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一些-级数公式的变换
Chenying Wang
摘要. 利用改进的Abel分部求和引理建立几个-级数变换公式. 作为推论，得到一个平衡级数的互反关系式公式作比较，其可以看做是Saalschutzrsquo;s (1891)求和公式的无穷级数推广.
1.介绍和目的
对于复数和整数，定义升阶乘
这里的函数是由欧拉积分定义
当时，上述升阶乘的定义便退化为大家所熟悉的升阶乘
为了叙述方便，升阶乘和函数的分式形式简写为
沿用Bailey[1]和 Slater[7]中的记号，含有一个自变量的广义超几何级数的定义为
其中和是复参数且满足分母不出现零因子.
在本文中，如果用来表示某些级数的部分和, 那么没有下标的对应字母将表示在的极限（当它存在时）.
最近，Chu 和Wang[2,3]已经利用Abel分部求和引理处理了一些终止型超几何级数部分和的求和. 在本文中，我们将用带“余项”的Abel分部求和引理来研究下面的部分和
这里. 关于终止和非终止的-级数的变换公式将被建立.
2. 非终止－级数的变换
定理1.对于5个任意的满足，存在以下从-级数到 平衡的-级数和-级数的平衡等式的变换公式
当，这个定理可以导出下述两个关于-级数的关系式.
推论2（两个-级数间的变换）.
此推论不同于下面的Saalschutzian变换[6](参照[5,Eq.5.2]或[1,])
在推论2或上述Saalschutz变换中，如果是负整数，右边第二项为零时得到Saalschutzrsquo;s定理[1,]
为了证明定理1，我们将利用完善的Abel分部求和引理. 对任意的复序列，定义向后和向前差分算子，分别为
那么, Abel分部求和引理可表达为如下等价形式：
根据向前差分算子的定义，对任意的自然数，有
将上式最后一个求和流标替换为，我们得到
这便是Abel分部求和引理的表达式.
证明定理1. 对于两个序列
不难计算下面的关系
和有限差分
根据Abel分部求和引理，级数S满足如下关系式
上式右端部分和的显示表达式为
我们发现以下迭代关系
迭代上述关系式次，我们得到如下变换
整理上述函数中-函数的具体表达式，并分离出次升阶乘
定义列平衡级数的部分和我们将建立级数S的列平衡级数变换公式.
命题3（列平衡级数的互反关系）. 对于7个任意的满足，有
在这个命题中，令，接下来令变为，显然最后两行失效，而且第二行右边的求和少了一个. 我们重新得到了Dougall的终止型非常列平衡级数恒等式.
推论4（Dougall公式[4]）.
这里
当时， 命题3的极限形式导出如下非终止级数变换.
命题3（非终止列平衡级数变换）
其中
进一步令，并用b重新表示g，我们便得到定理1中的三项变换关系.
3. 终止型-级数间的进一步关系式
应用递归关系（）
我们有
将上述表达式带入，然后简化结果，我们能得到以下关系
迭代上述关系式次，我们能得到以下变换
通过分离次升阶乘重新整理两个函数
然后用表示以下两个部分级数
我们可以得出以下六项变换关系.
命题5. 对于7个任意的满足，有
在这个定理中，令，接着将替换为，然后回顾推论4中Dougall的求和公式，我们能发现下述有趣的-级数的变换公式.
定理6.（终止型-级数变换公式）.
其中
参考文献
[1] W. N. Bailey, , Cambridge University Press, Cambridge, 1935.
[2] W. Chu, Abelrsquo;s method on summation by parts and hypergeometric series,Journ-al of Difference Equations and Applications 12:8 (2006), 783-798.
[3] W. Chu and X. Wang, The modified Abel lemma on summation by parts and ter-minating hypergeometric series identities, Integral Transforms and Special Functions, 20:2 (2009), 93-118.
[4] J. Dougall, On Vandermondes theorem and some more general expansions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 25 (1970), 114-132.
[5] G. H. Hardy, A chapter from Ramanujanrsquo;s note-book, Proc. Camb. Phil. Soc., 21 (1923), 492-503.
[6] L. Saalschutz, Uber einen Spezoalfall der hypergeometrischen Reihe dritter Ordn-ung, Zeitschrift fur Math. u. Phys., 36 (1891), 278-295 and 321-327.
[7] L. J. Slater, Generalized hypergeometric functions, Ca,bridge University Press, Cambridge, 1966.
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