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对于一类二阶非线性p-Laplacian微分方程的同宿解的研究
鲁世平
南京信息工程大学数学与物理学院，中国 江苏 南京 210044
安徽师范大学数学系，中国 安徽 芜湖 241000
摘要：本文研究了泛函局部极小点ϕ的存在性，以及p-Laplacian方程
，当，且
，其中且为常数时，方程的同宿解的存在性．
关键词：临界点理论、同宿解、周期解、p-Laplacian微分方程
- 引言
同宿轨的存在是哈密顿系统理论中的一个重要问题．在过去的几年中，有很多关于利用临界点理论讨论某些哈密顿系统同宿轨道的存在性的研究(参见参考文献[1-7]).例如，Lzydorek和Janczewska在[4]中的研究
， (1.1)
并得到以下结果:
定理1.1(见[4]):假设和满足下列条件：
(A1)是T-周期且与t有关，是常数;
(A2)存在一个常数b，对任一，有
;
(A3);
(A4)是连续有界函数且;
则方程(1.1)具有同宿解．
在[7]，Tan和萧进一步研究了p-Laplacian方程的同宿解存在性:
(1.2)
当,,是T-周期且与t有关,,,,且均为常数．得到如下定理．
定理1.2(见[7]):假设满足条件(A1)以及下列条件(B2)和(B4):
(B2)存在常数，，对于任一有
;
(B4)是连续有界函数且,
则方程(1.2)具有同宿解．
显然，无论是定理1.1中的假设（A2）或定理1.2中的假设（B2）均意味着强制条件：
当， (1.3)
在参考文献[4,7]中这是对方程(1.1)和方程(1.2)的同宿解存在的关键．在本文中，我们将继续研究方程(1.2)同宿解的存在性．上述结果是本文的目的．
众所周知，如果当时，，，方程(1.2)的解是同宿解．
此外，如果，称为非平凡同宿解．
为了得到方程(1.2)同宿解，我们首先得到一个新的结果关于泛函局部极小点的存在性(见引理2.4);并利用它，对任一，下列方程存在以为周期的解：
(1.4)
其中是一个以为周期，限制于区间．然后,根据方程(1.4)的解是以为周期，且序列极限存在，得到方程(1.2)的同宿解的存在．这个想法来拉比诺维茨在参考文献[5]中得出，Marein Lzydorek和Joanna Janczewska在[ 6 ]和Tan和肖在[ 7 ]．已有文献文的意义在于施加在函数的强制条件是不需要的．此外，条件函数是可以改变．
现在，我们列出我们的主要结果如下：
定理1.3:假设和满足以下条件:
(C1)是T-周期且与t有关，是常数;
(C2)存在一个常数，则
，，，和均为常数；
(C3)是连续有界函数且.
那么方程(1.2)存在非平凡同宿解,如果
， (1.5)
当.
特别地，假设
，且， (1.6）其中，，且均为常数．如果存在常数，那么
， (1.7)
然后从（1.60），可以很容易发现
，，．
利用定理1.3，我们得到如下结果：
推论1.1:假设（C1），（C3）和条件（1.6）仍成立．方程(1.2)具有非平凡同宿解,如果存在常数，那么（1.7）和以下不等式
成立．
特别是，如果假设(C2)中的满足，我们进一步获得以下结果：
定理1.4:假设定理1.3中的假设（C1）以及下列条件成立：
(D2)存在常数,，，，为常数；
(D3)是连续有界函数且,
那么方程(1.2)存在非平凡同宿解,如果
， (1.8)
其中，由假设(D2)得到，是常数，且满足.
假设
， (1.9)
其中，均为常数，.如果
， (1.10)
然后从（1.9）
，，．
所以我们从定理1.4得到如下结果：
推论1.2:假设（C1），（D3）和条件（1.9）满足，则式（1.2）具有非平凡同宿解，如果存在常数，那么（1.10）和以下不等式
成立．
注1.1:设
.
如果定理1.1中假设（A2）或定理1.2中假设（B2）成立，那么我们可以选择这样假设（C2）和条件（1.5）成立．此外，从条件（1.6）推论1.1，很容易看到函数被允许满足
，,
其中eta;是足够大的常数，这意味着强制条件（1.3）不需要．所以定理1.3概括了分别在[4,7]中的定理1.1和定理1.2 的主要结果．
2、预备知识
在本文中，对.对任一，设为定义域为值域为R的2kT周期函数的巴拿赫空间，范数为
;
为定义域为值域为R的2kT周期函数的巴拿赫空间，范数为
设为定义域为值域为R的本质上有界可测2kT周期函数的巴拿赫空间，范数为
.
引理2.1:设是方程(1.2)的解.如果且
,其中和是正的常数，那么当时，.
证明：这个引理可以用文献[7]中的引理2.5的类似方法证明．但为了方便阅读，我们给出了如下证明．如果结论是不正确的，那么必须有一个和一个序列满足那么
如下，对,
即
,其中.
于是
,
这与条件相矛盾．因此，引理的结论是正确的．
引理2.2([4,7]):设，．则对任一，以下不等式成立：
.
引理2.3([7]):设．以下不等式成立：
,
其中和是常数，且．
引理2.4:设是一个实的反巴拿赫空间，是的有界闭凸子集．假设是弱下半连续函数．如果存在一点那么
,
则必存在一点，有
.
证明：假设弱收敛于，则必存在一个序列,如此
且强收敛于，此时并且．那么意味着是弱闭．
鉴于是反巴拿赫空间，我们得到是的一个弱紧子集．于是用参考文献[8]中的定理1.1我们可以得到存在一点满足．因为，可以很容易看出，即．证明是完整的．
为了研究方程(1.2)同宿解的存在，我们首先要证明方程(1.4)存在周期为的周期解，对任一．
引理2.5:假设(C1)-(C3)以及定理1.3中条件(1.5)成立．那么对任一，方程(1.4)存在以为周期的周期解如此
， (2.1)
其中是常数由(C2)和(1.5)得到．显然，是一个常数，与k有关．
证明：对任一，设由下定义
(2.2)
则是弱下半连续．此外，可以很容易地检验
.
因此，如果是临界点，即，从(2.2)可知必是，方程(1.4)存在以为周期的周期解．于是，于是我们应该证明有临界点．为了证明，设，，其中
(2.3)
是常数，由假设(C2)和(1.5)得到．为了使用引理2.4我们应该证明如下断言：
(1)是的有界闭凸子集（这个论断非常清晰，这是由于不一定等于）；
(2)对于任一，
.
首先，我们开始证明断言(1)．设，并且在上．于是在上，这意味着
(2.4)
和
(2.5)
从在上，我们可知
结合(2.4)
.
通过(2.5)，我们得到
结合，即
我们得到
.
所以，这意味着是的闭子集．此外，，由于当时，是等价于
当，
我们看到以为界．明显为的凸子集．因此是的有界闭凸子集．
接下来我们将证明断言(2)．如果,那么.
故用引理2.3,我们得到
将(2.3)中代入上述方程公式中
.
因此，对于所有的，通过假设(C2）和(C3),
(2.6)
利用不等式
,， (2.7)
其中均为常数，从(2.6),,
结合(1.5)得
.
因此，利用引理2.4，我们可以看到每个，有一点
则
.
可以看出是的开子集，我们可以从[8]中定理1.3中看到
；
从(2.3)以及，我们可以得出
证毕．
引理2.6：假设定理1.3的假设（C1），定理1.4的假设（D2）-（D3）和条件（1.8）成立．对任一，方程（1.4）具有2kt周期解，那么
, (2.8)
其中是常数由(D2)和(1.8)得到，是常数且．显然，与k有关．
证明：设．显然，是的有界闭凸子集．类似于引理2.5的证明，其充分展示对任一，
.
如果，那么．通过引理2.3，我们得到
, (2.9)
此外，对所有，通过假设(D2)和(D3),
然后利用不等式(2.7)，我们得到
结合(1.8)
.
证毕.
引理2.7([7]):设，是方程(1.4)的2kT周期解，对任一满足(2.1)或(2.8)．那么存在一个序列收敛于在上．
3、主要结果证明
定理1.3的证明：如果定理1.3的条件的成立，即（C1）–（C3）和（1.5）是满足的，然后我们在引理2.5中得到了对任一，方程（1.4）具有2kt周期解满足（2.1）．通过使用引理2.7，我们
发现存在一个序列收敛于在上．现在，我们开始证明是方程（1.2）的解．因为ukj（t）是方程（1.4）的2kt周期解，,它满足
， (3.1)
取，那么必存在一个正整数满足，．故对，对所有有，则(3.1)可得
.
于是，通过引理2.7，是有，其中
.
因为对于，对于任一，和
是在上的连续微分，对于，
．鉴于是任意的，
，是方程(1.2)的解．
下面，我们将证明当时，，.
因为
显然，对于任一，如果，则通过(2.1)
.
分别令，我们可以得到
， (3.2)
则有
当时，.
故，通过引理2.2得，
当时：
， （3.3）
于是，，连通是方程(1.2)的解，即
，
得
.
此外，从(3.2),,用引
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