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Applied Mathematics Letters 61（2016） 62-66
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Applied Mathematics Letters
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三维广义Hall-MHD系统的全局正则性
Nana Pana, Caochuan Mab, Mingxuan Zhuc,
a Common Department of Mathematics, Anhui Xinhua University, Hefei, 230088, PR China
b Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua, 321004, PR China
c Department of Mathematics, Jiaxing University, Jiaxing, 314001, PR China
摘要
在本文中,我们研究了三维广义Hall-MHD系统.在初始数据足够小的情况下,研究了三维广义Hall-MHD系统的全局存在性.
关键词： 广义Hall-MHD系统 全局存在性
- 导论
J.Lighthill对Hall-MHD系统进行了如下研究：
Hall-MHD系统在描述地球物理学和天体物理学中的许多物理现象时非常有用.在二流体模型或动力学模型中对于Hall-MHD方程的数学推导可参考文献[2].
文献[2]用Galerkin近似法证明了周期域情形下全局弱解的存在性. Chae和他的合作者[3]在整个空间中证明了全局弱解的存在.他们还在文献[3]中证得了光滑解的局部存在性和唯一性.在文献[4]中,Chae和Lee证明了如果或者足够小,则MHD系统具有独特的全局经典解.是齐次Besov空间.
Wan和Zhou[5]改进了Hall-MHD系统的全局存在性,只要初始数据或足够小,其中,. 在[4,6-13]中建立了几个规则标准.
在本文中,我们考虑以下三维广义Hall-MHD系统：
其中,,分别表示未知速度场,磁场和压力. ,是实参数.拉普拉斯算子的分数幂通过傅立叶变换来定义.
.
Chae,Wan和Zhou[14]证明了在和条件下的局部适定性.然后,Wan和Zhou[15]证明了在条件和下的局部适定性,更确切地说,他们证明了：
定理1.1（[15]）:考虑在和条件下的-.假设,和有关,则存在和(1.4)-(1.6). 在之间的唯一解使得
此外,.
在[16]中（也见[17]）,他们表明如果,,那么系统-的解始终保持平滑. 在[16,18]中建立了一些规则标准. 在[18]中,Ye将[4]中的结果推广到系统(1.4)-(1.6),对于的情况,如果足够小,则广义Hall-MHD系统具有唯一的全局经典解.
我们的主要目的是展示Sobolev空间中广义Hall-MHD系统的全局存在性. 我们得到的结果如下
定理1.2:假设,,其中,.存在一个常数,如果,则存在唯一的全局强解并满足
- 定理1.2的证明
将 和中的乘以和,得到以下能量估计值：
通过使用加藤-庞塞不等式[19,20],右边的五项可以估计为
和：
然后,我们显示了对的估计.把拿到,乘以,就得到了
现在我们估计右边的三个项.
综合以上的估计,我们有
选K足够小
然后,减少,所以,对于任意的,,我们得到：
;
然后,我们将展示广义Hall - MHD系统的-估计
可被如下估计：
下一步我们对做估计：
结合和到,由Gronwall的不等式和,,我们有
，
得证.
备注2.1: 对于极端情况,Wan和Zhou [5]证明了小数据条件,其中是一个小的正常数. 我们希望将来能够获得小数据条件. 在[18]中,小数据条件为.限制是由于对的估计. 我们也希望能放宽这个条件.
致谢
作者想感谢匿名审稿人提供的有用的意见和建议.这项工作得到了安徽省高校自然科学基金（批准号：KJ2016A310）的部分支持.
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