本科毕业设计（论文）
外文翻译
非交换韦达定理和对称函数
作者：以色列·盖尔范德，弗拉迪米尔·雷塔赫
国籍：美国
出处：1995年7月10日，新泽西州，罗格斯大学新不伦瑞克分校数学系毕业论文
中文译文：
本文已提交给盖尔范德1994-95年研讨会卷
对于非交换情形，有两种方法可以推广交换代数的基本结构。更传统的方法是在非交换变量上定义交换函数，如迹或行列式。从这个被不同作者广泛使用的方法[6]开始，参见例如[5], [15], [14], [12], [11], [7]。
然而，还有另一种可能性可以处理纯非交换对象，而不需要使用迹或行列式，也不需要传递到从[9]和[10]开始的商空间或商代数。让我们用一个最简单的例子来比较这两种方法——经典的韦达定理，当然，这是对称函数理论的起点。
考虑一个代数方程
(1)
在非交换的情况下，第一个通过方程(1)的解表示系数的公式出现在[8]，第7.1节。本文大量使用了[9]、[10]发展起来的(非)交换环上的拟理想终止理论。的表达式是通过根据变量得出的范德蒙准行列式的比值给出的。
这些表达式一般是的有理函数。在交换的情况下，我们必须使用非平凡行列式恒等式来得到经典的韦达公式。
在一篇有趣的论文中[7]， 福克斯和史瓦兹试图给出非交换情况下经典韦达公式的一个类比。设(1)式的系数属于代数在上的一个域，是(1)的一组独立解(对于矩阵情况，它意味着对应的群范德蒙行列式不等于零)。福克斯和史瓦兹已证明。
定理1如果有一个附加射tr: R→k满足
对于任意u，visin;F，条件tr uv = tr vu满足，则
如果存在乘法射det: R→k，则
当和是复矩阵时，这个结果在[7]中得到了证明。然后作者们利用复矩阵的恒等式在任意单位联想环中也成立的Amitsur定理，得到对于中间系数，[7]中没有类似的公式。
在本文中，我们将给出非交换韦达定理的更一般的形式。它不要求迹或行列式的存在，并给出了中间系数的计算公式。
也就是说, 对于方程 (1) 在（非交换）反称域上的 '泛' 解 集, 我们将构造一组有理函数 ，具体取决于 和一组变量
， （2）
其中。我们称为 的范德蒙准行列式(见第2节)。我们的第一个主要结果是
对于。
特别地,
定理1紧跟着我们的表述和公式(2)。这里我们不使用Amitsur定理。我们的证明是基于“诚实的”代数计算，使用的是准行列式恒等式。由于这些原因，我们在由交换域上有限组非交换变量生成的自由反称域上进行计算。
这个或的表达式（其中）是的对称函数。沿着[8]的总思路，考虑生成的特征值为零的非交换域上的自由联想代数Symm。这个代数的每个元素都可以看作是的多项式和的有理函数。
定理5. 当且仅当P属于代数Symm时，多项式P ()在中对称。
换句话说，这个定理表明“实”对称函数是[8]意义上的“抽象”对称函数。根据[8]第7.3节，我们描述了这些函数中的一个基。
使。如果而且大于，那么整数就被称为的一个“下降”。
对于任何非负整数集合，考虑一个函数
其中 而且这个和覆盖了所有的，其中“下降”恰好是。
这些函数在[8]中称为ribbon Schur函数。从[8]中的第7.15号命题，第7.3节可以得出，函数在Symm中形成一个线性基。这意味着Symm中的基是由非负整数序列参数化的。我们还记得，在交换的情况下，经典Schur函数的已知基是由非负整数的弱递增序列参数化的。
还要注意函数
当和遍历所有时，就构成了函数的一种特殊形式。函数是交换情况下完全对称函数的类似物。它们在[8]第7.3节中已经被考虑过。
1. 我们回忆一下在[9][10]中定义的一个准行列式的概念。设是一个具有形式的非交换项的阶方阵。：是的子矩阵，对于, ，我们用表示。设为由形式变量定义的自由反称域。
定义 公式
(若，上式化简为 ) 归纳地定义了矩阵的准行列式。
这个定义也适用于反称域上的泛型矩阵，即定义了的公式中所有表达式的矩阵。
备注. 由Amitsur[1]引入自由反称域，由Bergman[2]和P. Cohn[3]、[4]研究自由反称域，并将其描述为由非交换多项式环组成的普遍反称域; 它们是类别中的普遍对象, 其形态是专业化的。一个不熟悉这个主题的读者可以把我们的表达看作是一般情况。
例 对于的情况，由四个准行列式
在交换的情况下.
2. 让我们构造一些我们称之为范德蒙德准行列式的表达式。假设给定一个反称域上方程(1)的有序解集。考虑的形式表达式
(3)
我们称这些表达式为范德蒙准行列式。如果所有的都是被定义的且可逆的，我们称这个解集为泛型。
例 通过准行列式的定义:
令
对于 定义
(4)
例
现在我们来阐述主要的结果。
定理 2 如果是方程(1)在反称域上的一个有序泛型解集，那么对于
其中由式(4)定义。
特别地,
注意，每个都依赖于的顺序，但是的表达式不依赖于顺序。
3. 让我们来说明定理2。对于，很容易证明和是方程的解
其中
注意同一形式
因此，和不依赖于变量和的顺序。
还要注意，函数在中是不对称的 (但是 是对称的!).
“手动”检查是方程解的方法是可行的
其中
由式(4)给出。我们也可以检验在中是否对称。然而，即使在这种情况下，也最好遵循一般的证明。这种证明使用了下面的定理3和来自[9]和[10]的准行列式。
4. 下面的结果基本上是在[8]，节7.1中得到。
定理 3设是方程(1)的一组独立解。对于
这个定理证明了系数是两个阶准行列式的比值。
在的[8]初等对称函数中调用了这种带有符号变化的表达式。它在[8]中被证明了，而且它也遵循定理2即这些函数在中是对称的。
例 对于
根据定理3以及观察得出，方程(1)可以写成准行列式的形式
关于由式(2)定义的范德蒙准行列式的变换，可用来比较左(1)式和右式的解
（5）
我们这里只举一个最简单的例子。
定理 4假设是左边方程(1)的独立解，那么是右边方程(5)的解。
参考文献
[1] A.Amitsur, 理性恒等式及其在代数和几何中的应用, J. 代数3, 1966, 304-359
[2] G.M.Bergman, 非交换有理函数的反称域, Amitsur之后, Sacute;eminaire Schuml;utzenberger-Lentin-Nivat 1969-70, 16,1970
[3] P.M.Cohn, 自由环及其关系, Acad. 1985出版 (1971第一版)
[4] P.M.Cohn, 反称域结构, 剑桥大学出版社, 伦敦数学. Soc. Lect. Notes 27, 1977
[5] A.Connes, 非交换几何, 学会出版社, 1994
[6] J.Diedonne, Les dacute;eterminantes 关于非交换情形, Bull. Soc. 数学. 法国 71, 1943, 27-45
[7] D.Fuchs, A.Schwarz, 矩阵韦达定理, 预印本
[8] I.Gelfand, D.Krob, A.Lascoux, B.Leclerc, V.Retakh, J.Y.Thibon, 非交换对称函数, 数学的发展.112, 1995, 218-348
[9] I.Gelfand, V.Retakh, 非交换环上矩阵的行列式, Appl分析. 25, 1991, 91-102
[10] I.Gelfand, V.Retakh, Graphs的非交换行列式和特征函数的理论, Appl分析. 26, 1992, 1-20; Publ. LACIM, UQAM, 蒙特利尔, 14, 1-26
[11] I.Gelfand, M.Smirnov, Chern-Simons类的代数, 泊松括号和规范群,在: 李理论与几何(以B. Kostant的名义发表的论文), 数学的进步. 123, 1994, 261-288
[12] M.Kontsevich, 形式(非)交换辛几何, 在: Gelfand 数学. 研讨会, 1992. Birkhuml;用户, 波士顿, 1993, 173-189
[13] D.Krob, B.Leclerc, 拟行列式和量子行列式的子恒等式, Comm. 数学. 理论物理., 1995
[14] D.Quillen, 超连接和Chern字符, 拓扑结构24, 1985, 89-95
[15] G.-C.Rota, B. Sagan, P.-R. Stein, 非交换代数中的一种循环求导, J. 代数, 64, 1980, 54-75
矩阵形式下的韦达定理重述
作者：阿兰·孔涅，艾伯特·施瓦茨
国籍：法国
出处：1997年Kluwer学术出版社，在荷兰印刷。
中文译文：
下面是在[1]中证明了韦达定理的矩阵模拟。设表示矩阵方程的个独立解
（1）
这里的，是的复数矩阵。(如果系数可以用表示，则解是独立的。关于独立性的更精确的定义在稍后将给出。) 那么
（2）
（3）
一般来说,有
（4）
对于每一个复数。我们可以在幂级数中对展开(4)式。然后我们得到了关于系数的表达式：
（5）
如[1]中所示，当，在方程（1）中是一个带有迹和（或）满足标准要求的行列式的任意关联环中的元素时，类似的陈述也正确。这篇文章的目的是给[1]的结果一个新的证明，并提出这些结果的一些概括。对于矩阵的情况，首先在[1]中证明了式(2)- (4); 通过对矩阵情况的约简，分析了任意环的情形。我们能够直接分析一般情况。而且，在矩阵的情况下，我们的表述比[1]的结果更有说服力。
让我们考虑方程(1), , 是一个关联环中的元素。如果系数可以用进行表示，我们说解是独立的。也就是说，矩阵
（6）
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本科毕业设计（论文）
外文翻译
Noncommutative Vieta Theorem and Symmetric Functions
作者：Israel Gelfand Vladimir Retakh
国籍：United States of America
出处：Department of Mathematics, Rutgers University New Brunswick, NJ 08903 July 10, 1995
原文正文：
This paper is submitted to Gelfand Seminar Volume 1994-95
There are two ways to generalize basic constructions of commutative algebra for a noncommutative case. More traditional way is to define commutative functions like trace or determinant over noncommuting variables .Beginning with [6] this approach was widely used by different authors, see for example [5], [15], [14], [12], [11], [7].
However, there is another possibility to work with purely noncommutative objects without using trace or determinant or passing to a quotient space or quotient algebra started in [9] and [10]. Let us compare these two approaches on a simplest example - a classical Vieta theorem which, of course, is a starting point in a theory of symmetric functions.
Consider an algebraic equation
(1)
In a noncommutative case first formulas expressing coefficients via solutions of the equation (1) have appeared in [8], Section 7.1.This paper heavily used a theory of quasideterminants over (non)commutative rings developed in [9], [10]. The expressions for were given via ratios of Vandermonde quasideterminants depending of variables .
These expressions in general are rational functions of . One must use then nontrivial determinant identities to obtain classical Vieta formulas in a commutative case.
In an interesting paper [7] Fuchs and Schwarz tried to give an analogue of classical Vieta formulas in a noncommutative case. Let the coefficients of the equation (1) belong to an algebra over a field and be a set of independent solutions of (1) (For a matrix case it means that the corresponding bloc Vandermonde determinant is not equal to zero). Fuchs and Schwarz proved.
Theorem 1 If there is an additive morphism tr : R → k satisfying the
condition tr uv = tr vu for any u, v isin; F , then
If there is a multiplicative morphism det : R → k, then
This result was proved in [7] when and are just complex matrices. Then the authors used the Amitsur theorem that identities which hold for complex matrices hold also in arbitary associative rings with units. There are no similar formulas in [7] for intermediate coefficients
In this paper we will give much more general version of noncommutative Vieta theorem. It does not require the existence of trace or determinant and also give formulas for intermiediate coefficients.
Namely, for a “generic” set of solutions of the equation (1) over a (noncommutative) skew-field we will construct a set of rational functions depending of and a set of variables
， （2）
where . We call virsquo;s Vandermonde quasideterminants (see section 2). Our first main result is that
for
In particular,
Theorem 1 immediately follows from our statement and formulas (2). We do not use Amitsur Theorem here. Our proof is based on “honest” algebraic computations using quasideterminant identities. For these reasons we are working inside free skew-fields generated by a finite set of noncommutative variables over a commutative field.
The expressions or for are symmetric functions of . Following a general line of [8] consider a free associative algebra Symm over a noncommutative field of characteristics zero generated by . Each element of this algebra may be viewed as a polynomial of as well as a rational function of .
Theorem 5. A polynomial P of is symmetric in if and only if P belongs to the algebra Symm.
In other words, this theorem shows that a “real” symmetric functions is an “abstract” symmetric function in a sense of [8]. According to Section 7.3 of [8], we describe a basis in these functions.
Let be a word. An integer is called a descent of if and is greater than .
For any set of nonnegative integers consider a function
where and the sum is running over all words where descents are precisely .
Such functions were called ribbon Schur functions in [8]. From Proposition 7.15 in [8], Section 7.3 it follows that functions form a linear base in Symm. It means that the base in Symm is parametrized by sequences of nonnegative integers. We recall that in a commutative case the well-known base of classical Schur functions is parametrized by weakly increasing sequences of nonnegative integers.
Note also that functions
where the sum is running over all constitue a special form of functions . Functions are analogues of complete symmetric functions in a commutative case. They were considered in [8], Section 7.3.
1. We recall here a notion of quasideterminant defined in [9], [10]. Let be a square matrix of order with formal noncommutative entries . For , denote by the submatrix of . Let be a free skew-field
defined by formal variables .
Definition The formula
(which reduces to if ) defines inductively quasideterminants of the matrix .
This definition is also valid for a generic matrices over a skew-field, i.e. matrices for which all expressions in the formula for are defined.
Remark. Free skew-fields were int
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