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斐波那契-卢卡斯准循环矩阵
LIN DaZheng
1.引言
若矩阵有如下结构
（1）
，则称其为准循环矩阵.这种矩阵的介绍和研究在[2]和[5]中有较为详细的讲解，在此不对这些做过多赘述.我们可以用D分别乘上循环矩阵C中左上角的所有元素（不包括对角线元素）来得到准循环矩阵（[4]），
其中
在这篇文章中，我们将证明，对任意有如下结果成立：
这里和表示n阶卢卡斯矩阵和n阶斐波那契矩阵，表示R的行列式.
此外，如果我们设，
其中k为正整数，则
这些研究结果的灵感来源于Pell等式.就像人们所知的，Pell方程的解是与二次场的单位所密切相关的.我们可以将这个结论推广到更高的领域中.
如果我们用来重写，那么我们可以由此得到方程
（2）
该方程被称作n阶Pell方程.利用我们已经得到的结果我们可以得到基于Fibonacci - Lucas数的具有无限个元素的高阶Pell方程族的解.
为了证明我们的推论，我们将需要两个命题.这两个命题来自[2]和[5].
命题1： （3）
这里此外，对等式右侧的每一个元素都是矩阵R的本征值.
命题2：设n和D是固定的，那么两个准循环矩阵的和、差、乘积都是准循环矩阵.准循环矩阵的逆也是准循环矩阵.
2.主要结论及其证明
我们现在准备陈述和证明第一定理.
定理1 设则 （4）
这里和表示n阶卢卡斯矩阵和n阶斐波那契矩阵，表示R的行列式.
证明：对n=2，我们有
定理显然成立.如果ngt;2，设
（5）
利用矩阵的乘法和Fibonacci - Lucas数的性质，我们得到
（6）
考虑到（6）式两侧的行列式，并注意到我们有
这里是n阶单位矩阵.因此，定理1成立.
推论1：如果则是Pell方程的一个解.
推论2：设则
证明：由定理1和命题1显然可得.
我们现在可以做出如下结论.
定理2 矩阵是可逆的.此外，（7）
这里并且
证明：因为所以R的逆矩阵存在.显然的，
因此，
在上述中，以下三个事实被使用：
这由斐波那契数列即可看出.
这用矩阵的乘法即可轻易验证.
这些是斐波那契数和卢卡斯数的公知的特性.
推论3：设且为奇数，则
是n阶Pell方程（3）的一个解.
设且为偶数，则
是n阶Pell方程（3）的一个解.
证明;在定理2的基础上，当n是奇数时，我们有
同时，由定理1可知，
所以，
由方程的解的定义可知，结论是正确的，对任意的n正名方式相似.
3.有关本篇论文的更多讨论结果
设为n解方阵.
则定理1有如下形式，对
我们也能得到相似的结果，但是它们的行列式的值并不是1，所以的逆矩阵
，并不是整数元素矩阵.
定理3
定理3中的结果中，与定理1有关，而其他结果都与有关，所以我将他们列举出来.事实上，我们可以从它们中推断出以下结论;
定理4 设且为整数，设k为整数，则
为了证明定理4，设 （8）
这里每一个行列式中的元素都是零.下面证明定理4是由以下4点组成的：
我们能够从五个引理中获得以上四点.
引理1 假设是按照（8）（9）那样定义的.则
证明： 设T为（5）中所定义的一样，则由行列式性质我们可以得到，
这就完整地证明了引理1了.
引理2 （10）
证明;用的第二列减去第一列，这样利用斐波那契数的性质，第一列就变成了
，这里T表示向量或矩阵的转置.
通过用前一列减去后一列这种方法，当减到第n k-1次时，前两列变为
接下来，如果n k是奇数，那么就交换前两列，如果n k是偶数则保持不变.那么前两列就变成了
因此，
将行列式按第一行展开，并注意到，我们可以得到
到此，引理2已被证明.
引理3 （11）lsquo;
证明; 利用归纳法
（A）一方面，由的定义，我们有
另一方面，（11）式的右侧可变为
因此，当n=2时引理成立.
（B）假设（11）式对n-1时成立，则
（12）
我们将证明（11）式对n也成立.由（12）式和（10）式，我们有
因此，（11）对n成立，根据归纳准则，（11）式对任意均成立.因此，引理3成立.
推论 4
证明; 令（11）中k=n即可.
引理4 （13）
证明;通过（9）式的第n行展开，即可得到我们想要的结果.
引理5 （14）
证明：由（11）式和（13）式，并注意到我们可以得到
=
由此，引理5成立.
推论5
证明;令定理4中的k=n，并注意到即可证明.
参考文献
1.LinDazheng.'fibonacciMatrices.'TheFibonacciQuarterly37.2(1999):14-20,MR,99m;11011.
2.shen Guangxing. 'On Eigenvalues of Some cyclic Matrices.' Math.Application 4.3(1991):76-82.
3.Richard K.Guy.Unsolved Problems in Number Theory.New York:springer-verlag,1981.
4.Hua logengamp;Wang Yuan.Applications of Number Theory to Numerical Analysis.science Publishing House(in Chinese),1978;New york:Springer-verlag,1981.
5.Tang Taimingamp;Lin Dazheng.'Diophantine Approximation Circulant Matrix and Pell Equation.'J.Shaansi Normal univ.(Natural Science Ed.)28.14(2000):6-11.
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