Prospective middle grade mathematics teachersrsquo; knowledge of algebra for teaching
Rongjin Huang Middle Tennessee State University, USA
Gerald Kulm Texas A amp; M University, USA
Keywords:
Knowledge of algebra for teaching Prospective mathematics teachers Mistakes
The concept of function
Abstract:
This study examined prospective middle grade mathematics teachersrsquo; knowledge of algebra for teaching with a focus on knowledge for teaching the concept of function. 115 prospec-tive teachers from an interdisciplinary program for mathematics and science middle teacher preparation at a large public university in the USA participated in a survey. It was found that the participants had relatively limited knowledge of algebra for teaching. They also revealed weakness in selecting appropriate perspectives of the concept of function and flexibly using representations of quadratic functions. They made numerous mistakes in solving quadratic or irrational equations and in algebraic manipulation and reasoning. The participantsrsquo; weakness in connecting algebraic and graphic representations resulted in their failure to solve quadratic inequalities and to judge the number of roots of quadratic func-tions. Follow-up interview further revealed the participantsrsquo; lack of knowledge in solving problems by integrating algebraic and graphic representations. The implications of these findings for mathematics teacher preparation are discussed.
1. Background
Equipping teachers with appropriate knowledge needed for teaching is the key to high-quality teaching that aims at achieving high-quality student learning (Conference Board of Mathematics Science [CBMS], 2001; National Mathematics Advisory Panel [NMAP], 2008). Some studies showed that U.S. elementary teachers revealed their weakness in understanding fundamental mathematics knowledge (Ma, 1999) and U.S. pre-service middle school teachers did not receive an adequate preparation in content knowledge and pedagogical content knowledge (Schmidt et al., 2007) when compared with their counterparts in East Asia. It is a consensus that the U.S. teachers need to be equipped with much more knowledge for teaching (Kilpatrick, Swafford, amp; Findell, 2001; NMAP, 2008; RAND Mathematics Study Panel, 2003). In particular, some specific requirements for teacher preparation programs have been recommended. For example, the Conference Board of Mathematical Sciencersquo;s (CBMS, 2001) recommendations call for the teaching of mathematics in middle school (grades 5–8) to be conducted by mathematics specialists. These teachers should have at least twenty-one semester hours in mathematics, including at least twelve semester hours of fundamental ideas of mathematics appropriate for middle school teachers. Yet, it is not clear whether prospective teachers who meet these requirements have appropriate knowledge for teaching. Thus, the purpose of this study is to examine the strengths and weakness of a group of teachers who meet the CBMS recommendations through a deep analysis of their knowledge of algebra for teaching with a particular attention to their errors and gaps in understanding.
2. Theoretical framework
In this section, we describe the conception of teachersrsquo; knowledge of algebra for teaching. We then discuss a model of understanding the concept of function, which is the core component of school algebra. Finally, we summarize research findings on mistakes and misconceptions in algebra learning and teaching.
2.1. Teachersrsquo; knowledge of algebra for teaching
In the past decades, researchers have focused on conceptualizing and measuring particular mathematical knowledge needed for teaching (MKT) . Recently, growing attention has been given to defining and measuring teachersrsquo; knowledge needed for teaching specific areas . Since algebra is a core component of school mathematics,researchers have proposed different models defining teachersrsquo; knowledge of algebra for teaching described seven dimensions of content knowledge including essential features, different represen-tations, alternative ways of approaching, the strength of the concept, basic repertoire, knowledge and understanding of a concept, and knowledge about mathematics. Doerr (2004) specified the pedagogical content knowledge (PCK) including knowledge about studentsrsquo; errors and misconceptions in algebra. Different from the categorization of content knowledge and PCK, Floden and McCrory (2007) proposed a model defining knowledge of algebra for teaching (denoted by KAT here-after). According to this model, the knowledge of algebra for teaching includes school mathematics knowledge, advanced mathematics knowledge, and teaching mathematics knowledge. School mathematics knowledge (denoted by SM) refers to the algebra covered in the curriculum from K-12. Advanced mathematics knowledge (denoted by AM) includes calculus and abstract algebra, which is related to school algebra. Teaching mathematics knowledge (denoted by TM) refers to typical errors, canonical uses of school mathematics, and curriculum trajectories and so on. The contents mainly covered two major themes: expressions, equations and inequalities; and functions (linear and nonlinear) and their properties. Although there are dif-ferent approaches to dealing with algebra ,these two brands of content are core components in algebra . Moreover, Floden and McCrory (2007) also developed relevant instruments for measuring KAT. Based on our research purposes, we then developed our own test through extending their instrument.
2.2. Understanding of the concept of function
Process-obje
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未来中学数学教师的代数教学知识
美国中田纳西州立大学 黄荣进 ；
美国德克萨斯A＆M大学 杰拉尔德库尔姆
关键词：掌握代数教学知识 未来数学教师 错误 函数的概念
摘要：
本研究考察了未来中学数学教师的代数知识教学，重点研究了函数概念知识的教学。115位来自美国一所大型公立大学数学和科学中学教师准备的跨学科项目参加了一项调查，结果发现参与者对代数的教学知识相对有限，在选择适当的函数概念角度和灵活运用二次函数表示方面也存在不足，他们在求解二次或因次方程以及代数运算和推理方面犯了很多错误。参与者在联系代数和图形表示方面的弱点导致他们无法求解二次不等式并且无法判断二次函数的根数，后续访谈进一步揭示了参与者缺乏解决代数和图形表示相结合问题的知识，讨论了这些研究结果对培养数学教师的启示。
1 背景
为教师配备合适的教学所需知识是实现学生高质量学习的高质量教学的关键（数学科学会议委员会[CBMS]，2001年；国家数学咨询小组[NMAP]，2008）。研究表明，美国
小学教师在理解基础数学知识方面存在不足（Ma，1999)，而与东亚的同行相比美国职前中学教师没有充足地准备内容知识和教学内容知识（施密特等人，2007）。大家一致 认为，美国教师需要具备更多的教学知识（Kilpatrick，Swafford和Findell，2001;nmap, 2008年；兰德数学研究小组，2003年），特别是对教师准备方案提出了一些具体要求。例如，美国数理科学会议委员会（cbms，2001年）要求数学教师进行中学（5 - 8年级）的数学教学至少应该有二十一个学期的数学课时，包括至少十二个学期的数学基本概念，适合中学教师但是目前尚不清楚符合这些要求的未来教师是否具备适当的教学知识。因此，本研究的目的是通过对一群符合CBMS教学要求的教师的代数教学知识进行深入的分析，探讨他们的优缺点特别是关注他们在代数教学方面的错误和对代数知识理解上的差距。
2.理论框架
在本节中，我们描述了教师代数教学知识的概念，然后讨论了一个理解函数概念的模型，这是学校代数的核心组成部分，最后总结了关于代数学习和教学中存在的错误的研究结果。
2.1 教师对代数教学的认识
在过去的几十年中，研究人员一直致力于测量概念化教学所需的特定数学知识（MKT），最近人们越来越关注定义和测量在特定教学领域所需的知识。由于代数是学校数学的核心组成部分，所以研究人员提出了不同的模型来定义教师的代数教学知识。例如，Even（1990）描述了内容知识的七个维度，包括基本特征，不同的表征，替代的接近方式，概念的力量，基本的项目知识，理解的概念和数学知识。Doerr(2004) 明确了教学内容知识（PCK），包括关于学生在代数中的错误和误解的知识。与内容知识和教学内容知识的分类不同，Floden和McCrory（2007）提出了一个定义教学代数知识的模型（在此后由KAT表示）。根据这个模型，代数教学的知识包括学校数学知识，高等数学知识和数学教学知识。学校数学知识（用SM表示）是指K-12高等数学知识（AM）课程中涵盖的代数，包括微积分和抽象代数，它与学校代数有关。数学教学知识（用TM表示）是指典型的错误，学校数学的规范用法，课程轨迹等，内容主要包括两大主题：方程式与不等式，函数（线性和非线性）及其性质，虽然有不同的方法来处理代数，这两个主题的内容是代数的核心组成部分。此外，Floden和McCrory（2007）基于我们的研究目的开发了测量KAT的相关工具，我们通过扩展他们的仪器开发了我们自己的测试。
2.2 理解函数的概念
过程-对象二元性是一种被普遍接受的数学概念发展的模型。关于函数概念的发展，从过程的角度来看，函数被认为是x和y的连接：对于x的每个值，函数仅有一个对应的y值。另一方面，对象角度将函数或关系及其任何表示视为实体。术语 “表示既指过程又指产品”指的是以某种形式和形式本身捕捉数学概念或关系的行为。因此，表征是数学活动的重要组成部分，也是捕捉数学概念的工具。不同的表征在帮助学生理解函数概念方面起着不同的作用。例如，虽然代数表示可以帮助学生将函数理解为一个过程而图形表示有助于学生将函数理解为对象，因此正确理解针对不同情况对这两种观点使用适当的表述是很重要的。
2.3 代数学习和教学的困难
学生在学习代数方面面临巨大的挑战，在学习代数和函数的过程中已经发现了各种错误和误解。在符号和表达方面学生难以理解：符号的多重含义；参数，变量和未知数的区别；代数表达式的转换；求解方程和变换方程。关于函数及其性质，学生存在三个方面的问题：对规律性的渴望，逐点关注，以及图形世界抽象的困难。例如，学生喜欢一对一的对应关系，并且倾向于默认为线性特征。另一个例子，学生可能无法理解图形斜率的重要性，或者可能将图形视为图像。此外，Drijvers等认为学生在代数中的学习困难是由于它的抽象，泛化和过度概括，程序流畅性和符号意义，以及过程和客体的二元性。职前教师在以下方面遇到困难：（1）将函数概念理解为两组之间的等价对应（有时它不是由公式表示，或者不是连续图）；（2）灵活变换不同的表示形式；（3）将形式函数概念与产生函数的情境联系起来。例如，根据152名未来的中学教师完成关于他们的函数知识的开放式调查问卷，Even(1993) 发现很多未来的中学教师都没有将函数看作是等价对应，这些教师倾向于认为函数总是由方程表示，并且它们的图像表现良好。
2.4 研究问题
在这项研究中，我们研究了符合该计划要求的未来教师，要求他们回答了一项旨在衡量代数教学知识的调查问题。该研究着眼于函数概念，研究了以下问题：在（a）学校数学，（b）高等数学和（c）数学教学中，教师对代数知识的理解上存在哪些错误和差距？
3.方法论
本研究使用的数据来自对比研究（Huang，2010) ：包括对115名美国未来中学数学教师教学代数知识的调查，和五名参与者的后续访谈。参与者来自美国西南部一所公立大学研究院的数学和科学未来中学教师的跨学科项目。
3.1 问卷
该研究使用现有的代数知识测试（KAT）并辅以五个开放式项目，重点是教授函数概念的知识。因此，该问卷包括17个多项选择题和8个开放式问题（原始KAT考试中的3个项目和5个附加项目）。测试包括三种类型的知识：学校代数知识（SM，7项），高级代数知识（AM，8项）和教学代数知识（TM，10项）。以下是两个示例：
多项选择（学校代数）。可以使用指数函数对以下哪种情况进行建模？
i球投入空中后t秒的高度h。
ii一年后社区的人口P，每年增加n人。
iii如果每年折旧d％，则在t年后的汽车价值V.
A：只i ；B.仅限 ii ； C.仅限iii ； D.仅限i和ii；E. 仅限 ii和iii
开放式问题（教学代数）。在考试中，学生将以下两项标记为非函数
（i）f：R→R，f（x）= 4，其中R是所有实数的集合。
（ii）如果x是有理数，则g（x）= x，如果x是无理数，则g（x）= 0。
对于上述（i）和（ii）中的每一个，确定该关系是否是函数。
如果您认为学生标记错误，认为他可能导致错误的原因。在答案小册子中写下你的答案。
3.2 补充开放式题目
基于对教师函数概念教学知识的广泛文献综述，我们重点研究函数概念的两个方面：函数角度的选择和适当表征的运用。包括原始测试中的开放式问题，我们有三个项目用于测量函数概念（18,24和25）和四个项目（19,21,22和23）用来测量使用不同表征的灵活性。例如，第21项（数学教学）是：
如果在表达式ax2 bx c（a，b和c是实数）中用1代替x，则得到正数，而代入6则得到负数。方程ax2 bx c = 0有多少实数解？一名学生给出以下答案：
根据给定的条件，我们可以得到以下不等式：a b cgt; 0，并且36a 6b c lt;0。
由于不可能根据先前的不等式找到a，b和c的固定值，原始问题是不可解决的。您如何思考学生答案的原因？你对学生有什么建议？
3.3 收集数据
三名教授初中和高中学生数学教育课程的教师在他们工作的正常的班级中进行测试（约45分钟），我们收集了115份问卷。在参与者中，87％是初中和高中学生，其余的都是大学二年级学生，五名参与者自愿接受采访。首先作者在调查结束后的一周内进行了个人访谈，每次采访持续约20分钟，并录音。五位受访者（Larry，Jenny，Kerri，Alisa和Stacy是受访者的假名）在高中完成了代数I和II，几何，预微积分和微积分五门数学课程，除了Kerri，他只修了五门课程中的四个。他们还完成了平均27学分的大学数学和数学教育课程，包括数学I和II的结构，几何的基本概念，抽象数学的介绍，数学和技术的整合，数学中的问题解决，综合数学，数学中学方法，学生教学，新生数学实验室，解析几何与微积分，微积分I，II和III，离散数学基础，多变量微积分，线性代数I和微分方程。
3.4 数据分析
数据分析包括三个阶段：（1）数据量化；（2）分析KAT考试的项目和分量表；（3）从函数概念和表征之间的转换出发，对典型错误进行分析。对于每个多项选择项（项目1-17），正确的选择得分为1，而错误的选择得分为0。对于每个开放式题目，我们制定了一个5个评分规则：0分是空白或提供无用的陈述；1分意味着提供几个有用的陈述，而没有给出正确答案的一系列理由；2分指的是给出正确的答案，但是错误解释重大概念；3分表示给出正确答案和适当的解释，但有一些小错误；4分表示正确的答案和适当的解释和步骤。一位中学数学老师对所有题目进行了编码，第一作者仔细检查了代码，该协议高于95％，第一作者进行了相关更正。首先，我们分析了项目和分量表1的整体表现，然后我们根据错误的性质对典型的错误进行了分析和分类。主要错误包括：（1）函数和方程的变换不当；（2）图形表示使用不当；（3）代数中的逻辑推理不当；（4）选择适当的函数概念和不同表征之间的转换缺乏灵活性。
- 结果
4.1 代数知识的教学特点
学校数学有7个题目（1,3,6,14,17,19和23），高等数学有8个题目（4个，8个，9个，12个，13个，16个，20个和24个），数学教学中有10个题目（2,4,7,10,11,15,18,21,22和25）。该问卷的可靠性为0.70（N = 115）。表格1简要描述了多项选择项的平均值和标准差（SD），该表显示参与者在项目1,3,10和11（高于60％）上表现最佳，而他们在第4,5,8,9,12,13,14,15和16项表现不佳（不到40％）。检查项目的内容，我们发现高性能题目与使用代数表达式呈现定量关系（项目1,85％），找到多项式表达式的值（项目3,89％），两条线垂直的条件（项目10,66％），以及斜率概念的多个表示（项目11,78％）。参与者在以下方面表现最差：对数函数的变换（项目4,15％），求解指数方程（项目5,18％），使用分数和代数公式的几何表示（项目6,30％） ），根据时间 - 速度图（项目8,16％）判断汽车的位置，tan x = x2 （项目9,20％）的根数，不同数字系统中的操作规则（项目12,27％），数学归纳法（项目13,23％），无理方程的解（项目14,40％），扩展代数表达式（x y z）的多种方法（项目15，22％）和曲线的切线斜率（项目16,29％）。
开放式问题18-25（每个4点）和SM（13点），AM（14点）和TM（22点）的分量表显示在表2。该表显示参与者在所有这些项目上表现不佳，但在项目18（38％）和项目22（35％）上表现略好，在项目21,23和24（不到1％）上表现最差。这些参与者在学校数学（36％）和数学教学（34％）方面的表现优于高等数学（15％）。
总之，对于特定的内容区域，参与者在使用代数表达式来表示多项式以及斜率概念的多个表示方面表现更好，但是他们在解决非线性函数和方程（例如对数，指数方程和三角函数），并使用几何表示和推理关于图形表示信息的分数和代数公式，不同数量系统的操作规则和数学归纳时表现最差。参与者表现出了在理解函数概念和选择适当的表示来解决二次方程的不足。在下一节中，我们将介绍代数教学知识中的典型错误：（1）表达式，方程式和图形;（2）函数及其性质。
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