浅谈复数在代数证明中的应用外文翻译资料

 2022-11-19 14:27:04

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数论杂志87，239-241（2001）

数字对象唯一标示符：10.1006/jnth.2000.2593,网址http://www.idealibrary.com on idealreg;

关于Yu的一篇Heilbronn指数和的一个注记

Jan-Christoph Puchta

本文改进了Yu的一个结果，证明了

设为一个质数，. 并且定义指数和.

很长一段时间，是否与一致，是个未解之谜。1996年，Heath-Brown[1]证明了, 不久Heath-Brown证明了

（未出版).

Yu[3]将其精确化到, 最近Heath-Brown和Konyagin[2]将的范围精确到.

他们的结果结合[3]的方法给出了范围，这篇文章的目的就是使的独立性更高。我们将证明接下来的定理。

定理1. 我们有.

注意到我们可以假设不整除. 因为否则Weil给出的估计和初始边界条件一起满足将我们的定理，然后我们可以假设 .

我们的证明承接着[3]的内容，这个精确化是来自于我们将要使用一个非初始边界条件然后因的阶数的不同而求得不同的和这一事实。为了这样做，我们需要做一些准备。

定义多项式，

且存在.

因为映射在除了之外是双射，我们有. 更进一步的，在没有限定条件时，代表数字,我们有. 对于我们使用[2]中的范围，这对我们非常关键。

为了证明定理1，考虑就足够了。用dirichlet性质的正交性，我们得到表达式

现在我们计算的均方误差:

.

因此，如果是的同类, 则和等于，否则和不存在。余和可以用Holder不等式估计，.

通过[2]中的定理2，知第二个和，为了限制第一个和，在接下来的形式里，我们使用[2]中的引理7。

引理2. 假设存在指数，使得，我们有，使用此估计，我们得到

.因此我们得到

使用Chauch-Schwarz不等式我们得到估计，这与我们的定理相符，因为定理1非平凡时，第一项可被忽略。

致谢

感谢审稿人让我知道文献[2]。

参考文献

  1. D.R.Heath-Brown,Heilbronn数和的估计，第二卷，451-463页，hauser,波士顿，1996.
  2. D.R.Heath-Brown和S.Konyagin,源于k的同类的Gauss和和Heilbronn指数和的新限制，Quart.J.Math.51(2000),221-235.
  3. H.B.Yu,Heath-Brown对Heilbronn指数和的估计过程，Amer.Math.soc.127,编号7（1999），1995-1998.

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