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数学教育研究的目的与方法
伯特兰·罗素把数学定义为一门科学，在这门科学中，我们永远不知道我们在谈论什么，或者我们所说的是否正确。数学已被证明在许多其他科学领域中有着广泛的应用。因此，大多数其他科学家不知道他们在谈论什么，或者他们所说的是否正确。
——乔尔·科恩《论数学证明的本质》
数学教育中没有证明。
——亨利·波拉克
上面的第一句话是幽默的，第二句话是严肃的。然而，两者都突出了数学和数学教育之间的一些主要区别——如果要理解数学教育方法和结果的性质，就要理解这些差异。
科恩的引用的确指出了数学的一些重要方面。例如，在描述各种几何图形时，我们从未定义的术语开始，然后遵循逻辑规则。如果我们证明某些事情是真实的，那么相应的结果必须遵循规则。一方面，这些术语没有定义，例如“我们从来不知道我们在讨论什么”，另一方面，结果是决定性的。格特鲁德·斯泰因可能会说，证据就是证据。
其他学科以其他学科的方式工作。波拉克的声明并不是要否定数学教育，而是指出数学教育中证据和论证的本质与数学中证据和论证的本质是完全不同的。事实上，人们在教育研究中可以提出（并期望能够回答）的问题并不是数学家们所期望的那种问题。除此之外，数学家与教育研究人员在数学教育研究的目的和目标上往往有不同的观点。
本文首先尝试列出一些相关的观点，并提供有关数学教育中探究的性质背景。其中探讨的问题有：什么是思想？也就是说，数学教育研究的目的是什么？与数学和物理科学的理论和模型相比，教育中的理论和模型看起来像什么？教育研究能回答什么样的问题？对于这些问题，什么是合理的答案？什么样的方法可以产生这样的证据？一个人对判断主张、模型和理论可能有什么标准？正如我们将看到的，在所有这些问题上，数学和教育之间存在着显著的差异。
目的
数学教育研究有两个主要目的，一个是纯粹的，另一个是应用的：
纯粹（基础科学）：理解数学思维、教学和学习的本质；
应用（工程）：利用这些理解来改进数学教学。
这些都是深深交织在一起的，至少前者和后者同样重要。原因很简单:没有对思维、教学和学习的深刻理解，就不可能在“应用方面”有持续的进展。一个有用的类比是医学研究与实践之间的关系。医学研究的范围很广。有些是迫切需要完成的，在不久的将来有可能得到应用。有些是为了理解基本的生理机制而做的。从长远来看，这两种工作是相辅相成的。这是因为基础知识具有内在的联系，并且它建立和加强了应用工作的基础。
必须理解这些双重目的。从许多数学家的角度来看，它们与数学教育研究的单一目的形成了强烈的对比:
“告诉我什么在教室里起作用。”
这么说并不意味着数学家们对数学教育中的基础研究在某种抽象层面上不感兴趣，而是说他们的主要期望在直接和实用的术语是有用的。当然，教育界必须提供有用的结果，事实上，有用性激励了绝大多数教育工作，但认为直接应用(课程开发、教学处理工作的'证明'等)是数学教育研究的主要任务是错误的。
关于问题
在思考数学教育能提供什么时，需要解决的一个主要问题是，数学教育研究能研究什么样的问题？
简而言之，数学家们提出的最典型的教育问题——“什么有用？”和“哪种方法更好？”在原则上是无法回答的。原因是一个人认为什么有用取决于他的价值观。在决定某种教学方法是否成功前，必须先回答这样的问题:你想要达到什么目标？对于什么学生在什么条件下，受到怎样呢的约束后达到怎样的理解？考虑下面示例。
教职员工和管理人员经常问的一个问题是：“大班和小班一样好吗？”“我想很明显这个问题不能抽象地回答。一个人对大班级的满意程度取决于他认为重要的结果。学生的参与感是否重要？学生对课程和学系的看法是否重要吗？是否关注继续参加后续数学课程的学生比例？那他得出的关于大班效用的结论可能有很大的不同，这取决于这些结果的权重。
即使只关注所教的数学，也会出现类似的问题。假设有人想解决这个问题，学生在大班级里和在小班里学习数学一样多吗？人们会马上问：“什么能视为数学？在解决问题、建模或数学交流能力上各占多少权重？”关于一种教学形式相对于另一种教学形式的有效性的判断取决于这些问题的答案。直截了当地说，研究人员在确定数学是否存在前，必须知道要寻找什么和要采取什么作为证据。
一个人的判断反映他的价值观这一事实同样适用于这种类型的问题，哪种方法更有效（或最好）？这似乎显而易见，但往往不是。考虑微积分改革。不久后，杜兰“生动学习”的会议，国家科学基金会（NSF）资助了一项重大的微积分改革倡议。到20世纪90年代中期，国家自然科学基金项目的官员们确信微积分改革是一件“好事”，它应该成为其他内容领域改革的典范。国家自然科学基金会将参与改革的数学家与数学教育的研究者们聚集在一起，提出了以下问题：“我们能否获得微积分改革有效的证据（即改革微积分比传统微积分更好）？“他们的想法基本上是进行某种形式的测试。他们认为应该很容易建立一个考试，管理它，并表明改革学生做得更好。
那些提倡这种方法的人没有理解，他们的提议实质上是一种对苹果和桔子的比较。如果对一个严重依赖执行操作符号的人进行传统的测试，那么“改革”学生将处于劣势，因为他们没有练习计算技能。如果一个学生的考试依赖于技术或者包含大量的模型成分，那么传统的学生就会处于劣势，因为技术和建模在他们的课程中并不是很大一部分。不管怎样，进行测试和比较分数都是不公平的。继续学习的适当方法是查看课程，确定重要的主题，并具体说明对这些主题进行概念性理解意味着什么。有了这类信息，各个机构和部门（以及整个行业，如果愿意的话）就可以决定哪些方面的理解最重要，哪些是他们想评估的，以及如何评估。由于长期讨论，国家自然科学基金会的工作从侧重记录微积分改革的影响演变为侧重于开发用来观察微积分教学效果的框架。1997年的《学生微积分评估书》是这些努力的结果。
总而言之，许多看起来很自然的问题----诸如什么有效？或者哪种方法效果最好?有充分的理由不能采用这种方法。
鉴于此，数学教育研究可以解决哪些问题？我认为数学教育研究的一些基本贡献如下：
bull;理解思考、学习和教学的理论观点；
bull;认知方面的描述（如数学思维；学生对函数、极限等概念的理解和误解）；
bull;存在性证明（学生可以学习问题解决、归纳、群体理论的案例证据；各种教学可行性的证据）；
bull;各种教学形式（正面和负面）结果的描述。
米奇·勒阿蒂格最近发表在《通告》上的文章描述了许多这类研究的结果。我将在下面的'方法'一节中描述其他一些方法，并对获得它们的方法进行评论。
论理论和模型（以及优秀理论与模型的标准）
当数学家们使用“理论”和“模型”这两个术语时，他们通常会想到非常具体的事情，包括关于这些实体的性质和用来对它们提出主张的证据。在生命科学和社会科学中，“理论”和“模型”有时以不同的方式使用，其使用可能更类似于教育中使用的术语。在本节中，我将简要介绍表1中所示的示例。
|
学科 |
数学，物理 |
生物 |
教育学，心理学 |
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理论 |
方程，重力 |
进化 |
思维方式 |
|
模型 |
板内热流 |
捕食关系 |
问题解决 |
在数学中，理论是明确的，如微分方程或复变函数。通过分析得到结果：就是证明所讨论的对象具有我们声称的性质。在经典物理学中，有一定程度的特异性；例如，物理学家为引力指定了一个平方反比定律。模型被理解为近似，但它们被期望是确定性形式的非常精确的近似。举例来说，为了模拟层流板中的热流，我们指定了初始边界条件和热流条件，然后求解相关方程。简而言之，在这个过程中没有歧义。描述是明确的，正确性的标准是数学证明。一个理论和从中衍生出来的模型可以用来做预测，反过来又被当作是对理论正确性的实证。
在生物科学领域，情况要复杂得多。以进化论为例。生物学家普遍认同进化论的本质正确性，但是为支持进化而收集的证据与数学或物理学中使用的证据截然不同。没有办法证明进化论在数学意义上是正确的；支持进化论的论据包括“似是而非的推理模式”，以及对替代假设的仔细考虑。实际上，生物学家说：“我们有大量的证据，这些证据与理论是一致的，被广泛地解释了；没有明确的证据证明所提出的理论是错误的，而且没有任何对立的假设符合同样的标准。”尽管考虑到进化事件的时间尺度，对未来事件的预测是不可行的，但这个理论确实支持另一种预测形式。以前未经检查的化石记录必须符合这一理论，以便该理论可以用来描述化石，特别是地质地层，应该或不应该具有的性质。累积记录作为理论的证明。
简而言之，理论和支持证据在生命科学、数学和物理学上有很大的不同。同样的道理也适用于模型，或者至少是预期的精确程度：没有人期望用捕食—被捕食方程建模的动物种群符合这些模型，就像层流板中的热流符合热流模型一样。
最后，科学中的理论和模型总是需要修正和完善。尽管牛顿引力理论辉煌而奇妙，它还是被爱因斯坦的相对论理论所取代。或者考虑核理论。瓦朗斯理论是建立在围绕原子核运行的电子模型基础上的，它允许人们做出令人惊异的预测，比如尚未发现的元素的存在。但是物理学家们不再谈论围绕原子核的轨道上的电子；理论中曾经是固体的粒子，例如电子，在理论中被概率电子云所取代。这是理论不断发展。
数学教育研究具有上述物理和生命科学研究的许多属性。例如，在心理理论中，对心理结构的本质作出了一些假设，有某些类型的心理结构以特定的方式运作。这样一个假设是有各种各样的记忆，其中包括工作记忆或“短期”记忆。根据这个理论，思维是通过工作记忆来完成的：也就是说，人们在精神上操纵的“思考对象”暂时存储在工作记忆中。使事情有趣（和科学）的是，这一理论也对工作记忆设置了相当严格的限制：有人声称，人们一次只能在工作记忆中保存不超过9个“块”的信息。
为了证明这一说法可能是正确的，我们可以试着闭上眼睛将379乘658。如果不是不可能的话，大多数人都会觉得很困难。（在最近的一次会议上，我向大约75名数学家的提出了这个任务。他们中没有一个能在几分钟内成功。）原因是，一个人必须跟踪原始数字的数量以及在做乘法时产生的各种子集超过了9。例如，一个人可以计算出8times;379=3032，然后在脑子里上重复“3032”，直到它变成一个块，在工作记忆中只占一个空间（“缓冲区”）。这样就有足够的工作空间来进行其他计算。通过这种组块，人们可以超越工作记忆的极限。
现在考虑一下人们的工作记忆不超过9个时隙这一断言的真实状态。这种说法永远不会有绝对的证据。首先，即使它们存在，研究人员也不太可能找到它们在大脑中的实际位置；缓冲器是模型的组成部分，它们不一定是实体。第二，支持这一主张的证据是令人信服的，但不能确定。人们已经进行了许多实验，其中人们被要求使用工作记忆中的超过9个时隙来完成任务，而人们在这些任务上失败了(或者，经过一些努力，通过做一些可以被视为某种形式的分块来完成这些任务）。
与进化论一样，有大量的证据与这一论断相一致，没有明确的证据反驳它，也没有任何对立的假设符合相同的标准。但它被证明了吗？不，不是数学意义上的。相关标准在本质上是中立的陪审团所认为的无合理怀疑的证据。这同样适用于解决问题的模式或教学模式。我目前正致力于构建一个理论描述，解释教师如何以及为什么在课堂上匆忙地做他们所做的事情。这项工作，与记忆理论在同一个细节层次上阐述，被称为“语境教学理论”。其主张是，有了这个理论，并且有足够的时间去模拟一个特定的教师，我们就可以建立一个对这个人的教学描述，以非常精确的方式描述他的课堂行为。当我们观察这项工作时，我们不能期望找到在模拟层流板中的热流时的精度。但是，期望这种行为像捕食者—被捕食者模型那样，忠实于“现实世界”的行为是合理。
我们在接下来的章节中继续探讨判断理论、模型和结果的标准问题。
方法
在这篇文章中，我甚至不能提供一个关于本科数学教育研究方法的入门目录。作为这项任务规模的一个标志，请考虑一下这样一个事实：《教育质量研究手册》将近有900页长！这本书的章节包括对人种学的广泛讨论（例如，人们如何理解“课堂文化”）、语篇分析（在仔细研究会话中可以看到哪些模式？）、文化在塑造认知中的作用以及主体性和有效性问题。当然，这仅仅是定性研究，社会科学中也有一个长期存在的定量研究传统。我的目标，更确切的说是为所做的工作提供一个方向，并提出他们可以产生的各种结果（及其局限性）。
那些刚开始从事教育研究的人倾向于用标准的实验研究来思考，其中包括实验组和对照组，以及使用统计学来确定结果是否有意义。事实证明，在教育中使用数据统计比人们想象的要复杂得多。
从本世纪中叶开始的几年里，社会科学研究（至少在美国）主要是以农业为例。基本的概念是，如果两个田地里一种作物只改变一个变量，其余同等对待，那么作物产量的差异可归因于该变量的差异。当然，人们相信，在教育方面也可以这样做。如果有人想证明一种新的教学方法X是优越的，那么就可以进行一个实验，其中两组学生学习X，一组学生教标准的方法，一组学生教新的方法。如果学生们能用新的方法教得更好，我们就有证据证明这种教学方法的优越性。
暂时把上一节提出的关于教学目标的问题，以及新老教学可能不会集中在相同的事情上的事实放在一边。设想一个人可以构建一个公平的适用于新老教学的测试。假设学生被随机分配到实验组和对照组，以便遵循标准的实验程序。尽管如此，仍然存在严重的潜在问题。如果不同的老师对两组学生进行教学，任何结果的差异都可能归因于教学的差异。但即使
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