SCIENCE CHINA

Mathematics

. ARTICLES . July 2012 Vol. 55 No. 7: 1381–1386

doi: 10.1007/s11425-012-4385-z

Maximal subalgebras of the general linear Lie algebra containing Cartan subalgebras

WANG DengYin^lowast;, GE Hui amp; LI XiaoWei

College of Science, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China Email: wdengyin@126.com

Received January 5, 2011; accepted December 26, 2011; published online March 7, 2012

Abstract Let gln(R) be the general linear Lie algebra of all n times; n matrices over a unital commutative ring R with 2 invertible, dn(R) be the Cartan subalgebra of gl_n(R) of all diagonal matrices. The maximal subalgebras of gl_n(R) that contain dn(R) are classified completely.

Keywords maximal subalgebras, the general linear Lie algebra, Cartan subalgebras, unital commutative rings

MSC(2010) 17B05, 17B20, 17B30, 17B50

Citation: Wang D Y, Ge H, Li X W. Maximal subalgebras of the general linear Lie algebra containing Cartan subalgebras. Sci China Math, 2012, 55(7): 1381–1386, doi: 10.1007/s11425-012-4385-z

Introduction

Maximal subalgebras of Lie algebras over fields have been studied by a number of authors. In 1952, Dynkin [1, 2] published two remarkable papers classifying semisimple subalgebras and maximal subalgebras of finite-dimensional simple Lie algebras over fields. These classifications have proved useful in the study of integrable systems and in the representation theory. In 1997, Shechepochkina [3] generalized Dynkinrsquo;s result to “classical” Lie superalgebras over fields. Towers [5] studied the Lie algebras all of whose maximal subalgebras have codimension one. Towers [6] studied the relationships between the Lie algebra structure and the maximal subalgebras that contain Engel subalgebras. Towers [7] investigated those Lie algebras all of whose maximal subalgebras have abelian supplements, those that have nilpotent supplements, those that have nil supplements, and those that have supplements with the property that their derived algebra is inside the maximal subalgebra being supplemented. Ten [4] investigated nonsimple maximal subalgebras of classical Lie algebras over a field of positive characteristic. Searching in the literature we found that no reports (up to our knowledge) classified maximal subalgebras for Lie algebras over rings. Encouraged by the papers [1–7], in the present paper, we seek to determine all maximal subalgebras of the general linear Lie algebra gln(R) containing the Cartan subalgebras d_n(R) for R a unital commutative ring.

Now, let us fix some notations. Let R be a unital commutative ring. We denote by Max(R) the set of all maximal ideals of R and m(R) the number of maximal ideals of R. For a maximal ideal I of R, we

denote by R/I the residue class field of R relative to I. Let M_mtimes;n(R) denote the set of all mtimes; n matrices over R. M_ntimes;n(R) is abbreviated to M_n(R). If the bracket operation is defined as [x, y] = xy minus; yx, then M_n(R) becomes a Lie algebra, which we call the general linear Lie algebra over R and is rewritten as

lowast;Corresponding author

times;c Science China Press and Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 math.scichina.com

1382 Wang D Y et al. Sci China Math July 2012 Vol. 55 No. 7

gln(R). gln(R) has the standard basis consisting of the matrices e_ij, having 1 in the (i, j) position and 0 elsewhere. Since e_ije_kl = delta;_jke_il, it follows that

[eij , ekl] = delta;jkeil minus; delta;liekj.

Let d_n(R) (resp., b_n(R)) denote the subalgebra of gln(R) consisting of all diagonal matrices (resp., upper triangular matrices). Let W denote the set consisting of all n times; n permutation matrices (the matrix having only one nonzero element 1 in each row and each column). Under the usual product operation,

W forms a group and it is isomorphic to the symmetric group S_n. Let E_ij denote the matrix obtained by permutating the i and j rows of the identity matrix. Then E_ij is a permutation matrix and all such matrices generate W .

Construction of certain maximal subalgebras

Let X be a subalgebra of gln(R) containing d_n(R). Define

A^X = {a isin; R | ae_ij isin; X}.

ij

Lemma 2.1. Let R be a unital commutative ring with 2 invertible.

• 1. If x = (x_ij ) isin; X, then x_ij isin; A^X.

ij

• 1. All A^X are ideals of R, and A^X = R for i = 1, 2,... , n.

ij ii

• 1. A^X A^X sube; A^X .

ij

jk

ik

• 1. X = Sigma;1trade;i,jtrade;n

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包含Cartan子代数的一般线性李代数的极大子代数

WANG DengYin^lowast;, GE Hui amp; LI XiaoWei

摘要：令gln(R)为2可逆的单元交换环R上所有ntimes;n矩阵的一般线性李代数，dn(R)为所有对角矩阵gln(R)的Cartan子代数。对包含dn(R)的gln(R)的最大子代数进行了完全分类。

关键字：极大子代数;一般线性李代数;Cartan子代数

引用:WANG DengYin^lowast;, GE Hui amp; LI XiaoWei。包含Cartan子代数的一般线性李代数的极大子代数。引用本文:Sci中国数学，2012,55(7):1381-1386,doi: 10.1007/s11425-012-4385-z。

1 介绍

许多作者研究了域上李代数的极大子代数。1952年，Dynkin[1,2]发表了两篇杰出的论文，对域上有限维单李代数的半单子代数和极大子代数进行了分类。这些分类在可积系统的研究和表示理论中被证明是有用的。1997年，舍赫波奇基娜·[3]将Dynkin的结果推广到“经典”域上的李超代数。Towers[5]研究了其极大子代数均为协维1的李代数。研究了李代数结构与包含恩格尔子代数的最大子代数之间的关系。Towers[7]研究了那些李代数它们所有的极大子代数都有阿贝尔补，那些有幂零补，那些有零补，那些有补的性质是它们的衍生代数在被补的极大子代数内。研究了经典李代数在正特征域上的非简单极大子代数。在文献检索中，我们发现没有文献(据我们所知)对环上李代数的极大子代数进行分类。在文献[1-7]的启发下，本文研究了R为单元交换环的一般线性李代数gln(R)包含Cartan子代数dn(R)的所有极大子代数。现在，我们来修正一些符号。设R是一个单元交换环。我们用Max(R)表示R和m(R)的所有极大理想的集合

用R/I表示R相对于I的剩余类域，令Mmtimes;n(R)表示R上所有mtimes;n矩阵的集合，Mntimes;n(R)简写为Mn(R)。如果括号运算定义为[x, y] = xy - yx，则Mn(R)为李代数，我们称之为一般线性李代数除以R重写为asgln(R)gln(R)有由矩阵e_ij组成的标准基，在(i, j) 处有1，在其他地方有0。由于 e_ije_kl = delta;_jke_il,有[eij , ekl] = delta;jkeil minus; delta;liekj.

让dn (R)表示由所有对角矩阵，组成的gln(R)的子代数（上三角矩阵）。设W表示由所有ntimes;n排列矩阵组成的集合(每行每列只有一个非零元素1的矩阵)。在通常的产品操作下，

W形成一个群，它与对称群Sn同构。设Eij表示单位矩阵的i行和j行置换得到的矩阵。那么是一个置换矩阵，所有这些矩阵生成W。

2 某些极大子代数的构造

设X是包含dn(R)的gln(R)的子代数。定义A^X = {a isin; R | ae_ij isin; X}.

ij

引理2.1。设R是一个2可逆的单元交换环。

（i）如果=(),则isin;

（ii）在R上所有都是理想的，并且当=1,2,3hellip;hellip;n时，=R

（iii）

（iv）X=

证明。对于(i)，假设x = (e_ij)isin;x。当i = j时，通过对x的假设，isin;x .所以，isin;。如果，有。

由此得出结论。

所以所以2isin;x，这进一步意味着isin;

对于(ii)显然， = R对于i = 1,2，hellip;,n。当ine;j,假设a, bisin;,

cisin;r。由于a和b都位于X中，因此(aplusmn;b)isin;X，得到aplusmn;bisin;。。通过ca = [c, a]isin;X我们有caisin;。因此所有的都是R的理想。

对于(iii)，如果i = k，那么结果显然成立。现在假设我i=ne;k,让aisin;, bisin;。那也就是说，aisin;X和bisin;X。ab = [a, b]isin;X表明abisin;。所以sube;。

对于(iv),显然，相反，让xisin;X，确认

1. 表明了这一点isin;，对于每一对(i, j)，，所以。导致。证明是完整的。

现在，我们构造了一类包含dn(R)的gln(R)的极大子代数。让Phi;表示集合{1,2,hellip;n},让Delta;Phi;的一个非凡的子集,即。,Delta;ne;Phi;Delta;ne;empty;。表示由Delta;minus;互补的Delta;Phi;。换句话说,Delta;cap;Delta;minus;=empty;Delta;cup;Delta;minus;=Phi;。让我成为一个最大的理想R .我们表示M (I,Delta;)gln的子集(R)组成的矩阵x = ()满足isin;i,每当(i, j)isin;Delta;minus;times;Delta;。换句话说,M (I,Delta;)=, 当 =I，(I, j)isin;Delta;minus;times;Delta;;Aij = R。

引理2.2。让R任意unital交换环,I是R中最大的理想,Delta;Phi;的一个非凡的子集。然后M (I,Delta;)是一个最大的子代数gln包含dn (R) 。

证明。显然,M (I,Delta;)包含dn (R)。假设isin;r和x = (), y = ()isin;M (I,Delta;)。, isin;我每当(I, j)isin;Delta;minus;times;Delta;。因此 isin;我和risin;I当(I, j)isin;Delta;minus;times;Delta;。这意味着x y = ( )和rx = (r)两个在M (I,Delta;)中。Delta;M(I)是一个r模。现在,假设xy = z = () ，=。表明xyisin;M (I,Delta;),我们需要显示当=isin;(I, j)isin;Delta;minus;times;Delta;。事实上,如果kisin;Delta;,那么(I,k)isin;Delta;minus;times;Delta;,因此isin;I,

导致，isin;i如果kDelta;,即。kisin;Delta;minus;,那么(k, j)isin;Delta;minus;times;Delta;。这表明，isin;I，也可以导得isin;I。因此，对于k = 1,2，hellip;M, n。因此,xyisin;(I,Delta;)。同样,yxisin;M (I,Delta;)。所以(x, y) = xyminus;yxisin;M (I,Delta;)。

现在,我们看到M (I,Delta;)是gln的子代数包含dn (R) 。

假设X是gln (R)的子代数满足M (I,Delta;)C Xsube;gln (R)和假设X M (I,Delta;)。把x写成x = ()然后存在某些(p, q)isin;Delta;minus;times;Delta;这样 .通过引理2.1我们知道isin;x 。因为I是R中的一个最大的理想,我们可以找到某些bisin;R,aisin;I这样b a = 1。那么接下来= [b, ] aisin;X。

现在对任何Iisin;Delta;minus;,因为(i, p)notin;Delta;minus;times;Delta;,由此可见,isin;M (i,Delta;)sube;X,导致 = (, )isin;X。此外,对于任何(i, j)isin;Delta;minus;times;Delta;,由isin;M (i,Delta;)sube;X(注意,(q, j)isin;/Delta;minus;times;Delta;),我们有 = (, )isin;X(记得isin;X)。如果(k, l)notin;Delta;minus;times;Delta;,假设在M (i,Delta;),我们知道isin;M (i,Delta;)sube;X ，X包含所有。这意味着X = gln(R)。因此,M (I,Delta;)是一个最大的子代数gln包含dn (R) 。

引理2.3。Delta;M (I)是标准当且仅当它包含bn (R)。

证明。假设M (I,Delta;)是标准Delta;=Delta;s = {1,2,hellip;,s}。如果ile;j,那么isin;M (i,Delta;)当(i, j)notin;Delta;minus;times;Delta;。由此可见,bn (R)sube;M (I,Delta;)。相反,如果M (I,Delta;)不是标准的,我们假设Delta;= {j1, j2,, js}sube;Phi;当j1lt; j2 lt; hellip;hellip;lt; js。然后我们可以找到特定的k(1le;kle;s)使得k lt; jk。假设p是p lt; jp的最小值。换句话说，j1 = 1, j2 = 2，hellip;， jp - 1 = p - 1，但是p lt; jp。然后有pisin;Delta;minus;，pisin;Delta;。因此isin;bn (R)但notin; M (I,Delta;)。Delta;M(I)不包含bn (R)。

3 当R是一个域的时候

在这一节中，我们确定了包含dn(R)的gln(R)的所有极大子代数，特别是当R是一个域的情况下。

定理3.1：设R是一个特征域，而不是2。那么X是gln(R)的极大子代数。包含dn (R)当且仅当存在一个非平凡的子集Delta;，使得X = M(0,Delta;)。

证明：因为R是一个域，我们知道，R有0理想作为它唯一的固有子域。然后由于引理2.2知道每个M(0,Delta;)都是Delta;Phi;的极大子代数,gln(R)包含dn (R).

反之，设X是含DN(R)的Gln(R)的极大子代数。引理2.1表明

其中 = {aisin;R | aisin;X}是R的理想，R是一个字段的事实说明每个必须要么是0，要么是R。由于X恰好包含在gln(R)中，我们可以找到不同的p和q，使得 = 0。让Delta;= {jisin;Phi;| = 0}。然后qisin;Delta;，pnotin;Delta;。所以Delta;Phi;的非平凡的子集。使用Delta;我们构造最大子代数米(0,Delta;)gln (R)。现在我们希望表明,X认同M(0,Delta;)。最大的假设我们只需要表明,Xsube;M(0,Delta;)。回顾M(0，Delta;)的构造我们发现只要表明= 0时(i, j)isin;Delta;minus;times;Delta;。否则,如果isin;Delta;minus;times;Delta;， ne;0,然后= R.然而,构造Delta;,我们知道=R，引理2.1表明，，由此得出结论，与事实相矛盾，所以X=M(0,Delta;)。

4 R是环的情形

我们现在考虑当R是一个单位交换环时的情形。

定理4.1。设R是一个2可逆的单元交换环则X是含DN(R)的Gln(R)的极大子代数当且仅当存在Phi;的一个非平凡子集Phi;和一个极大理想 R的I使得X=M(I，Delta;)。

证明。引理2.2表明,M (I,Delta;)是一个最大的子代数gln (R)包含dn (R)当我是一个最大的理想R和Delta;Phi;的是一个重要的子集。反过来假设X是包含dn(R)的gln(R)的极大子代数。引理2.1已经证明了这一点。

其中={aisin;R/aisin;X}是R的理想，X包含在Gln(R)中，证明了存在不同的p和q，使得ne;R.设I是包含的R的极大理想，并且

设pi;是R到剩余类R/I的正则同态，。定义sigma;的地图

gln (R) gln (R / I)发送()至 (),其中意味着pi;()。很容易看出，sigma;是内核Gln(I)的满射同态，它将DN(R)发送到DN(R/I)。注意到sigma;(X)的每个元素的(p，q)位置为零，我们知道sigma;(X)是一个适当的子代数gln (R / I)，如果一个子代数Gln(R/I)满足sigma;(X)sube;Msube;Gln(R/I)，分别考虑sigma;(X)、M和Gln(R/I)的原始图像，得到sigma;(X)、M和Gln(R/I)的原始图像

X gln(I) sube; sigma;^minus;1(M ) sube; gln(R).因此sigma;minus;1 (M)是gln (R)的子代数，通过X上的极大假设，我们知道sigma;minus;1(M)=Gln(R)。因此M = gln(R/I)。，我们得出了sigma;(X)是Gln(X)的极大子代数的结论。应用定理3.1,我们可以找到一个非凡的子集Delta;Phi;,sigma;(X) = M(0,Delta;)。应用sigma;minus;1获得X gln(I) = M (0, Delta;) gln(I).

实际上，M(0，Delta;)Gln(I)正是M(I，Delta;)。那我们就有了X sube; X gln(I) = M (I, Delta;).X上的最大假设是X=M(I，Delta;)。

推论4.2.设R是2可逆的单位交换环。然后Gln(R)有m(R)(minus;2)，包含dn(R)的极大子代数，其中m(R)是R的极大理想数。

证明。定理4.1很容易看出含有Gln(R)的极大子代数的个数。dn(R)是由R的最大理想数和R的选择数决定的。非平凡子集Delta;ofPhi;的选择数恰好是。因此，这个推论是正确的。

我们现在证明了每一个M(I，Delta;)在一个置换矩阵下是共轭的。

定理4.3.设R是2可逆的单位交换环。若X是含dn(R)的gln(R)的极大子代数，则存在置换矩阵Pisin;W，使得X=PM(I，Delta;s).

证明。通过定理4.1，我们可以假定X=M(I，Delta;)，其中I是R和Delta;的极大理想。Phi;的一个非平凡子集。Psi;(X)={(i，j)/1le;ilt;jle;n，isin;X}。Psi;(X)中的元素数用表示。现在我们在上使用归纳法来证明这个结果。如果=n(nminus;1)，则对每对(i，j)的isin;X )与ilt;j，因此X包含bn(R)。引理2.3表明X已经是标准的。

现在，假设推断适用于=m 1，其中0le;mlt;1n(nminus;1)。对于当=m时，至少存在一个ilt;j的对(i，j)，使得X，那么我们可以知道p，令1le;ple;nminus;1使得X，实际上，如果，i=1，2，hellip;，nminus;1，则很容易检验ilt;j的所有对(i，j)的isin;X成立。也就是说，X=M(I，Delta;)表示(p 1, p)Delta;minus;times;Delta;。，。现在，我们考虑内部自同构Int的作用。它稳定DN(R)，使得，并且它置换了集合{/ilt;j，(i，j)=(p，p 1)}。这些观察表明，Psi;()是m 1.所以，归纳假设，我们可以知道Pisin;W，当P=M(I，Delta;)。X = E_{p,p 1}PM (I, Delta;_s)P^minus;1E^minus;1 .

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