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“完备度量空间上广义压缩映射不动点定理”的一个注解
蒋淑君，李志龙，Boscaron;ko Damjanovic
摘要：最近，Hussain et al.文献（不动点理论及其应用.2015：185，2015）介绍了压缩的概念并且建立了一些压缩映射不动点定理.在本文中，我们引入了一种新的证明方法，在Hussain et al.文献中去掉关于不动点定理的两个条件，证明了在完备度量空间中的JS压缩，因此，我们证明Hussain et al.文献中的定理2.3-2.8和推论2.9.是Ciric，Chatterjea,Kannan, 和Reich相关定理的自然结论，而不是推广.
MSC：47H10；54H25
关键字：不动点定理，Ciric压缩，压缩
1 引言
Banach压缩原理[2]是压缩型映射不动点定理的第一个重要结论，其说明了对每个Banach压缩(即存在，对任意的使得）有唯一的不动点，当是一个完备度量空间.这是一个著名的定理，也是数学分析许多分支中一个基本的工具，于1922年出现在Banach的论文中，该定理被用于确立积分方程解的存在性.到目前为止，由于它的重要性和简便性，许多作者得到了有关Banach定理有意义的延拓和推广.（见[1，3-11]).
根据Ciric定理[6]和Hussain et al.[1],介绍Ciric压缩和压缩的概念，如下
定义1 设是一个度量空间，映射被称为：
一个Ciric压缩（见[6]）,如果存在非负数,且，使得
，
； (1）
一个压缩（见[1]），如果存在和非负数,且使得
，
， (2）
这里是所有函数的一个集合，且满足下面的条件：
是非递增的，当且仅当；
对每个序列，当且仅当；
存在及使得；
对任意，.
为了简便，我们不妨把所有满足和的非递增函数的集合记作，把所有满足，和的函数的集合记作.
注1
如果,，则.如果,，则,但，这是因为，对每个，，即不满足.如果,，则,但，因为当时，=gt;=，即不满足.
显然，且，另外，由，有且.
由,我们得出,，且.
1971年，Ciric[6]确立了如下的不动点定理.
定理1（[6]）设是一个完备度量空间，且是Ciric压缩，则在中有唯一一个不动点.
定理2（[8], 推论2.1）是一个完备度量空间，且.假设存在和，使得
， . （3）
则在上有唯一一个不动点.
根据定理2得到Banach压缩原理，实际上，设及使得（3）成立，那么在（3）中若选定，则可得到，即
，
即是一个Banach压缩，注意，定理2是一个Banach定理的推广（见[8]中的例子），但是Banach压缩原理不是定理2中的一个特殊情形，因为.
最近，Hussain et al.[1]提出了对定理2的推广，如下
定理3（[1],定理2.3）设是一个完备度量空间，且是一个连续的压缩，那么在上有唯一一个不动点.
注2 定理1显然不是定理3的一个特殊情形，因为定理1中的映射不是连续的，此外，即使（2）中，仅可得
这并不意味着每当（1）中时，不能通过用[8]中的方法从定理3导出定理 1，因此定理3不是定理1的一个推广.
本文的主要目的是证明在[1]中，压缩在度量空间上的有关结论是定理1的直接推论，应注意完备度量空间也是要考虑的.
首先，本文介绍一个在给定度量空间中由度量诱导出的新的度量，然后证明是完备的当且仅当是完备的，再证在中，每个的压缩必定是上的一个Ciric[压缩.我们用新的方法来证明没有假设，定理3仍然是有效以及的连续性，这在定理3中出现，因此，在[1]中，定理3和定理2.3-2.8以及推论2.9不是Ciric，Chatterjea,，Kannan, 和Reich等定理的推广，这在[1]中有强调.
2 主要结论
对于及，集合，那么易知有以下的性质：
是非递增的，且当且仅当；
对每个序列当且仅当；
对所有.
因为和是显然的，我们只需证明，有
.
引理1 设是一个度量空间，且,则是一个度量空间，其中.
证明 对每个由，我们有，对所有的有，由（）可得，因此，从而，对所有的当且仅当.
对任意,有
由和，对任意，我们有
对任意的和，由，有
对任意的和，由，有
对任意的，由，得
因此,对任意的,我们总能得到
这就证明了是度量空间.证完.
引理2 设是一个度量空间，且,则是完备的当且仅当是完备的，此处.
证明 设是完备的，且是上的柯西序列，即，则有，因此，由（），有.另外，由于的完备性，故存在使得，所以根据，就有，所以，是完备的，类似地，我们可证明如果是完备的，那么也是完备的.证完.
引理3 设是一个度量空间，是压缩且.则是上的Ciric压缩，其中.
证明 根据（2），对任意的，
=
=
即度量是满足（1）的，因而是上的Ciric压缩.证完.
定理4 设是一个完备度量空间，是一个压缩且，则在上有唯一一个不动点.
证明 因为是一个完备度量空间，故由引理2，也是一个完备度量空间，又根据引理3可知，是一个Ciric 压缩，因此，由定理1知，在上有唯一一个不动点.证完.
注3 与定理3相比较，定理4不包含假设和的连续性. 因此，定理4确实改进了定理3.
定理5 定理4蕴涵定理1.
证明 设，，显然根据注1 , , 由（2）可得
，
这意味着Ciric压缩的确是压缩，因此，定理1是从定理4得出的.证完.
注4 根据定理5和定理4 的证明可知定理1和定理4是等价的.
注5 显然定理2.3-2.8以及推论2.9是定理1的直接结论，但根据注1，反过来是不成立的，因而它们不是定理1的推广，应注意，在-完备度量空间上，Hussain et al.[1]也是压缩不动点存在性的充分条件.
参考文献：
1.Hussain, N, Parvaneh, V, Samet, B, Vetro, C: Some fixed point theorems for generalized contractive mappings in complete metric spaces. Fixed Point Theory Appl. 2015, 185 (2015)
2.Banach, S: Sur les opeacute;rations dans les ensembles abstraits et leur application aux eacute;quations inteacute;grales. Fundam. Math. 3, 133-181 (1922) (in French)
3.Kannan, R: Some results on fixed points. Bull. Calcutta Math. Soc. 60, 71-76 (1968)
4.Chatterjea, SK: Fixed point theorems. C. R. Acad. Bulgare Sci. 25, 727-730 (1972)
5.Reich, S: Some remarks concerning contraction mappings. Can. Math. Bull. 14, 121-124 (1971)
6. Ciric,acute; L: Generalized contractions and fixed-point theorems. Publ. Inst. Math. (Belgr.) 12(26), 19-26 (1971)
7. Ciric,acute; L: A generalization of Banachrsquo;s contraction principle. Proc. Am. Math. Soc. 45(2), 267-273 (1974)
8. Jleli, M, Samet, B: A new generalization of the Banach contraction principle. J. Inequal. Appl. 2014, 38 (2014)
9. Aydi, H, Karapinar, E, Samet, B: Remarks on some recent fixed point theorems. Fixed Point Theory Appl. 2012, 76 (2012)
10. Aydi, H, Abbas, M, Vetro, C: Partial Hausdorff metric and Nadlerrsquo;s fixed point theorem on partial metric spaces. Topol. Appl. 159, 3234-3242 (2012)
11. Aydi, H, Karapinar, E, Samet, B: Fixed points for generalized (alpha;, psi; )-contractions on generalized metric spaces. J. Inequal. Appl. 2014, 229 (2014)
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