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译文
方程给定零点序列的解
摘 要
设是整函数, 考虑方程给定一个复数列（或两个复数列）作为方程解（或两个线性无关的解）的零点时方程解的情况. 在过去的二十多年里, 已有多位学者对这个问题进行了研究. 然而, 这类问题最初是由O. Borůvka和V. Scaron;eda[16]在大约五十年前提出并研究的, 这一点并不为人所知, 下文将对这些研究的历史进行回顾. 然后, 我们将对S. Bank和A. Sauer在文章[1]和[15]中的结果提出一些改进意见, 我们提出这些改进的意见是基于复平面上Mittag-Leffler型增长级估计. 这些估计值可能其有独立的意义.
1.引言
微分方程
-
- ,
其中A(z)是整函数, 在过去的二十年中, 从文献[2]开始, 人们一直在积极地研究. 其中一些研究的目的是确定所有这类方程(1.1)具有规定的零序列的解的问题, 见文献[1],[6],[15]和[17]. 然而,还不知道这类研究是否已经开始得更早. 事实上,O. Borůvka [16]在1950年代的布尔诺研讨会上提出了以下观点:
问题1. 设是一个给定的, 在复平面C上没有有限极限点的不同点的序列. 是否存在一个整函数A(z)使得微分方程(1.1)的解恰好在处为零？
问题1在文献[16]中已经被V. Scaron;eda完全解决了. 事实上,在文献[16]中表明,对于任何一个整函数F, 存在另一个整函数, 使得方程
(1.2)
具有一个在指定点处为零的解. 下标F的意思是对应的函数依赖于F. 对于两个不同的整函数和用方法生成两个不同的整函数和,它们都对问题1进行了肯定回答.
Scaron;eda还在文献[16]中提出并解决了以下问题.
问题2. 设和是C中两个给定的不同点的序列, 它们没有共同点, 也没有有限的极限点. 是否存在一个整函数A(z)使得方程(1.1)有两个线性无关的解和,它们的零点恰好分别是点和?
就像在问题1中的情况一样, 我们期望问题2有无穷多个解. 事实上, 对于任何一个函数F, 存在一个整函数使得(1.2)有线性无关的解和, 它们的零点恰好分别在指定的点和处. 此外, 对两个整函数和来说, 在2pi;i的整数倍数处相同, 文章[16]中的方法说明两个不同的整函数和都满足问题2的要求.
显然, 这种历史背景对L.-C.Shen来说是未知的. 在1985年L.-C.Shen独立解决第2题,见[17]. 但是他的证明方法与文献[16]中提供的方法是不同的, 依赖现代的Bank-Laine函数(即BL-functions). 见文章[11],一个整函数E是一个BL-function. 如果在E的所有零点处, 都有或. BL-函数通过非线性微分方程与(1.1)密切相关
(1.3) ,
最初(1.3)是在[2]中给出的, 且下面的引理见[3,引理C].
引理A. 如果E是BL-function, 那么根据(1.3)可定义A(z)是整函数且E是(1.1)中两个线性无关解和的乘积, 因此和的朗斯基行列式满足.
反之,如果E是(1.1)中的两个线性无关解的乘积, 其中A(z)由(1.1)定义, 那么E是BL-function.
后面将更详细地讨论问题1和问题2的解决方法.
接下来, 我们将系数函数A(z) (或)的增长与问题1和2联系起来.
问题3.
(a) 根据零点序列收敛指数估计问题1中A(z)的增长级.
(b) 根据两个零点序列的收敛指数估计问题2中A(z)的增长级.
本篇论文的结构如下: 在第2节中,我们首先回顾了标准积的一些基本概念,并且我们引入了q-离散序列的新概念. 在第3节中,给出了经典的估算Mittag- Leffler增长级的方法. 这些估计可能是互相独立的. 在第4节中,我们回顾了解决问题1的两种方法. 在第5节中,我们对S. Bank和A . Sauer早前的结果提出了一些意见和改进, 并讨论了问题3(a). 在第6节中, 我们回顾了解决问题2的两种方法. 第7节包括了与问题3(b)有关的简短讨论.
- 标准积与q-离散序列
我们首先回顾标准积(或标准正交积)的一些基本概念, 因为它们在本文中扮演着重要的角色, 其次, 我们引入了q-离散序列的新概念, 这在后面的章节中被证明是很方便的.
首先,设是复数列, 序列中元素不一定是不同的. 的收敛指数是, 使得
且
对任意的. 的亏格是唯一的整数, 使得
且
显然. 对于且, 著名的Weierstrass收敛因子可分别由以下公式给出
和.
如果存在有限亏格p, 则标准正交积
(2.1)
代表一个在点处有零点的整函数. 只要序列的亏格是有限的, 那么标准积(2.1)被唯一确定.
定理2.1. 设是与有限亏格序列相关的标准积. 若
(2.2)
对于某些成立,那么被称为q-离散.
引理2.2. 一个有限亏格 p的序列是q-离散, 当且仅当
.
证明. 一个基本计算表明
(2.3) ,
下面是引理的推断.
注.
- 注意, q-离散序列中的点必须是简单的, 因此点是不同的.
- 由引理2.2可知, 平面上亏格0的0-离散序列(见例2.3)类似于单位圆盘上的一致离散序列(见文献[5]中的第9章).
下面两个例子的目的是为了说明:1. 存在q-离散序列,且2. 对于任意,不是每一个有限亏格的序列都是q-离散的.
例2.3. 设, 则, 所以相关的标准积很简单
.
根据(2.3),我们有
,
所以
,
并且对于, 我们得到
通过级数检验, 乘积对每一个有限收敛. 显然,对于每一个有限的,乘积和也是收敛的. 我们继续证明乘积和在k趋于无穷时仍然是有界的. 这将表明, 根据定义, 对于每个指数, 序列都是q-离散的.
假设, 我们得到直接估计
且
为了估算, 我们利用事实对,. 于是得到
因此
,
我们解决了该问题.
例2.4 我们现在使用[1,Corollary1]中构造的序列. 即,设是一个无限的实数序列满足
并且, 当时, 设；当时, 设, 由此定义是递增的实数序列.
现在, , 所以相关的标准积就是
.
定义数
那么一个常规计算(见文献[1]中的(11)和(12))说明了
现在根据 [1, Corollary 1]的证明, 得到
这里. 我们得到, 对于有
(2.4) .
现在, 是零增长级排列, 所以是. 因此, 通过比较(2.2)和(2.4), 对于任何, 我们看到不是q-离散.
3. Mittag-Leffler级数的增长级估计
在研究带有指定零点的(1.1)的解时, 某种插值推理似乎是不可避免的. 这种情况下,在一个自然的方式, 应用经典的Mittag-Leffler定理,可见[9定理7.9.8], 这确保了在一个域中, 给定了主要部分的亚纯函数是可以构造的. 如果,这个问题的解决方案可以以Mittag-Leffler级数的形式
给出, 这里是包含所需主要部分的多项式, 是保证级数收敛的多项式, 见[文献9, 定理7.1.2].
在其原始形式中, Mittag-Leffler定理并没有说明结果函数的增长性. 在20世纪30年代, J. M. Whittaker对具有规定主要部分的亚纯函数给出了增长级估计, 见文献[18]. [18]的主要思想是将给定的极点序列划分为极点簇, Whittaker称之为“星云”. 每个星云包含有限多的极点, 但是, 当我们接近无穷大时, 星云中的极点的数量可能会增加. 文献[18]的构造相当复杂, 但其结果相当普遍, 增长级估计似乎也很尖锐.
在下一个定理中, 我们提供了一个简单的方法来估计Mittag-Leffler级数的增长级. 该结果也可应用于q-离散序列的插值问题, 如式(1.1)所示. 下面的推论3.3是朝着这个方向迈出的第一步.
定理3.1. 假设下列假设成立:
(a) 是按模递增顺序排列的不同非零复数的无穷序列且没有有限的极限点,
(b) 具有有限亏格和有限收敛指数,
(c) 是由非零复数组成的无穷序列, 不一定是完全不同的,
(d) 是一个连续的最终非递减函数, 使得对于所有, 有
(e) 给定, 是一个序列, 使得每个是满足
的最小的正整数. 那么
(3.1)
在中是亚纯的, 且具有单极点, 恰好在处的留数为. 此外, 增长级估计式
(3.2) .
证明：1. 设,假设, 且
(3.3)
在(3.3)里的表达式是一个有限的总和且因此在上表示一个有理亚纯函数.因此, 为了证明在上是亚纯的, 只要证明是一致收敛的. 但
所以, 通过假设(b),如果对于所有的足够大的, 我们能证明
(3.4)
那么一致收敛得证. 为了证明(3.4), 我们定义. 然后通过假设(e), 对于所有足够大的, 有
因此, 对于所有足够大的, 有
且(3.4)得证.
2. 显然, 的所有极点都是单极点且留数为.
3. 显然不等式成立, 我们继续证明(3.2)的第二个不等式. 首先考虑(3.3)中的有限和. 我们用表示圆中点的个数. 应用文献[7]中的不等式(7.9)（用不同的符号, 推理基于卡坦引理）和假设(d), (e), 我们得到
假设在闭欧氏圆盘的某一序列外, 当时, 这些圆盘构成一个特殊的集合, 它在正实轴上的投影是有限对数测度, 见文献[7].利用假设(e)和(b),我们得到
因此存在一个使得
假设且. 设是与点列相关联的正则积, 因此增长级为, 那么是完整的且
假设且. 现在令, 且应用[8,引理5], 可以看出存在一个, 使得对所有的, 有
.
因此
,
且(3.2)的第二个不等式得证.
注.
1. 使用定理3.1且设, 可以看出(3.1)的Mittag-Leffler级数代表一个上的亚纯函数的增长级. 特别是当时, 我们可以选择. 因此, 我们得到了在[9,Remark, p. 210]中讨论的Mittag-Leffler系列的增长级.
2. (3.2)中的上界与文献[18]中给出的上界一致, 虽然证明方法不同.
用类似的证明, 可以很容易地推导出定理3.1的下列变量.
定理3.2. 设, 假设定理3.1的假设(a) - (d)是有效的. 进一步假设
给定, 是一个序列, 使得每个是最小的正整数, 满足
.
那么
在中是亚纯的,
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