Set Theory (Kenneth KUNEN)
Introduction
Set theory is the foundation of mathematics.all mathematical concepts are defined in term of the primitive notions of set and membership.In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic“obviously true”set theoretic principles.from such axioms,all known mathematics may be derived.However,there are some questions which the axioms fail to settle,and that failure is the subject of this book
sect;1.consistency results
The specific axiom system we discuss is,or Zermelo-Frankel set theory with the Axiom of choice.We say that a statement is independent of if neithernor (the negation of)is provable from;this is equivalent to saying that both and are consistent.The most famous example of such ais the Continuum Hypothesis(CH),but within the past few years,a large number of statements,coming from various branches of mathematics,have been shown to be independent of .
In this book,we study the techniques for showing that a statement is consistent with .will be shown to be independent if we can success fully apply these techniques to and to;this will always involve tow separate arguments.These are also many statements which have been shown to be consistent but whose independence has remained unsettled.
Some of the statements known to be consistent withare “quotable”principle of abstract set theory,such as CH,or ,or Martinrsquo;s Axiom,or Suslinrsquo;s Hypothesis,or Workers in the more abstract areas of analysis and topology are well aware of these principles and often apply them.Since any consequence of a consistency proofs in mathematics.In addition,those mathematicians with a background in set theory often return to the basic methods to prove consistency results for specific mathematical statements which do not follow from one of the known“quotable”principles.
The purpose of this book is to explain the basic techniques for probing statements consistent with .
We include consistency proofs for many of the“quotable”principles.more importantly,we hope to enable mathematicians to produce new consistency proofs of their own,as needed.
sect;2.prerequisites
We assume that the reader has been seen a development of axiomatic set theory through the basic properties of von Neumann ordinals and cardinals.This material is contained in set theory texts such as[Enderton 1997]or [Halmos 1960],as well as in appendices to books in other areas of mathematics which use set theory,such as[Chang-keisler 1973] or [Kelley 1955].This material is also reviewed in chapter I.
It is not necessary for the reader to have seen the particular axiom system .There are other systems which differ from in the formal way proper classes are handled.A reader familiar with one of these should have no trouble with ,but should bear in mind that in proper classes have no formal existence,and all variables range over sets.
The reader need not be knowledgeable about very picky axiomatic questions--such as which axioms of are used to prove which theorems.In those few cases where such questions are of any importance,they are reviewed quite extensively in chapter I.However,we do presume some sophistication in the way set theory is handled in its mathematical applications,as one would see in a course in general topology or measure theory.
Our prerequisite in formal logic is elastic.A book whose main results involve consistency of axiomatic systems cannot avoid logic entirely.We have included sketch of background material on formal logic to enable readers with no training in the subject to understand independence proofs,but such readers might be suspicious about the complete mathematical rigor if out methods.A good undergraduate course in logic would dispel that suspicion.On a higher level,there are many foundational questions raised by our subject which are of interest to the student of logic peruse,and we have collected such material in appendices to the various chapters.In these appendices,we have felt free to assume as much logical sophistication as is needed for the particular argument at hand.
sect;3.Outline
Chapter I contains some logical background and a sketch of the development of the axioms of,excluding Foundation(Regularity).Since this material is partly a review,we have omitted many proofs.We have been fairly pedantic about the fact that for many of the theorems.certain axioms especially Choice and power set,are not needed ,and we have indicated explicitly where these axioms are used;such considerations are not important for the development of mathematics within,but will be useful when we get to independence proofs
Chapter II covers some special topics in combinatorial set theory.In part,this chapter provides some combinatorial lemmas needed in ChaptersⅥ-Ⅷ,but its main purpose is to introduce the reader to the bast array of set-theoretic questions that one might try to prove independent of.
We have departed from tradition in basing our treatment of forcing in Chapter VII upon the discussion of Martinrsquo;s Axiom in Chapter II.This has the advantage of separating the mathematical difficulties in handling forcing from the meta mathematical ones.It has the disadvantage of requiring those readers(if there are any)who wish to learn forcing without learning Martinrsquo;s Axiom to do some extra work.
The Axiom of Foundation is discussed in Chapter III.This axiom is never used in mathematics,but it leads to a much clearer picture of the set theoretic universe.
Chapter IV develops the basic methods used in producing consistency proofs,including inner models, relativization,and absoluteness.We also discuss the Reflection Theorem and related results.
Chapter V discusses the formalization of the logical notion of definability within .These ideas are used in defining the class L of co
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集合论（Kenneth KUNEN）
集合论是数学的基础.所有数学概念都是根据集合和元素的原始概念来定义的.在公理集合理论中，我们制定了一些关于这些原始概念的简单公理，试图定义基本的“明显真实”集合理论原则.从这些公理中，所有已知的数学都可以得出.但是，有些问题是公理无法解决的，而这个问题是本书的主题.
sect;1.一致性结果
我们讨论的具体公理系统是，或者Zermelo-Frankel集合理论与选择公理.我们陈述一个集合,如果两者即不是 也不是 （的否定）则称独立于,这可以从系统中证明;这相当于说和是一致的.一个最著名的例子是，是连续统假设，但在过去几年中，来自各种数学分支的大量陈述已被证明独立于.
在本书中，我们展开的 与一致的研究技巧.如果我们能够成功地完全应用这些技巧，将被证明是独立于和。这将永远涉及两个单独的论点.大多数的陈述已被证明是一致的，但其独立性仍未解决.
一些已知与一致的陈述是抽象集理论的“可引用”原则，如，或，或马丁公理，或Suslinrsquo;s假设，或 。更加抽象的分析和拓扑领域的工作者都非常清楚这些原则并且经常应用它们.因为一致论述中的结果也是一致的,这为数学中的许多一致性证明提供了一个来源。此外，那些具有集合论背景的数学家经常回到基本方法证明某些数学陈述的一致性结果，这些陈述不遵循已知的“可引用”原则之一.
本书的目的是解释与一致的探测语句的基本技术.包括许多“可引用”原则的一致性证明.更重要的是，我们希望数学家能够根据需要生成自己的新的一致性证明.
sect;2. 先决条件
我们假设读者已经通过Neumann序数和基数的基本属性看到了公理集理论的发展.这些材料包含在集合理论文本中，如[Enderton 1997]或[Halmos 1960]，以及附录中.使用集合论的其他数学领域的书籍，如[Chang-keisler 1973]或[Kelley 1955].这一材料也在第一章中进行了回顾.
读者不必看到特定的公理系统.还有其他不同于公理系统却能够正确的处理一些类.熟悉其中一个的读者即使没有公理应该也没有问题，但应该明确记住，在中，正确的类没有正式存在，并且所有变量都在集合范围内.
读者无需了解非常挑剔的公理问题 - 例如的哪些公理被用来证明哪些定理.在这些问题具有重要意义的少数情况下,它们在第一章中进行了相当广泛的审查.但是，我们在一般拓扑学或测量理论的课程中，人们会看到集合理论在数学应用中的处理方式.
形式逻辑的先决条件是弹性的.一本主要结果涉及公理系统一致性的书不能完全避免逻辑.我们在形式逻辑中包含了背景材料的概述，使得没有受过训练的读者能够理解独立性证明，但这样的读者可能会怀疑是否有方法证明完整的数学严谨性.良好的逻辑学本科课程可以消除这种怀疑.在更高的层次上，我们在这本课程中提出了许多基本问题，这些问题是逻辑阅读学生感兴趣的，并且我们已经在各个章节的附录中收集了这些材料.在这些附录中，可以自由地假设已知的特定论点所需的逻辑复杂性.
sect;3. 大纲
第一章包含一些逻辑背景和公理发展的概述，不包括基本规则.由于这篇材料部分是一篇评论，我们省略了许多证明.我们对于那些理论事实，中心定理，尤其是选择公理和幂公理的使用看法过于迂腐，现在已经明确指出了这些公理的使用位置;这些因素对于中的数学发展并不重要，但是当我们得到独立证明时这将是有用的.
第二章介绍了组合集理论中的一些主题.本章部分介绍了第六章至第八章所需的一些组合词，但其主要目的是向读者介绍一些可能试图证明的独立于集合理论问题.
对马丁公理的讨论，我们已经背离了传统基础，在第七章我们会加强在第二章对于马丁公理的处理.这有利于巩固处理数学困难与数学化的分离.它具有要求那些读者愿意负担过多学习内容而不学习马丁的公理而做一些额外的工作的缺点（如果有的话）
第三章讨论了基本公理.这个公理从未用于数学，但它可以使普遍的集合理论的理解更加清晰.
第四章改善了生成一致性证明的基本方法，包括内部模型，相对性和绝对性.我们还讨论了反射定理和相关结果.
第五章讨论了中可定义逻辑概念的形式化.这些思想用于定义第六章中可构造集的类.在第六章中，我们通过证明它所包含的一致性连续统假设来建立一致性.我们还表明了组合原理 和 是正确的的
第七章介绍了并用它来证明与基本算术的各种相关陈述的一致性.第八章涵盖了迭代和马丁公理与的一致性.
sect;4.什么被省略
我们在撰写本书时有两个目标.首先，我们希望弥合当前文饰与基数和序数的基本文本之间的差距.其次，我们希望强调经典组合集理论与现代独立性证明之间的相互作用.重要的内容在集合论中，而对于那些与构建目标无关紧要的材料本书已省略.
具体而言，文献或调查文章中很好涵盖主题的内容经常被忽略.我们在这里没有过多描述：感兴趣的读者可以参考[Drake1974]或[solovay-Reinhardt-Kanamori 1978].同样，我们不处理类中的精细结构方法;参见[Devlin 1973].
我们还避免了需要在逻辑上进行复杂化的话题.特别是，我们不讨论基数的模型理论应用（参见[德雷克1974]），或描述集论的结果，或这些领域之间的关系参见（[ Martin 1977]）或[Moschovakis 1980]）.
本书对选择公理进行粗略的讲解.我们认为是集合论的基本公理之一，尽管我们确实证明从其他公理中，它是既不可证明（见VII练习E4）也不可被反驳的（见V 2.14）和VI4.9）.有关的集合论的更多信息，请参见[Jech 1973].
sect;5.关于参考
由于这是一篇文章而非研究专着，我们并没有试图为我们证明的每一个定理提供文献参考.我们的参考书目主要是作为进一步阅读的建议，而不是作为确定优先权的来源.我们向那些因为没有经常提到他们的名字而感到懊恼的数学家.除了一些琐碎的练习外，本书的结果都不是作者所致.
sect;6.公理
作为参考，我们在此列出的公理和一些相关理论;第一章和第三章中有更详细的解释.在每个公理之后，我们列出了第一章或第三章中首先出现的章节.
公理0.集合存在性（Ⅰsect;5）
公理1.外延公理(Ⅰsect;5)
(
公理2.基础公理(Ⅲsect;4)
公理3.子集公理（Ⅰsect;5）.对于每个公式 中有自由变量
公理4.对偶公理（Ⅰsect;6）.
公理5.并集公理(Ⅰsect;6)
公理6.替换公理（Ⅰsect;6）.对于每个公式有自由变量
在公理0,1,3,4,5和6的基础上，可以定义（子集），0（空集），S（序数;),和良顺性的概念.然后定义以下公理.
公理7.无穷性公理（Ⅰsect;7）
公理8.幂集公理（Ⅰsect;7）.
公理9.选择性公理(Ⅰsect;6)
公理0-9就是系统.
对于技巧因素，重要的是要知道我们从证明的一些结果实际上并不需要的所有公理;其原因在Ⅰsect;4的末尾讨论.我们在这里列出一些ZFC常用子理论的缩写.由公理0-8组成，由公理0-7组成，由公理0-7和公理9组成.由,,，和，我们的意思是删除了公理2（基础）的相应理论（，，和）.其他缩小的缩写通常是不言自明的.例如，是 -P与无穷大公理删除.
第一章
集合论的基础
假设读者已经看到了基于一些原理的数学发展，这些原理大致类似于引言第7节中列出的公理.在本章中，我们回顾了这一发展，强调了一些对后期工作很重要的基础点.
sect;1.什么是公理
大多数数学家几乎不需要对他们使用的集合论进行精确编纂.人们普遍认为哪些原则是正确无误的，哪些是有问题的.例如，人们普遍认为连续统假设不是一个基本原则，而是一个开放的猜想，我们都能够在没有任何形式公理化的情况下，告诉我们哪些定理我们已经绝对证明，哪些定理依赖于（尚未确定）的真实性或虚假性.
然而，在本书中，我们关注的是建立如下结果：“既不可证明也不能从普遍的集合理论原则中反驳”.为了使该陈述精确，我们必须准确说出这些原则是什么;在本书中，我们需将它们定义为引言中列出的的公理.声称：“既不可证明也不能从中反驳”现在是一个明确的陈述，我们将在第六章和第七章中确定.
关于的公理是否真正体现了所有“一般的集合论原理”的问题仍然存在.在本章中，我们将把它们发展得足够远，以便能够看到人们如何从他们所有当前的传统数学中得出它们.当然未来几代数学家可能会认识到一些“显然成立的”集合论原则，这些原则并不是来自.可以肯定的是，可以用这些原则来解决.
即使在目前，除了之外，还有几种方法可以处理当前公认的集合论原理的公理化（参见sect;12）.但本书的方法也很容易修改以处理这些系统.尽管对于技巧和细节稍显简单。
sect;2.什么是形式逻辑
确定一个公理的想法可以追溯到欧几里德，并且几乎不具有革命性.通常在数学中，公理用非正式语言表达，例如希腊语或英语.但在这里，我们将用正式或人为的语言陈述公理.称为一阶谓词演算.形式语言的特征是使语言对象有精确的形成规则.这种方法有两个主要原因.
原因1.形式逻辑需要准确地说明集合论的公理.例如，有一个概括公理存在形式的集合
其中是给定集合，可能是x的属性.但是什么是属性？直觉上，它是关于变量的任何明确定义的英语主张.“x很幸福”是一个属性吗？很明显，我们需要严格定义我们要承认的属性.我们将要求可以用我们的形式语言表达，它能够表达数学概念，但不能表达非数学概念.一个不精确的属性概念可能会导致悖论在基本事实中显现：设n是最小正整数，不能用英语表达式使用四十个字或更少的词来定义.但我刚刚定义的，它远远少于四十个字。
原因2.在我们定义之后，说不能从证明是什么意思？直观地说，这意味着无法使用合理的推理规则从导出.这个直观的概念可以做出来准确地使用正式演绎的概念.
我们只在这里勾勒出形式逻辑的发展，将读者引用到有关该主题的文本，如[Enderton 1972]，[Kleene 1952]或[Shoenfield 1967]，以获得更详细的处理.我们将给出一个精确的形式语言定义，并且对于陈述的公理是必要的.我们只会暗示正式演绎的规则，这些也不难定义，但它需要做一些工作才能看到标准的数学论证都可以在规定的规则内正式化.
形式语言的基本符号是和 对于每个自然数j.直观的，表示“和”，意思是“不”， 意思是“存在”， 表示属于，=表示“相等”， 是变量，括号用于短语.表达式是基本符号的任何有限序列，例如（ﾡ）.符号的直观解释表明哪些表达是有意义的;这些被称为公式.更确切地说，我们将公式定义为由规则构造的任何表达式：
（1） 是任何自然数i，j的公式.
（2）如果 和 是公式，有,和 对于任何i.
所以，例如，是一个公式.
我们的形式定义在某种程度上形成了直觉，为了使定义简单，括号的使用规定得非常严格.例如，
这不是一个公式.另一个看似是我们的形式语言的缺点，其实是它缺乏表达某些非常基本的逻辑概念的能力，例如，(任意的).然而这并不是真正的问题，因为可以表达为.类似符号用表示（或），（推出）和（当且仅当），这些都可以用和来表达.为了保存自己总是编写这些较长表达式的工作，我们在开始时同意使用以下缩写.
- 写成
- ()or;(）写成
- ()(）写成
- ()(）写为
- 如果从上下文中清楚如何将括号放入，则删除括号.
- 缩写为和缩写为.
- 英语，希腊语和希伯来语字母表中的其他字母和下标字母用于变量.
下面详细地解释（7）.
除了这七个之外还有许多缩写.实际上，在本书中我们很少看到一个公式.我们将遵循大部分用英语编写表达式的标准数学用法，当增加逻辑符号更有用时，我们则用.例如，我们可以说“有”这样的集，而不是
概括公理（见上面的原因（1））将通过要求其中出现的属性P（x）在形式语言中可表达而被制成精确的陈述，但每次使用概括公理时，没有必要写出表达P（x）的公式
一个子公式是一个连续的符号序列 形成的一个公式.例如，下列公式的子公式
(1)
是
以及公式（1）本身.的出现范围从这个（唯一的）子公式开始的.例如，的范围， 在（1）中是。公式中变量的出现是受约束的当且仅当它位于作用于该变量变化的范围内，否则称为自由的.例如，在（1）中的
第一次出现是自由的，但第二个是受约束的，而的出现是约束的， 的出现是自由的.
直观地，公式表示其自由变量的属性，而约束变量或者虚拟变量仅用于生成存在性语句，这些语句可以与不同的约束变量同样成立.因此，公式（1）的含义与
（）相同
请注意，因为 是的缩写，它也约束了它的变量，而缩写根据其他命
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