用Leray-Schauder型不动点方法求解非线性算子方程组外文翻译资料

 2022-12-17 14:48:47

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用Leray-Schauder型不动点方法求解非线性算子方程组

,

a The AGH University of Science and Technology,Krakow,30059,Poland

b The Abdus Salam International Center of Theoretical Physics,Trieste,Italy

c Ivan Franko State Pedagogical University,Drohobych,Lviv region,Ukraine

d Department of Mathematical Sciences,NJIT,NJ 07102,USA

摘要

在这里，我们通过将Banach子空间简化为Leray-Schauder型不动点问题来研究非线性算子方程的解集.子空间 在具有有限的维数 ,其中 是无穷紧致的Hausdorff空间,并且由条件定义

d=0,C(X),其中||，n0

关键词

非线性算子方程；Leray-Schauder型定理；不动点理论；解集分析

1 介绍

我们认为是一个无限紧致的Hausdorff空间，是上所有连续实值函数的Banach空间，与通常的范数有关.上的任何线性连续函数可以表示为[1-3]

=d. (1.1)

这里是一些Radon测量，即在所有Borelset上的定义[2]上的可数加性有界正则函数.并且（1.1）中的积分在Radon-Stieltjes意义上被理解.

现在通过以下一组线性方程构造有限缺缺陷 的线性子空间sub;C(X) ：

d=0 (1.2)

其中d 线性独立(非原子）Radon测量，在子空间上消失.它们产生闭合子空间sub;(X).

现在回想一下,由于哈恩定理 [2]，[1]，[3]对于任何给定的度量mu;isin;(X)每个Borel集合 esub;X 允许分解为两个非交叉集 和,这样()ge;0,如果,()le;0,如果. 这个对称e 和 eminus; 被称为 mu;- 集合的分解 esub;X.任何测量变化mu; 在一套 esub;X 被定义为数字 此外,人们可以很容易地证明功能（1.1）的范数被确定为

|| .

回想一下，度量的支持度被定义为闭集，其补充是度量变化消失的所有开集的总和。

现在考虑一个线性闭合的满射算子:C(X), 在球体上定义 (0)sub;C(X) 半径 rgt;0 并以零为中心是一个Banach空间。我们也假设D()=D()(0). 然后是以下非线性算子方程

, (1.3)

在由上述条件（1.2）定义的有限维数nisin; nisin;Z 的子空间 sub;C(X)中提出并且要解决，其中所有范数||，n0 .

为了分析并最终解决这个问题，我们将利用拓扑Leray-Schauder型定点技术[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，[11]，最近在[12]，[13]，[15]中进行了扩展

2 Leray-Schauder型定点方法

定义扩展线性运算符 =:C(X)形式如下：

(2.1)

在这里定义. 由于强加在子空间上的条件sub;C(X)，我们声称线性算子的范围 是 n- 维度，实际上是所有的欧几里德空间 .因此，以下引理成立.

引理2.1

线性算子C(X)是封闭的和满足的.

证明

仅仅证明映射就足够了:C(X)是完全的,因为它是整个空间上定义的C(X).为了表明这一点，我们来看看,任意选择的可测量集的特征函数Q,并考虑以下标量：

=0 (2.2)

为矢量 sisin;En。如果等式 （2.2）拥有一个非平凡的解决方案s̄isin;，映射的主观性 是矛盾的.但是从（2.2）中可以发现

=0 (2.3)

接下来，我们构造扩展的非线性映射:C(X)如下：

=(),0) (2.4)

同上, isin;D(xi;)。然后可以将初始问题（1.3）重写为

, (2.5)

这里(0),C(X)由引理2.1和非线性映射知道它是闭合的和满射的,C(X)是连续的.因此，我们减少了研究解决方案集的初始问题.（1.3）研究设定为（2.5）的解决方案，利用Leray-Schauder定点型的拓扑方法。

3 解决方案集分析

研究相应解集的性质() 非线性问题的（2.5）以下[12] ，[13] ，我们强加给和以下条件：

  1. 映射是紧凑；也就是说它是连续的，对于任何有界集合F合S,即(S相对紧凑的
  2. 存在有界常数gt;0，则有

lt; (3.1)

  1. 这个常数满足不平等lt; (3.2)

||||= {: (3.3)

和=|C(X)Ker是因子空间中的线性可逆射动和连续算子C(X)到Banach空间. 我们需要以下两个引理

引理3.1

扩展映射C(X)是连续的紧凑

证明

它遵循假设 映射的紧凑性 xi;:C(X)→从Lyapunov型属性[14]，[1]，[3]可以看出，对于任何有界集合存在有界

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