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连分数，离散群和复动力系统
Alan F. Beardon
摘要 众所周知，连分数可以看作是一系列莫比乌斯映射。在这篇部分说明性的论文中，我们通过考察莫比乌斯映射在双曲空间和所有维度中的作用来考虑连分数。我们得到了一个适用于所有维数的Stern-Stolz定理的一般形式，并将连分数理论、莫比乌斯映射离散群理论与复动力系统理论进行了比较。
关键词 连分数，莫比乌斯映射，复动力系统，离散群，双曲几何，逆几何.
内容
- 介绍 536
- 连分数 540
- 复莫比乌斯映射 542
- 连分数的稳定性 553
- 莫比乌斯映射和双曲几何 559
- 一般收敛 564
- 强发散性 568
- 高维莫比乌斯映射 573
- 向后轨道 585
- 前进轨道 586
- 域的自映射 590
- 结束语 591
- 介绍
本文主要研究连分数、莫比乌斯映射、离散群、复动力系统、双曲可逆几何之间的关系。
传统上，无穷连分数被认为是这种形式的表达式
其中和是复数无穷序列且每个。
连分数（1.1）收敛于或具有值K，如果截断的连分数序列
（1.2），，，
收敛到K。更一般地说，人们可以考虑连分数，但在本文中，我们将采用没有任何害处。
从抽象的角度来看，连分数（1.1）只是一对 复数序列和，其中没有为0.给定两个这样的序列，我们可以形成由下定义的莫比乌斯映射映射的序列
（1.3），
且。相反，由于任何具有的莫比乌斯映射都有唯一的表达式，我们可以用对于所有有的莫比乌斯映射序列的类别来识别连分数的类别。通过这种识别，（1.2）中的截断连分数是，，其中，通常表示映射，因此连分数收敛相当于复数序列收敛。由于莫比乌斯映射存在于所有维度中，因此使用莫比乌斯映射序列的连分数的识别立即为我们提供了所有维中连分数概念，即具有的莫比乌斯映射的序列。在高维中，除法运算本质上被单位球面上的反演所取代，参数由代数变为几何。在这个意义上，连分数理论可以被视为维中反演几何的一部分。由于莫比乌斯映射在高维上满足了复数莫比乌斯映射所具有的大多熟悉特性，我们可能希望不管维数如何，关于连分数的许多结果是正确的。事实上，我们已经知道，关于连分数的一些基本结果（例如，普林斯海姆定理、希勒姆-斯隆定理和抛物线定理）确实推广到了所有维度，因此这一观察结果为探索提供了其他方向。本文的目的是为了充分理解条件在理论中的作用。我们的初步结论是，连分数的基本收敛理论适用于所有维度莫比乌斯映射（这些将在稍后定义）的所有一般序列，且条件不是必要条件。
连分数可以被视为一系列复杂的莫比乌斯映射的想法并不新鲜，根据斯隆（[75]），这种想法的萌芽可以在伊森克拉赫（1888）、内托（1892）、舒尔（1917）和哈梅尔（1918）的作品中找到。1942年，J.F.佩登和H.S.沃尔[65]发表了一篇题为“连分数作为线性转换序列”的论文，这可能标志着连分数始终被视为莫比乌斯映射序列的时间。如[53]开头段所述，这与前面连分数是序列的极限的观点相反，其中和是某个二阶递推关系的解。采用这种分析观点的第一篇连分数文章是沃尔写的[83]，发表于1948年，有趣的是，这篇文章是专门献给L.R.福特的，他对莫比乌斯映射和自同构函数的离散群理论做出了重大贡献（见[38]）。事实上，福特还发表了关于连分数的论文（例如[35]、[36]、[37]），他从模群和皮卡群（系数分别是整数和高斯整数莫比乌斯映射群）的角度考虑了连分数。它们分别是双曲平面和双曲三空间的等距群，近年来在动力系统中得到了很好的应用。在连分数理论中使用莫比乌斯映射为在复分析中应用定理开辟了道路，斯蒂尔特耶斯在其早期的长篇论文[73]（另见[59]）中继续为此奠定了基础，在被蒙泰尔命名和研究之前（尽管在更广和更详细的方面）介绍了分析映射的正规族思想。
将莫比乌斯映射引入连分数理论提出了以下问题。任何莫比乌斯映射都是形式（1.3）或者这种形式的两个映射的组合，如果，那么
。
这意味着莫比乌斯变换的任何给定的序列在某些连分数的近似序列中大约每隔一个项出现。考虑到这一点，我们当然有义务去看看连分数的任何给定结果是否真的是关于莫比乌斯映射的一般序列的结果，如果不是，那么就充分解释连分数所起的特定作用。有几篇论文讨论了这个问题，但似乎没有系统地加以考虑。
从庞加莱和克莱因时代开始，在离散群理论中对莫比乌斯映射进行了广泛的研究，并由贝尔特拉米、庞加莱和克莱因向我们展示了莫比乌斯映射的自然作用发生在双曲空间，因为正是在那里这些映射起到了等距线的作用。扩展复平面是双曲三空间的边界如果我们将注意力限制在中莫比乌斯映射的作用上，那么我们只能看到整个图像的一小部分。一般来说，维欧几里得空间上的莫比乌斯映射的作用只是它们在维双曲空间边界上的作用。可以公平的说，在连分数的背景下，莫比乌斯映射得几何理论和由贝尔特拉米、庞加莱和克莱因所发起的，以及最近由阿尔福斯和其他人发展起来的莫比乌斯映射离散群与双曲几何（所有维度）的关系的大量工作，似乎很大程度上被忽视了。那么，将离散群理论中已有的材料应用于我们对连分数的研究似乎是合理的。
虽然连分数和莫比乌斯映射之间的联系已经牢固地建立起来了，但它几乎完全局限于莫比乌斯映射在扩展复平面上的作用，而且很多重点仍然放在莫比乌斯映射的复系数的代数处理上。如果我们使用Clifford代数（四元数的推广），就有可能对所有维度的莫比乌斯映射进行代数处理，这就为Clifford代数中带系数的连分数提供了可能。尽管这很困难，但在四元数的特殊情况下可能会有所收获；事实上，汉密尔顿本人早在1852年就开始了一项关于四元数作为系数的连分数的初步研究（[44]，[45]）。或者，我们可以尝试使用二次型来描述双曲几何，因为这里的等距是几何。这两种观点的例子将在后面给出，但在大多数情况下，我们将尝试开发一个不明确使用映射系数的连分数视图。
最后，我们注意到在复平面上有理映射的迭代（即复动力学）和离散莫比乌斯群的理论之间有着非常密切的联系，因此我们也应该看看复动力学，看看其中的思想是否有助于连分数的研究。例如，我们注意到，连分数理论中使用的尾序列与复动力学中的逆轨道相同。有理映射的逆轨道在复动力学中起着重要作用；例如，它们精确地累积在有理映射的朱利亚集上，我们将看到在连分数理论中存在着类似的现象。此外，来自复动力学（和离散群理论）的其他结果表明了连分数理论的可能结果。为了与复合映射符号保持一致，表示映射的第次迭代。
在本文中，我们将尝试展示如何使用上述思想来阐释连分数的一般理论。鉴于连分数的结果，我们提出以下五个问题。
- 这个结果有几何证明吗？
- 这个结果能推广到任意的莫比乌斯映射吗？
- 结果和证明在所有维度上都有效吗？
- 结果能用更高维度的代数术语给出吗？
- 在复动力学或离散群理论中有类似的结果吗？
我们写这篇部分说明文章主要是为了那些对连分数感兴趣的人，而且是为了激发人们对这些问题的兴趣。我们将试图证明莫比乌斯映射的几何属性有丰富的背景资料，但在连分数的背景下尚未充分利用，实际上几乎没有触及，本文包含了许多有待进一步研究的问题。在整个过程中，我们的目的是说明理论的几何方法，并且我们没有包含任何遵循众所周知的论证的证据；特别是，我们不会在本文的任何地方使用差分方程。连分数理论的很大一部分涉及数值问题和近似率，我们承认本文的思想不太可能对这一领域产生直接影响（尽管应该指出，众所周知在离散群理论中，例如，丢番图逼近与几何行为密切相连的黎曼曲线上的测地线）。目前尚不清楚有多少连分数理论能够以我们在这里倡导的方式成功发展；然而，似乎很清楚，到目前为止取得的成就值得进一步研究。
第二节对连分数的经典观点做了一个非常简洁的总结；这只是为接下来的事情最好了铺垫。鉴于这篇论文的目的，似乎有必要对已知的莫比乌斯映射作一概述。我们将在第三节讨论复莫比乌斯映射，然后在第四节中讨论这些想法的应用。再第五节中，我们讨论了复莫比乌斯映射在三位双曲空间上的作用，并在第六和第七节中进行了应用。第八节简要讨论了莫比乌斯映射在高维空间中的作用，随后在本文后面的章节中有更多的应用。我们对莫比乌斯映射作了这么长的讨论并不感到抱歉，因为我们的观点是，这在很大程度上支撑了连分数的基本理论。
对于连分数的一般理论，我们推荐[51]、[55]、[67]、[68]和[83]。关于所有维度的莫比乌斯映射的更多信息，我们请读者参考[4]、[5]、[12]、[23]、[38]、[62]、[64]和[70]。最后，对于复迭代的一般理论，我们推荐[14]、[25]和[74]。
2.连分数
连分数的研究至少始于1572年，当时R.邦贝利和后来的P.卡塔尔迪使用有限连分数分别得到和的近似值。第一个有限的连分数扩展（）是由布鲁克纳勋爵在1659年左右给出的，他还给出了（在1657年）通过使用连续连分数来解决佩尔方程的第一个系统方法（见[30,p.108]）。1695年，约翰·沃利斯出版了歌剧《数学》，这本书首次系统地研究了连分数的一般理论，并首次引入了连分数这一术语。欧拉在1737年出版的《分体连续论》(De Fractionlous Continious)中作了系统的阐述，雅可比、埃尔米特、高斯、柯西、斯提尔特杰斯、拉玛努扬等人都对这一主题做出了贡献。
我们已经看到，连分数（1.1）可以看作是（1.3）中莫比乌斯映射的序列。我们通常将连分数（1.1）称为生成的连分数，或简称连分数。我们还将使用符号来表示这个连分数；因此，如果，那么和是相同连分数的不同符号。特别地，表示（周期为1）的一个周期连分数。我们写，我们也说生成序列。我们将保留本文中使用的符号。
通常，给定一组映射到自身的序列，我们可以构造序列和。我们认为是的内部组成序列，是的外部组成序列。对于连分数，是其生成元的内组合序列，并且连分数上的许多收敛定理是解析映射内组合序列收敛的一般结果的特例。在本文中，我们不考虑外部组合序列；通常，它们比内部组成序列更容易处理。
（1.2）中截断连分数的序列是序列；因此，当且仅当映射的序列收敛于0时，连分数（1.1）收敛。当且仅当时，连分数的收敛不受的有限生成元增加或或删除的影响。很容易看出，当且仅当且，中给定的序列是某些连分数（1.1）的序列（例如，见[51,p.34]或者[55,p.71]）。这意味着几乎每个复序列都是近似的序列，并且由于这些序列可能以任意方式在复平面上“漂移”，我们当然可以看到需要保证收敛的条件。尽管有历史先例，但研究一系列映射在一个点上的收敛性是没有意义的，我们必须关注子集上的可能收敛性（点态和一致性）。
最初，用递推关系来考虑连分数。考虑到连分数（1.1），我们定义和序列通过
其中，或等效于递归关系。
（2.1）
当
（2.2）
我们可以得到两边的行列式
（2.3）
现在考虑同态
（2.4）
从非奇异矩阵的群到莫比乌斯映射群（这是第一次有很好的理由要求读者明确区分莫比乌斯映射和矩阵）。在（2.2）两边加上，我们看到了
（2.5）
由此可知，（1.2)中的截断连分数的序列，或者，同样地，近似的序列，是对于以前学习过连分数的读者来说，递推关系（2.1）是非常熟悉的。事实上，我们在本文中根本不会用到这些。
通过考虑递推关系（2.1）解的性质，证明了连分数的许多结果。一般来说，人们不能解这些方程；因此，进展取决于对解的估计，而且有很多论文认为这是中心问题。用这种方法证明了下面的经典定理，并且很容易得到所
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