may result from thoughtful reasoning.
Just such a case follows. Your students will enjoy it for it will show the weakness in their ways and open the door to correcting them in the future. It is also entertaining!
Given a chessboard and 32 dominos, each the exact size of two of the squares on the chessboard, can you show how 31 of these dominos can cover the chessboard, when a pair of diagonally opposite squares has been removed?
As soon as the question (above) is posed, students get busy trying various arrangements of square covering. This may be done with actual squares or with a graph grid drawn on paper and then shading adjacent squares two at a time. Before long, frustration begins to set in since no one is likely to be successful.
Here the issue is to go back to the question. First of all, the question does not say to do this square covering; it asks if it can be done. Yet, because of the way we have been trained, the question is often misread and interpreted as “do it.” A bit of clever insight helps. Ask yourself the question: “When a domino tile is placed on the chessboard, what kind of squares are covered?” A black square and a white square must be covered by each domino placed on the chessboard. Are there an equal number of black and white squares on the truncated chessboard? No! There are two fewer black squares than white squares. Therefore, it is impossible to cover the truncated chessboard with the 31 domino tiles.
8.5 Mathematics in Nature
The famous Fibonacci numbers, a sequence of numbers that was the direct result of a problem posed by Leonardo of Pisa in his book Liber abaci (1202), regarding the regeneration of rabbits (see Unit 1.18), has many other applications in nature. At first sight, it may appear that these appli- cations are coincidental, but eventually you will be amazed at the vastness of the appearance of this famous sequence of numbers.
The original problem posed by Fibonacci asks for the number of pairs of rabbits accumulating each month and leads to the sequence: l, l, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .
Before you enchant your students with the many applications of the Fibonacci numbers, you ought to have them bring to class various species of pine cones, a pineapple, a plant (see below), and, if possible, other spiral examples in nature (e.g., a sunflower).
Have students divide each number in the Fibonacci sequence by its right- hand partner to see what sequence develops. They will get a series of fractions:
1 1
1 , 2 ,
2 3
3 , 5 ,
5 8
8 , 13 ,
13
21 ,
21
34 ,
34
55 ,
55
89 ,
89
144
, ···
Ask students if they can determine a relationship between these numbers and the leaves of a plant (have a plant on hand). From the standpoint of the Fibonacci numbers, one may observe two items: (1) the number of leaves it takes to go (rotating about the stem) from any given leaf to the next one “similarly placed” (i.e., above it and in the same direction) on the stem and (2) the number of revolutions as one follows the leaves in going from one leaf to another one “similarly placed.” In both cases, these numbers turn out to be the Fibonacci numbers
In the case of leaf arrangement, the following notation is used: 3 means
8
that it takes three revolutions and eight leaves to arrive at the next leaf “similarly placed.” In general, if we let r equal the number of revolutions
and s equal the number of leaves it takes to go from any given leaf to one
“similarly placed,” then r will be the phyllotaxis (the arrangement of leaves in plants). Have students look at the figure below and try to find the plant
s
ratio. Draw a diagram on the board and, if possible, provide a live plant.
8
Figure 8.1 In this figure, the plant ratio si 5 .
The pine cone also presents a Fibonacci application. The bracts on the cone are considered to be modified leaves compressed into smaller space. Upon observation of the cone, one can notice two spirals, one to the left (clockwise) and the other to the right (counterclockwise). One spiral increases at a sharp angle, while the other spiral increases more gradually. Have students consider the steep spirals and count them, as well as the spirals that increase gradually. Both numbers should be Fibonacci num- bers. For example, a white pine cone has five clockwise spirals and eight counterclockwise spirals. Other pine cones may have different Fibonacci ratios. Later, have students examine the daisy or sunflower to see where the Fibonacci ratios apply to them.
We noticed that the ratios of consecutive Fibonacci numbers approach the Golden Section ratio (or Golden Ratio).
If we look closely at the ratios of consecutive Fibonacci numbers, we can approximate their decimal equivalents. The early Fibonacci ratios are
2
3 = 0.666667
3
5 = 0.600000
Then, as we go further along the sequence of Fibonacci numbers, the ratios begin to approach Oslash;:
89
144 = 0.618056
144
233 = 0.618026
The Golden
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
3.1考虑周全的推理
当学生们在面对一道题目时,常常会采用一些相当原始的思维方式。有些时候,训练有素的学生会有意识地回想一些以前解答过的类似题目,来看看以前的经历是否能给目前这道题目带来一些解题思路。当他们采用原始方法(可以称为“粗野的方法”)时,不太可能得到解答,而且即使有一个解答浮现出来了,所花费的时间也会大大超过一个巧妙方法(可以称为“富有想象力的方法”)得出解答所需要的时间,而这种巧妙解答可能是经过考虑周全的推理得到的。接下来正是这样一个例子。你的学生们都会喜欢它的,因为此题会揭示他们所采用的那些方法中的弱点,并为以后纠正它们开启大门。另外,这道题目本身也很有趣!
假设有一个国际象棋棋盘和32张骨牌,每张骨牌的大小恰好等于棋盘上的两个方格,当主对角线两端的两个方格被移除后,你能用其中的31张骨牌来覆盖这个棋盘吗?
以上问题出来不久后,学生们马上就会开始忙于尝试各种各样的排列方式来覆盖这些方格。这可以用一些实物方块来做,也可以在纸上画一张网格图,然后每次给相邻的两个方格画上阴影。过了一会儿,沮丧就开始蔓延,因为似乎没人成功。
这里的关键是要回到问题本身。首先,这个问题并不是要让你覆盖这些方格,它问的是这件事能不能做到。不过,由于我们所接受的训练方式这个问题常常被误读并理解成“完成这件事”灵机一动会帮助解决问题。问你自己这样一个问题:“当1张骨牌被放在棋盘上时,它覆盖的是什么样的方格?”放在棋盘上的每张骨牌必定都会覆盖一个黑色方格和一个白色方格。那么在这个被移除两个方格后的棋盘上,黑色方格和白色方格数量相等吗?不!黑色方格比白色方格少两格。因此,用31张骨牌去覆盖这个缺了两格的棋盘,是不可能做到的。提出一些正确的问题,并检查这些问题,是在数学上取得成功的重要方向。本节内容是在一个非常简单,然而又非常深奥的层次上,展示了数学思维之美。
8.5自然中的数学
著名的斐波那契数,是比萨的列奥纳多，在他的《计算之书》(1202年)中提出的一道关于兔子繁殖的题目的直接结果,它在自然界中还有许多其他应用。也许第一次看的时候,这些应用似乎都属巧合,不过最终你会对这个著名数列具有如此众多的表现形式感到非常惊诧。但最终你会惊讶于这个著名的数字序列的庞大的外观。
斐波那契提出的原题询问的是每个月累计的兔子对数,结果导出了这个数列: l, l, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .
在你用斐波那契数的众多应用迷住你的学生们之前,你应该先让他们将以下物品带到课堂:各种松果、一个菠萝一棵植物(见下文),如果可能的话还可以带些自然界中的其他螺旋形样本(例如一棵向日葵)。让学生们用斐波那契数列中的每一个数去除以它右手边的那个数,看看结果构建出的是什么数列。他们会得到一系列分数:
问问学生们,他们是否能够确定这些数与(带到现场的)一棵植物的叶子之间的联系。从斐波那契数的角度来看,你也许会观察到两条:(1)茎杆上从任意一片叶子到下一片“位置相似”(即在它上方并朝着同一方向)的叶子,其间经过的叶子数量;(2)从一片叶子到下一片“位置相似”的叶子,沿着其间经过的这些叶子所需要转过的圈数。在这两种情况下,这些数被证实都是斐波那契数。在树叶排列的那个例子中,要用到以下标记法:的意思是,到达下一片“位置相似”的叶子,需要转3圈,并经过8片叶子。一般而言,如果我们设r为从任意一片叶子到下一片“位置相似的叶子所转过的圈数而s为其间经过的叶子片数,那么就会是叶序(即叶子在植物上的排列方式)。让学生们观察图8.3,并设法求出该植物的比例。你可以在黑板上画出一张图示,如果可能的话,提供一棵活的植物。
在这张图里,植物的比例是5:8
松果也呈现出一种斐波那契数的应用。松果上的苞片被认为是变态叶,被压缩至较小的空间。在对松果进行观察后,我们可以发现两个螺旋，一个向左(顺时针方向),另一个向右(逆时针方向)。一个螺旋以较陡的角度上升,而另一个螺旋则上升较缓。让学们留意上升较陡的这些螺旋,并对它们进行计数,再对上升较缓的那些螺旋做同样的操作。这两个数都应该是斐波那契数。例如,一个白松果有5个顺时针螺旋和8个逆时针螺旋。其他的松果也许会具有不同的斐波那契比例。随后,让学生们细查雏菊或向日葵,看看斐波那契比例适用于它们身上的什么部位。
我们注意到,相继斐波那契数的比例接近黄金分割比(或者叫黄金比例)。
如果我们仔细观察相继斐波那契数的这些比例,你就可以近似地给出与它们等价的小数前几个斐波那契比例是3：2=0.666667 3:5=0.600000
然后,当我们沿着斐波那契数列继续下去,这些比例就开始接近中黄金比例是phi;：
黄金比例是phi;=0.61803398874989484820458683436563hellip;hellip;..
从几何上来说,下图中的点B将线段AC分成黄金比例:AB/BC=BC/ACasymp;0.618034
现在来考虑黄金矩形系列(如上图),这些矩形的尺寸符合 宽/长 的比例为黄金比例： 。如果这个矩形被一根线段EF分割成一个正方形(ABEF)和一个黄金矩形(EFDG),而且如果我们按照相同的方式将每个新的黄金矩形继续不断地分割下去,我们就能在这些相继的正方形中构建出一条“对数螺线”(如上图)。在花卉的种子排列中,以及在海贝和蜗牛的形状中,经常能找到这类曲线。如果可能的话,你应该让学生们带一些例证,以展示这些螺线(如下图)。
作为自然界中的数学的另一个例子,学生们可以留意一下菠萝。这里存在着三种截然不同的六边形螺旋:第一种间隔5的螺旋向着一个方向逐渐盘绕;第二种间隔13的螺旋较陡地向着同一个方向盘绕,第三种间隔8的螺旋向着相反方向盘绕。每一组螺旋都包含一个斐波那契数。每一对螺旋一起给出斐波那契数列。下图的示意图描绘了一个菠萝,它的鳞片都按顺序标上了数字。这个顺序是根据每个六边形到菠萝底部的距离而确定的。也就是说,最下面的鳞片标号0,仅高于它的鳞片标号为1。你可以发现,第42号鳞片略高于第37号鳞片。
看看学生们是否能注意到上图中的三种截然不同的螺旋,它们从底部开始,彼此交叉。一条螺旋是0,5,10,hellip;序列,以微小的角度上升第二条螺旋是0,13,26,hellip;序列,以较陡的角度上升。第三条螺旋是0,8,16,序列,与另两条螺旋方向相反。让学生们找出每个序列中相邻数之间的公差。在本例中,这些公差是5、8、13,它们都是斐波那契数不同的菠萝可能具有不同的序列。不是为了卖弄,而是将这些应用转移到一个迥然不同的场合,让学生们考虑雄性蜜蜂的繁殖。必须告诉他们,并让们明白,雄蜂是由未受精卵孵化出来的,而雌蜂则是由受精卵孵化出来的。然后你可以引导学生们追踪这些雄蜂的繁殖。你们会得出下列模式(下图中f表示雌蜂,m表示雄蜂):
至此应该很明显能看出,这个模式就是斐波那契数列。正如我们先前说过的那样,斐波那契数在自然界、建筑、艺术及许多有趣的其他领域中都有无穷多种应用(有时候是通过与其相关的黄金比例)。让学生们意识到这些应用是相互独立的,这是这些应用所引发的惊异的一部分。
8.6巨蛋穹顶
把柏拉图正多面体或是其他多面体三角化是创造巨蛋穹顶的一种方法,如此一来,不但穹顶表面会覆盖着平整的三角形,穹顶外观也会相当接近球面或半球面。在各种创造巨蛋穹顶的方法中,以一个由12个五边形所构成的正十二面体为例,我们可以在每一个五边形中间取一个点,并从该点往5个顶点画出五条线接着再把这个点往外提升到一个环绕住正十二面体的想象球体上,这时我们手中将会有一个以60个三角形所组成的新多面体,也就一个简易版的巨蛋穹顶。只要我们继续把新多面体的每一面继续三角形划分下去,这个穹顶的外观就会越来越接近一般的球体。
巨蛋穹顶的三角形表面可以有效分散整个结构的压力,就理论上而言,这个坚固耐用的结构可以被放大到难以想象的尺寸。全世界第一个巨蛋穹顶出自德国工程师鲍斯菲尔德在耶拿所设计的天文馆,该馆于1922年落成后对外开放。20世纪40年代末期,美国建筑师富勒也凭一己之力创造出巨蛋穹顶,并以此设计获得美国专利。美国军方对这样的建筑结构印象深刻,还聘请富勒担任军事用途巨蛋穹顶设计图的审查人。除了坚固耐用之外,能用相对少的表面积覆盖住广大空间,有效提升建材使用效率,并减少热量损耗,则是其他巨蛋穹顶受到欢迎的特性。富勒本人就在这样的建筑结构中度过不少岁月,并发现巨蛋穹顶的低风阻可以抵御飓风来袭。一向怀有远大梦想的富勒,曾经大胆提出一个试图用直径达两英里(约32公里)长、中心高度达一英里(约1.6公里)的巨蛋穹顶,覆盖住整个纽约市的计划,好让巨蛋里面的居民可以生活在人为控制的气候下,免除下雨或降雪的烦恼!
8.7超级椭圆蛋
大约在1965年的时候,丹麦科学家、设计与发明家海恩开始推广超级椭圆蛋的造型。这个造型不但美观,也由于它的两端直立时,都能维持令人不可思议的稳定性,因此特别引人注目。若用方程式表达立体的超级椭圆蛋时,先用|x/a|2.5 |y/b|2.5 = 1画出一个椭圆形,其中a/b = 4/3再将这个椭圆形沿着x轴旋转一圈即可,我们更可以把超级椭圆蛋一般化的方程式(|x|2/a |y|2/a)a/b |z|2/b = 1，
其中a和b都大于0
我们可以用各种材质制造海恩的超级椭圆蛋,它新颖的外型在20世纪60年代成为风靡一时的玩具,如今更可以在各种场合看到超级椭圆蛋的存在,像是蜡烛杯台、家具设计,或是在杯子中用来为饮料降温的不锈钢蛋。海恩是在1965年第一次“生出”这颗超级椭圆蛋当时各种相似造型的手持产品遂由丹麦史克雅镇的史克鲁德公司(Skoda)负责生产与销售。1971年,全球最大的一颗、以金属打造重量将近一吨的超级椭圆蛋,被摆放在格拉斯哥凯文厅的外面。
虽然法国数学家拉梅(GabrielLame,1795—1870)研究各式各样超级椭圆蛋的时间远早于海恩,但海恩才是把第一位把超级椭圆蛋变成实体,并且在建筑、家具,甚至是都市设计等各种领域,推广超级椭圆蛋因而声名大噪的人物。
譬如在瑞典斯德哥尔摩市中心环形的交枢纽处,就引用了超级椭圆蛋的造型。在该地的道路规划并不适合采用椭圆形的设计,因为其两个尖端会让在趋近矩形广场周边较为缓慢的车流形成堵塞。海恩在1959年被问到该如何设计,之后让加德纳如此评论当地的道路设计海恩既不太圆也不太方的曲线设计巧妙地融合椭圆与矩形的美学观,居然鬼斧神工地满足了当地的需求,斯德哥尔摩马上就接受了这个25次方(方程式的a/b=6/5)的超级椭圆蛋作为市中心广场的设计基调。
8.8壁纸图群
壁纸图群”一词用以形容在平面上铺排装设,并让最终模式可以在二维空间内一直重复下去的各种方式。目前已知有17种不同的模式,每一种都以变换(例如移动、滑动)或旋转的方式形成各有特色的对称形式。
受人景仰的俄罗斯晶体结构专家费多洛夫,在1891年发现这些模式并加以分类,同时期包括德国数学家薛弗利斯和英国另一位晶体结构专家巴洛,也都各自开始在同一领域中进行研究当时总共发现了13种模式(正式用语是“等距变换”)——其中包括某些旋转对称的模式,剩下四个则尚未被发现。在17种模式中,其中种具有六边形对称特性,其余12种则属于矩形对称模式。加德纳总结道:“17种不同形式的对称模式已经完整呈现在二维空间里无止境重复的所有可能图形。这些对称模式的基本元素只需要经由一些简单的操作像是沿着平面滑动、旋转,或者是镜面反射。这17种对称模式是晶体结构中,非常重要的课题。
根据几何学家考克斯特(H.S.m.Coxeter）,的观察,用重复模式填满平面的艺术手法,在13世纪的西班牙发展到了极致。信奉伊斯兰教的摩尔人用这17种对称模式装饰他们富丽堂皇的要塞宫殿—阿尔罕布拉宫。伊斯兰的传统文化并不鼓励将人像视为艺术品,使得这种具对称性质的壁纸模式变成非常受到欢迎的装饰品。这座位于格拉纳达的阿尔罕布拉宫里面,有许多错综复杂的阿拉伯风格设计,大量用于墙砖、石膏与木雕工艺的装饰上。
荷兰艺术家埃舍尔(M.c.Escher)使用大量对称模式的艺术风格,深受生前造访阿尔罕布拉宫的影响,他曾经描述这趟旅程是“一生中最丰富灵感的来源”。埃舍尔尝试在几何图形为骨架的速写上,重复贴上动物的图像,藉以“化”摩尔人的艺术作品。
8.9射影几何
射影几何通常关注各种形状与其映射成“像”之间的关系,所谓“映像”就是来自这些形状投射到一个平面上,这种射影结果通常也被视为形体的影子。
意大利建筑师阿尔伯蒂基于自己在艺术领域探索透视法的高度兴趣,成为最早一批研究射影几何的少数先驱。广义来讲,文艺复兴时期的艺术家及建筑师都试图找出如何在平面画作上展现三度空间物体的方法。阿尔伯蒂有时候会在自己与风景之间放置一块玻璃,然后闭上一只眼睛,接着就在玻璃上某些特定置标记出风景的映像所形成的点,结果就产生一幅能够忠实展现三度空间景致的平面图画。
法国籍的笛沙格是第一位正式研究射影几何的专业数学家
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[431449]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
