讨论带拉普拉斯算子三阶强迫微积分方程解的渐进性外文翻译资料

 2022-11-10 14:52:57

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Applied Mathematics Letters 56 （2016） 29-33

Applied Mathematics Letters

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讨论带拉普拉斯算子三阶强迫微积分方程解的渐进性

Said R.Gracea, John R.Graefb,*

摘要

在本文中作者主要研究了讨论带拉普拉斯算子三阶强迫微积分方程解的渐进性，他们的主要目的是探讨一些非平凡非线性函数在无穷大附近的非振荡解的性质。他们用到的知识主要涉及了不等式、不等式以及不等式。

关键词

微积分方程，渐近性，拉普拉斯算子，强迫方程

  1. 对结果的简介与陈述

考虑三阶强迫微积分方程：

, (1.1)

其中：

  1. 和都是连续函数；
  2. 是连续的，而且存在正连续函数使得

；

  1. 是连续的，而且存在连续函数和正实数使得

；

  1. 是两个正奇数与的比，且，其中；
  2. 当时.

我们仅考虑在无穷大附近可连续的且非平凡的方程(1.1)的解，如果解有任意多的零则称解是振荡的，否则称解是非振荡的。

在过去的几十年里，由于三阶微分方程在工程和科学学科中应用，例如系统的数学模型和物理学、力学、化学、航空动力学、复杂介质的电动力学等领域（详细的应用见参看文献[1-8]），所以三阶微分方程得到了很多的关注。

在关于非线性常微分方程的渐进性理论中，有一个经典的问题是如何在时，找到一定程度上接近解的多项式的存在条件（见参考文献[2,3,7-12]）。著名的不等式证明这些结论时起着很重要的作用。

对于三阶微积分方程的渐近性的结论是很少的，一些结论可以从参考文献[5,13-17]中得到。而对于类似方程(1.1)的积分方程的结论几乎是没有的。本文的主要目标是为了得到方程(1.1)的解的渐近性找到一些新的方法。我们使用的证明方法与参考文献[9,12]的证明方法类似。

  1. 主要成果

为了获得本文的主要结论，我们需要以下两个引理：

引理2.1（不等式）：设和是非负的且, 则

(2.1)

其中等式成立当且仅当。

引理2.2（参考文献[18]）：设和是正常数使得。则

(2.2)

其中

且

是函数。

对任意连续函数，令

定理2.1：设条件存在且有常数使得

(2.3)

且

(2.4)

如果存在正连续函数使得是有界的且

(2.5)

则方程(1.1)的非振荡解满足

证明：设是方程(1.1)的一个非振荡解，且当时。同理也可证明为负时的情况。为了简便，不妨设

(2.6)

根据条件，我们可以得到

由于，所以

(2.7)

对(2.7)式进行积分，交换上一个积分的顺序，我们可以得到

(2.8)

其中是任意正常数。

故我们可以得到

(2.9)

取积分下限为，积分上限为，对(2.9)式进行积分且注意到是一个增函数，我们得到

通过的条件，我们得到

或者

(2.10)

应用不等式

(2.11)

我们得到

或者

(2.12)

其中是一个正常数。

令

应用不等式(2.1)带入，我们得到

(2.13)

将(2.13)式代入(2.12)式，我们得到

或者

其中是一个正常数。应用不等式和引理2.2，我们得到

(2.14)

所以

由于且注意到最右积分是递增的，我们可以估计到

(2.15)

其中。在(2.15)式中应用不等式(2.11)式，得到

不妨设使得，则

再应用不等式和(2.5)式可以证明是有界的，故

这个定理得到了证明。

关于这个定理的应用，我们设，可以立即得到以下结论，此时变成为

推论2.1：设，条件、(2.3)式和(2.4)式成立且是有界的。如果

(2.16)

则方程(1.1)的非振荡解满足

以上结论可用于研究方程解的渐近性

(2.17)

这相当于分数阶微分方程

(2.18)

其中且是一个实数。

我们注意到

在时是在区间上定义的标量函数的分数阶导数且。当时关于的结论可以通过参考文献[19]得到。

关于在时的导数的定义可以见参考文献[6,20,21]。这些结果的表述留给读者去做。

总之，我们要说研究方程(1.1)中的不同值时的振荡性比本文中的这些理论更有趣。

参考文献：

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[21] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, in: North-Holland Mathematics Studies, vol. 204, Els

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