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分块三角矩阵极大极小秩的完善问题
田永革
摘要
本文考虑了具有极大和极小的分块矩阵的秩的两个完成问题：令为一个阶分块矩阵，其中给出，而且是一个变量分块条目。然后确定所有这些变量块条目使得各自有极大和极小可能秩。通过使用广义逆矩阵理论，我们提出了完整的解决这两个问题的方案。作为应用程序，我们还确定矩阵表达式的极大和极小秩，当X是一个变量三角分块矩阵，然后呈现一个矩阵方程具有三角形块解的充分必要条件。
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AMS分类:15a03;15a09;15a24
关键词：秩；分块矩阵；广义逆；完成问题；矩阵方程；解
- 引言
假设是给出的低阶三角分块矩阵，是任意的上三角分块矩阵。
，
（1.1）
，
是 一个已知的矩阵，是一个变量矩阵。进一步令为（1.1）中所有矩阵的集合。在本文中，我们考虑如何选择使得
, （1.2）
和
, （1.3）
各自成立。
这两个问题在矩阵理论中是极大和极小的秩的完成问题，以前已经由许多作者从不同方面仔细审查过（参见，例如，[2,4,6,7,14,15]）。 在本文中，我们希望通过利用广义逆矩阵理论对这两个问题进行新的研究。
在整个过程中，我们所有的矩阵都在任意领域F内。对于领域F内的矩阵A，令表示其转置，表示A的广义逆矩阵（g-逆），就是矩阵方程的一个解G；表示A的秩；表示A的范围（列空间）。符号和代表由A引起的两个投影,。矩阵和0代表适合上下文的恒等式和零矩阵。
本文中使用的关键工具是一组由Marsaglia和Styan定义的等级公式 [9]。
引理1.1[9] 已知A,B,C和D分别是的矩阵。而且
， （1.4）
， （1.5）
， （1.6）
其中，。
引理1.2 假设 （1.7）
是一个的分块矩阵，其中分别是三个已知的 矩阵，是一个变异的矩阵。则
- 关于的极大秩是
， （1.8）
满足（1.8）的可以表示为
， （1.9）
V和W是任意两个矩阵，而且使得
成立
其中，。
- 关于的极小秩是
， （1.10）
满足（1.10）的正好是连续线性矩阵方程一般解，可以写成
， （1.11）
其中V和W是任意两个矩阵。
- 满足（1.10）的矩阵是唯一的当且仅当
，
在这种情况下，唯一的矩阵是。
- 相对于的选择，的秩是不变的，当且仅当
， （1.12）
或者。 （1.13）
证明：在（1.7）中应用（1.6）到，我们得到
， （1.14）
其中。因此，相对于的极大和极小秩实际上由决定。很容易发现
， （1.15）
并且矩阵由（1.9）给出；
， （1.16）
并且矩阵由（1.11）给出。将（1.15）和（1.16）放在（1.14）中得到（1.8）和（1.10）。
（c）部分的结果是（b）部分的直接后果。相对于的秩的不变性相当于（1.8）和（1.10）相等，那意味着
或者。
最后，把（1.5）应用到它们中得到（1.12）和（1.13）。□
注意到是（1.1）中对应的n=2的最简单的情形。因此，引理2实际上提出了（1.2）和（1.3）中两个问题在n=2时一个完整的解。我们的工作在以下两个部分实际上是
将引理1.2中的结果扩展到的情况。
- 的极大秩
为了方便表示，我们对（1.1）中的分块矩阵使用以下符号：
， （2.1）
， （2.2）
， （2.3）
（2.4）
， （2.5）
。 （2.6）
从（2.4）和（2.5）我们发现
。 （2.7）
此外，我们使用
以表示（1.1）中的第i个上部块中的n-i个变量块条目的亚对角线对的集合。
定理2.1 令由（1.2）给出。则受影响的的极大的秩是
， （2.8）
其中s和t分别是的行号和列号，和分别是（2.4）中的行号和列号。
证明：通过n。 当n = 2，（1.2）中的与在引理1.2中具有相同的形式，并且（1.8）中的结果正是（2.8）中的结果。因此（2.8）对于n = 2成立。现在假设（2.8）对于成立。然后，我们考虑n。 根据（2.1）到（2.6），（1.2）中的可以被分割如
。
在这种情况下，可以通过以下两个步骤计算受影响的的极大的秩：
。 （2.9）
应用（1.8），我们首先发现
， （2.10）
并且满足（2.10）的矩阵可写为
，
其中和是两个任意矩阵，，
而且使得成立。
继续（2.9）的下一步是找到（2.10）中受影响的分块矩阵的极大秩。注意到
， （2.11）
其中。
因此，（2.11）实际上是一个新的与（1.2）中的形式相同的阶分块矩阵。因此，通过诱导假说，我们知道
，
其中。将其代入（2.10）
。
注意和，因此上述结果正好是（2.8）中的公式。□
从定理2.1的证明，我们还可以得出一组公式计算在矩阵中满足（2.8）的分块列矩阵。
定理2.2 满足（2.8）的矩阵中分块列矩阵 的一般表达式可以写入感应公式
， （2.12）
， （2.13）
其中，
是任意的矩阵。
并且，
同时使得成立。
将（2.12）和（2.13）代入（1.2）中的矩阵将产生（1.2）中的极大秩的一般表达式。
在定理2.1和2.2的基础上，我们能够考虑（1.2）中的是一个方形分块矩阵的非奇异性。
推论2.3 假设（1.2）中的是的正方形分块矩阵。然后，存在一个， 使得（1.2）中的是非奇异的，当且仅当中的分块矩阵满足
，
，
，
其中和分别是的行号和列号。在这种情况下，矩阵中的分块列矩阵使得是非奇异的，也由（2.12）和（2.13）给出。
如果（1.1）中的矩阵满足一些附加条件，则定理2.1和2.2可以高度简化。 特别地，当（1.1）中的是分块对角矩阵，我们有以下简单的结果。
推论2.4 假设（1.1）中的是分块对角矩阵，即（1.1）中。则
， （2.14）
其中和 如在（2.8）中给出的。满足矩阵中的分块列矩阵由感应公式给出
，
，
其中，
是任意的矩阵。
并且使得成立，其中。
作为分块矩阵的极大秩的双重问题，存在所谓的“完成矩阵及其逆”问题。 一些阶分块矩阵的特殊形式已经被很好地检查，例如
，
和
，
（参见例如[1,5,16]）。 作为这些问题的延伸到块情况下，我们可以（1.2）中的分块矩阵提出如下逆的完成问题。
问题2.5 假设（1.2）中的是方块分块矩阵。 再假设是给定的矩阵。 然后找到使得
。 （2.15）
在推论2.3的基础上，以及[13,16]的结果，不难找到（2.15）的完整解。 但我们不打算在本文中考虑这个问题。
- 的极小秩
从引理1.2（b）的结果，我们看到变量条目使得具有其极小秩事实上是由中的给定矩阵构造的一致线性矩阵方程的一般解。通过重复使用引理1.2（b）不难发现列分块条目在的极小完成秩中的也是由给定分块条目构造的n-1个一致的线性矩阵方程的一般解。
定理3.1 令由（1.3）给出。则
（a）[14]受到影响的的极小秩是
， （3.1）
（b）满足（3.1）的矩阵中分块列矩阵 的一般表达式可以由感应公式计算
，
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