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Malmquist型的复差分方程
摘要：在最近的一篇论文[1]中，Ablowitz，Halburd和Herbst应用Nevanlinna理论来证明复差分方程的一些结果让人想起复微分方程中经典Malmquist定理。他们论文中的一个典型例子告诉我们，假设是关于y, z两个变量的有理函数，如果复差分方程有有限级的超越亚纯解，那么. 本文介绍了此类结果的改进和推广。除了考虑级之外，结果（见定理13）还证明了解具有Borel例外零点和极点的情形似乎只出现在特殊情况下。
关键词： 复差分方程，值分布，Nevanlinna特征函数，Borel例外值。
1.简介
著名的Malmquist定理表明
(1)
形式的复差分方程, 其中右边是关于y, z两个变量的有理函数，并且在复平面中有一个超越的亚纯解y时，可以简化为具有有理函数系数的Riccati差分方程
(2)
关于等式（1）和（2）的更多细节，以及Malmquist定理的推广，见[8]。
在本文中，我们正在研究一些复差分方程亚纯解的增长性和值分布。这些差分方程起因于Malmquist类型的推理,见[1]和下面更详细的解释。
在下文中，一个亚纯函数意味着复平面C中的亚纯解。对于亚纯函数y，设为增长级以及是比y低阶的函数。此外，令（代替）为y零点（相应极点）的收敛指数。我们还假设读者熟悉Nevanlinna理论(见例[6],[7]或[8])的基本结果和标准符号。此外，我们使用符号表示关于y的以亚纯函数为系数的有理函数的度。我们总是假设在上是不可约的。
我们先回顾在复平面中亚纯解的一些存在结果。S. Shimomura[9，定理2.5]和N. Yanagihara [10，推论6]分别证明了以下两个结论。
定理1（Shimomura ). 对于任何非常数多项式，差分方程
(3)
有一个非平凡的整函数解。
定理2（Yanagihara). 对于任何非常数有理函数，差分方程
(4)
在复平面上有一个非平凡的亚纯解。
上面的等式（4）与方程
(5) 密切相关.
实际上，设f为（5）的超越亚纯解。然后，通过变量代换，函数是（4）的解。[5，定理3.2]表明了，其中是R的度（并且假定在R中是不可约的）。假设，与复动力密切相关，见[3].现在假设是（4）的一个亚纯解。设是周期1的任何周期性整函数。例如，.
定义
那么，表示，我们看到也就是说，也满足（4）。然而，的增长比的增长快得多，参见例[4]。此外，通过继续上述过程，我们得到了函数序列，每一个都是(4)的解。而且，对每一个n，都比增长的快.因此，对于（4）式解的特征函数，不能获得具体的上限。在M. Ablowitz，R. Halburd和B. Herbst最近的一篇论文[1]中已经观察到了这一点，其主要结果将在下面讨论。
- Bank和R. Kaufman在[2，命题16]中提供了一个结合存在性和增长级限制的复差分方程的例子：
定理3 (Bank-Kaufman). 对于任何有理函数，差分方程
总是有一个亚纯解，使得。
Ablowitz，Halburd和Herbst [1]研究了与(1)和(2)相关的复差分方程，即方程 (6)
和
(7)
其中系数是稍后要指定的亚纯函数。另外，等式
(8)
与(6)相似，在[1]中进行了研究。差分方程（6）和（8）与Painleve微分方程密切相关，如[1]中所述。
让人联想到经典的Malmquist定理的以下三个结果，在[1]中得到证明，分别见定理3-5。
定理4 (Ablowitz-Halburd-Herbst). 如果具有多项式系数,的差分方程（6），有一个有限阶的超越亚纯解，则
定理5（Ablowitz-Halburd-Herbst). 假设差分方程(7)中的系数，是多项式，并且是非零复常数。 那么(7)中的超越整数解都是无穷的。
定理6 (Ablowitz-Halburd-Herbst). 如果具有多项式系数,的差分方程（8)，有一个有限级的超越亚纯解，则
我们现在提出一系列与这些定理相关的问题。这些问题将在本文的其余部分进行讨论。
1. 如果等式(6)-(8)的某些系数是多项式以外的亚纯函数，会怎么样？
2. 如果我们用任意复常数代替等式(6)-(8)中的1和-1会怎样？
3. 如果等式(6)-(8)的左边被推广为n项，会怎样？
4. 是否有可能找到方程(6)-(8)的超越亚纯解的特征函数的任何下界？
5. 是否可以对(6)-(8)超越亚纯解的0分布，各自的极值点说些什么？
作为与上述问题4相关的先前结果，根据N.Yanagihara [10.定理1]，我们得到以下结果。
定理7（Yanagihara）. 除非，否则(4)的任何超越亚纯解都是无限阶的。更确切地说，，其中并且是不依赖于的大于0的常数。
本文的结构如下。 如上所述，复差分方程的亚纯解的基本增长问题是找到其特征函数的下界。第2节提供了关于差分方程(6)和(7)的这方面的部分结果，如上文问题1,2和3中所预期的那样。 第3节致力于考虑差分方程（8）的一般形式。 更准确地说，我们表明，仅在特殊情况下，零和极点可能是Borel亚纯解的特殊值。
2.亚纯解的增长性
我们首先给出关于定理4的两个注释。
注释. (1)在定理4的最初陈述中,见[1],认为不等式。然而,是可能发生情况。实际上，是等式的解.
类似的观察结果适用于定理6。
（2）定理4明显可以延伸到有理系数。
很容易获得以下两个命题。
命题8.设.如果有有理系数的差分方程
(9) ，
有限阶的超越亚纯解，那么。
命题9.设.如果有有理系数的差分方程
(10)
有有限阶的超越亚纯解，然后。
命题8和命题9的证明是[1]中定理4的证明的简单修改，因此被省略。以下示例显示情况可能出现在上述两个结果中。还可以参见关于等式（10）的例3-5。
示例1.令为常数，使得，其中mZ。
因为，我们看到是
(11) ,
其中.
作为定理5和7的推广，我们证明了
定理10 设，.假设是有有理系数的差分方程
(12)
的超越亚纯解.意味着
- 如果是整数或有有限多个极点，则存在常数且gt; 0，使得对于所有，成立。
- 如果有无限多个极点，那么存在使得
对所有都成立.
注释. 观察到结论与(12)左侧的项的数nisin;N无关。
证明. 我们在(12)式中乘以系数的分母，得到
(13) ，
其中系数是多项式。证明现在分为两部分。
- 假设(13)和(12)的解，是超越的整数。此外，表示和。根据最大模原理得到，对任意的，。令它遵循
，
其中足够大。而且，
.
于是，当够大时，
因此，
(14) ，
其中，当足够大时，对一些，有.
通过迭代（14），我们有
(15) ,其中
.
由于对足够大的,有,我们观察到只要m2，上述系列就会收敛。
因此，
(16) .
由于假设是超越整体的，因此 够足大时，有不等式.因此（15）和（16）暗示
(17)
其中足够大，比如说。通过任意选择并且对于的每个选择让，我们看到对于所有都成立，其中.我们已经证明了在是完整的情况下的论断。
然后假设（13）和（12）的解是具有有限多极亚纯的。然后存在多项式S(z)，使得是整的.将代入（13）再次将分母相乘，我们将得到一个与（13）类似的多项式系数的差分方程。将上述推理应用于w，通过多项式的增长性质，我们得到了
对所有的都成立。我们现在证明了第1部分。
2) 最后，我们假设，即(13)和(12)的解，是具有无限多极的亚纯的。
选择具有多重 性的的极点，使得不是的零点。然后，（13）的右侧在处具有多重的极点。因此，存在至少一个索引使得是多重性的极点.在（13）中用替换得到
(18) .
我们现在有两种可能性：
- 如果是的零，则该过程将被终止，我们必须以上述方式选择y的另一个极点
- ）如果不是的一个零点，那么我们看到（18)的右边在处具有多重极值.因此，存在至少一个索引使得是的y的极点。在这一点上我们注意到，作为一个多项式，系数只有有限多个零点（可以终止我们上面的过程），所有都在有限域内.
我们继续按照上述步骤（i）和（ii）进行操作.我们会发现的极点，由于的极点无穷多，以致对于所有，是多重性的的极点。
由于，以及y在有限平面上没有必要的奇点，我们必然得到当时，.很明显，对于足够大的，比如，那么，
，
其中可以任意选择。对每个,设我们看到,适用于所有,其中.因为是固定的,所以和都依赖于的事实不是什么问题。
注释：
(1)对于任何有理函数，很容易找到有理系数使得（12）成立。
(2)很容易看出（12）的所有超越亚纯解具有无穷低阶。
(3)定理10中的假设是必要的。有关第1部分的内容，请参阅本
开头的备注（1）。对于第2部分），我们注意到伽玛函数是
的解.
(4)假设在（12)中。具有两个基元周期和的所有非恒定周期数都是椭圆形的，因此不能是完整的。这意味着在定理2之后使用的推理在这种情况下不适用。对于nge;3，我们没有非恒定周期函数（亚纯或整体）有点为期间，其中不是由和形成的任何周期性平行四边形的格点。
示例2.固定.设为常数，使得对于所有有。然后是
的解.
这是定理10，第1部分的一个例子。
作为类似于定理10的结果，对应于定理4和7，我们现在假设系数是小点的函数，即增长o（T（r，y））。
定理11. 设并假设y是非理性的亚纯函
(19) ,
其中当r以及是非零时，（19）中的所有系数都是增长而没有例外的。如果d=max{p,q}gt;n , 那么对任意的，存在使得
,
对所有的都成立，其中，K是大于0的常数.
证明：设应用[1，引理1]我们看到对于所有，有，其中是一些常数。记住这一点，然后我们对（19）的右边应用Valiron-Mokhonko定理（见[8，定理2.2.5和推论2.2.7]）获得
(20) ,
其中.
观察到可能会没有例外的应用Valiron-Mokhonko定理，请参见[5]。
迭代(20)，我们得到
其中且.对每个，设，我们得到了
,
它适用于所有和某些。
注释：(1) 需要定理11中的条件来获得不等式1。
(2).在定理11的假设下，很容易看出。
(3).通过对假设的适当修改，我们可以用更一般的有理表达式来代替（19）的左
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