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HAPPLEL-RINGEL定理在倾斜代数中的应用
作者
MItsuo Hoshino
在【4】中,Happel-Ringel概括了Brenner-Butler的早期作品【3】,并广泛开发了倾斜模理论.他们也介绍了倾斜代数的概念.
令是一个阿廷代数,是它的一个有限生成的模.当满足下面三个条件时,被称作倾斜模:
- 投影;
- ;
- 存在一个精确的序列,,指向的和.
如果是遗传类,关于倾斜模的自同态代数被称作倾斜代数.
在【4,定理7.2】中已证明,如果阿廷代数的Auslander-Reiten图的一个分量包含了所有不能分解的投射模和一个有限的完整切片,则阿廷代数是倾斜代数.
阿廷代数的Auslander-Reiten图中的一个分量中不能分解的模的集合被称作中的一个完整切片,如果满足下面三个条件:
(i)对于中任意一个不能分解的模,包含在, 下的轨道上的一个精确的模;
(ii)如果中存在关于不可分解模的链,并且,为非零映射,那么所有的属于;
(iii)对于中的所有元素,不存在不可约映射的有向循环.
本篇文章的目的就是证明上述定义中的条件(iii)本质上是非必要的,即证明下面的定理.
定理 令是一个基本的阿廷代数.假设阿廷代数的Auslander-Reiten图的一个分量包含了所有不能分解的投射模,并且中存在不可分解模的有限集满足完整切片定义中的条件(i),(ii).那么要么是一个倾斜代数,要么是局部Nakayama代数.
于此同时,我们利用Bongartz【2,定理2.1】关于倾斜模的描述给出【4,定理7.2】的简短证明.
在本文中,所有模都是有限生成模.对于的一个阿廷代数, 用表示对偶函子,其中是遍历的的单射包络,或.参考【1】和Auslander-Reiten序列,我们可以自由的使用【1】的结果.
定理证明
首先考虑对于一些,.我们声明是局部Nakayama代数.(更一般的情况,【5】中证明,对于一个基本阿廷代数,如果存在不可分解模满足,并且包含的的Auslander-Reiten图的一个分量是不稳定的,那么是局部Nakayama代数.)如果是简约的,那么定理得证.所以我们假定是不简约的.令为Auslander-Reiten序列.根据条件(ii),的所有不可分解被加数都属于.令为的一个被加数.有以下三种可能情况:
(a)具有投影单射性.我们得到,因此,这表明是局部Nakayama代数;
( b )是不可投影的.我们可以得到一个不可约映射链,因此根据条件(i)、(ii),;
( c )不具有单射性. 根据(b)的二元论据,我们得到,因此.
我们可以声明,对于中任何不可分解模,满足,或者满足具有投影单射性.令中一个不可分解模.注意,中存在关于不可分解模的序列,满足成对不同构,并且对每一个,在到或到之间存在一个不可约映射.通过对作归纳法,我们证明对于一些有,而且或者具有投影单射性.我们注意到,的情况已经被证明了.假定.根据归纳法,对于每一个,对一些,,而且或者具有投影单射性.我们只需证明,然后我们的声明就可以从上述的论述得出.运用反证法,假设具有投影单射性.那么,或者.另一方面,因为不可能具有投影单射性,于是.因此,矛盾.令是一个不可分解的可投影的模.根据对的假定,且属于,因此必须具有投影单射性.所以我们得到,因此,这表明是局部Nakayama代数.
接着,假设对于所有,.令,.我们声明是一个倾斜模并且具有传递性.然后我们的声明可以从Brener-Butler定理(参考【3】和【4】)得出.
引理 1(【4】) .
证明 因为是的子群,这足以证明.假设存在,.利用以结尾的Ausiander-Reiten序列,我们得到由不可分解模和非零映射组成的链,因此根据条件(i),(ii),与假设相矛盾.
命题 2 具有传递性.
证明 用表示的有限直和的直和项.令为模的投影,是的子模.我们声明也是投影.注意到存在,使得可表示为.令生成元且
.
从而.根据条件(ii),我们得到一个分解,从而并且.经过推导,我们得出由具体行组成的交换图表
根据条件(ii),因此根据引理1序列(b)分裂.因此是分裂映射.在序列(a)上应用函子,我们得到分裂恰当序列
,
证明完毕.
引理 3 .
证明 假设不具有单射性,并且令为最小射影拆分.根据的定义,我们得到恰当序列
.
因为具有单射性,这足以证明.运用反证法,假设存在不可分解的投射模使得.注意到存在和非负整数,使得可以表示成.利用开始于的Auslander-Reiten序列,并且中,我们得到由不可分解模和非零映射组成的链,因此根据条件(i),(ii),这与假设矛盾.
注意到根据对的假设,大于等于不可分解投射模的数量.下面由Bongartz【2,定理2.1】提出的命题与引理1、3一起组成了对定理的证明.
命题(Bongartz【2】) 令是一个阿廷代数,包含个简单模,并且是一个包含成对不是同构不可分的的模.假定,并且.那么,,其中当且仅当是一个倾斜模.
参考文献
[1] Auslander, M., Reiten, I., Representation theory of artin algebras III. Comm.
algebra 3 (1975), 239-294.
[2] Bongartz, K., Tilted algebras. Springer L.N. 903 (1981), 26-38.
[3] Brenner, S., Butler, M. C.R., Generalizations of the Bernstein-Gelfand-Ponomarev reflection functors. Springer L.N. 832 (1980), 103-169.
[4] Happel, D., Ringel, CM., Tilted algebras. To appear in Trans. A. M.S..
[5] Hoshino, M., DTr-invariant modules. Preprint.
Institute of Mathematics
University of Tsukuba
Ibaraki, 305 Japan
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