第8章：指数和根
指数定义
对于，x是底数，n是指数。
我们定义了积极的整数次幂
（n是x的指数）
对于正整数幂，因为我们可以写出来的乘法。
例如：
我们现在要求这种规则保持即使n和m不一定是正整数，虽然这意味着我们再也不能写出对应的乘法。（你该用什么方法把它的这个乘法式子表达出来？或者用次数和分数来表示？）
我们可以通过类似的考虑来划分研究出来的的规则，并发现指数的几个新特性：
（我们假设的这么多种类，总是把它的Xne;0要除外）。这条规则是相当合理的，当m和n为正整数，则Mgt; N。举例：
在那里计算是5 - 2=3。
然而，在其他情况下，它这样的情况，会导致情形我们必须定义为新的属性指数。首先，假设M lt;N。我们可以用来简化它通过消除类似因素。
比如：
但是，接下来的规则会让我们得出下面结论
为了使这些两个结果是一致的，所以这个计算过程一定是正确的
对于更一般的来说
bull;注意，在指数里面减号不会使结果负指数。相反，它使得它的结果与正指数的倒数。
现在假设N = M。接下里来的分数式子变成
这显然等于1，但我们的规则给出的结果应该如下
再次，为了保持一致，我们必须指出，这两个结果是相等的，并且所以我们定义出
对于x的所有值（除X = 0，因为没有意义）
总结指数的几条规则
以下的规则中，x，y，n和m的定义都是实数，那么得出的规律是：
1. 是没有任何意义的
2. 除以零是没有任何意义的
3. 提高负数的分数幂可以推广到之前没有定义的数字范围
注意：对于上述变化，必须是要在底数相同的情况下
根的说明
根对于指数来说，是一种逆运算。一个数的根对于指数来说是一个反馈，反之也是这样，指数对于根也是一个反馈。（用正确的术语来描述，这些类型的关系就是互逆的，但有一些根只能严格划分为反函数，如果我们注意到加号或减号的一些计算和判断好加减的时候，我们就不用担心这些公式的错误运用）。常见的指数的例子是平方根，计算的方法只要平方即可。例如3的平方就是9。现在对于9再进行开平方，就可以得到3。其他根的得出也类似于开平方根。比如立方根，例如现在将指数提高3，那么8的立方根就是2，因为。在一般情况下，一个数字的n次方根的组成有如下部分：
开根的次数 根号
被开方数
有且只有写成
因为
我们剩下指数是两次的根符号作为讨论，因为它是最普通的了。据了解，如果没有指标显示，那么那个指标就是2了。
有且仅等于
因为
平方根
平方根是平方函数的反函数。（严格说来只能为正数，因为当为负数的时候，符号信息会丢失）
主根
bull;每个正数都有两平方根，一正一负。
例如：2是4的平方根，因为2times;2 = 4，但–2是4的平方根
因为（–2）times;（–2）= 4
为了避免对于这两个定义的符号之间的混淆，（这个符号叫做根号）意味着主根或正的平方根。
对于之前的总结来看，对于任何的正数x，都有是这个正数的正根，是这个正数的负根。如果你想描述负根的话，就在它的正根面前加上负号就可以。
例如：，。
特性：，对于所有非负的实数x都满足。，对于所有非负的实数x都满足。然而，如果x有一个负根的话，按照平方根的计算方法，那个实数还应该会有一个相对应的正根。所以，对于所有的实数x都满足。
bull;你不需要绝对值符号如果你已经知道x是正实数的话。例如，，如果回答说它的平方根是绝对值2的话，都是多余的了。你只要知道它的绝对值的大小，并且让你求的是那个数的平方根，你就可以求出两个根，一个正根，一个负根。
bull;负数的平方根是未下定义的的，因为任何时候一个数都会有一种正的（或零）平方根的存在。=是未下定义的（你的计算器计算出来一定会是错误的）
注意：0有且仅有一个平方根（它自己）。0没有其他的正根和其他的负根。
警告：不要试图做一些违背计算规律的计算：
（错误的）和（错误的）这是一个违反计算法则的计算方式。任何的结论都要有证明的过程，对于整个证明过于复杂。那么，我们用几个数字进行尝试：
（正确）
但如果我们（错误地）用那个方法来计算做平方根，我们得到
（错误）
然而，根式有下面这些变换形式：和
用来计算的A和B一定都要是非负的（否则你会计算一个负数的平方根）。
完美的平方数
有一些数是完全平方数，他们的平方根就是整数：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 等等。这说明了如果一些数不是完全平方数，那么他们的平方根就要保留根的形式：, , ,
等等，这些都是无理数。所以来说，所有的整数的平方根不是整数就是无理数。
简化的根的表达式： 对于所有的实数x都满足
对于所有的非负的x，y都满足
对于所有的非负的x，y都满足，并且y不等于0。
注意：不要擅自消去根号里面和根号外面的数据。 错误的。
如果你按这样做，就消去了3和，这样计算出来的结果是不一样的两个数字。
为了减少被开方数的复杂性和更好的计算出完全平方数。我们只考虑在根号里的数开平方根，所以我们寻找的是什么因素会影响那个数会是完全平方数。在下面的例子中，我们假设x是正实数。
例如：。
在这种情况下，16被认为是一个完全平方数，我们先来计算它，对16开根号，使它成为4的平方根。
例如：
尽管不是一个完全平方数，但是它的一部分却是完全平方数，它的平方根是x。
例如：
这里的完全平方数就是，它的平方根是。
例如：
根据这个例子，我们取出4和这两个因数，因为它是一个完全平方数，那么就还剩下2这个因数和一个x。
解这类题的最基本的方法就是分解成尽可能多的完全平方数，然后再对剩余的数进行开方。
分母有理化
有一个“规则”就是要去简化分母里不能再计算出来的根式。这样规定的原因还不清楚（这似乎是我们要进行计算的第一步），它仍然将是一个规则，在你之后的数学课上你会学习到。要消去一个平方根的办法就是乘以它自己本身，这样你就能得到一个整数了。你必须要做分母有理化的这个过程，所以我们有一下规则。
如果分母只是一个单一的式子：乘以以分母为分母和分子的分数。
例如：
注意：如果你用n次方根来代替平方根解决问题的话，那么你需要乘以n次方根的式子来进行化解。例如：取一个开3次方根的数，那么你需要乘以两个因数的根，共计三个因数。
如果分母包含两个方面：
如果分母含有平方根加上一些其他的式子，有一个特别方便的方法，就是两个数的平方数的差，利用两个平方差公式：
假设你的分母，看起来像一个a b，其中b是一个平方根，那么有好的方法用来计算。如果你再乘以一个a–B，然后你会结束你的平方根的平方，这意味着没有更多的平方根。它被称为共轭的式子（反之亦然）。一个例子将有助于你的理解。
例如：
分子和分母都有x的，通过乘以一个共轭的分母：
化简结果：
二次方程定义
a，b，c是常数（一般整数）
根：
等价于：解决方案或零点
bull;可以有0.1或2个真根。
考虑二次方程曲线图。二次方程式看起来像，但是如果我们采取二次表达式，使得它等于y，我们将有一个函数：
当我们画x，y的图像，我们称它为二次函数的曲线。当给a，b和c特定的数值，控制曲线是相对于原点（左，右，上，下），以及如何迅速展开画图。同时，如果a为负，那么则会为倒的抛物线。那么我们怎么和两次方程结合在一起去解决方案吗？嗯，当Y = 0则方程是我们原来的方程相同。
从图形上看，Y是零，当曲线通过x轴时。因此，对原有的二次方程的解就是X的函数值当函数通过x轴。从下面的数字，你可以看到，它可以跨越轴一次，两次，或者没有。
事实上，如果你有一个图形计算器可以使用这种技术来发现任何方程解的，不只是二次方程式。所有你需要做的是
1、把所有的数据放在一边上，右边就等于0
2、设置结果表达式等于Y（代替零）
3、进入到你的计算机和图形功能
4、看图，通过x轴的地方
你的图形计算器很可能有一个功能，可以自动找到这些拦截并给你非常精密的X值。当然，不管你有多少位小数它仍然只是一个近似的精确解。在现实生活中，虽然，一个近似的往往是不够好。
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Chapter 8: Exponents and Roots
EXPONENTS
DEFINITION
In , x is the base, and n is the exponent (or power)
We defined positive integer powers by
(n factors of x)
PROPERTIES
The above definition can be extended by requiring other powers (i.e. other than positive integers) to behave like the positive integer powers. For example, we know that
for positive integer powers, because we can write out the multiplication.
Example:
We now require that this rule hold even if n and m are not positive integers, although this means that we can no longer write out the multiplication (How do you multiply something by itself a negative number of times? Or a fractional number of times?).
We can find several new properties of exponents by similarly considering the rule for dividing powers:
(We will assume without always mentioning it that xne;0). This rule is quite reasonable when m and n are positive integers and m gt; n. For example:
where indeed 5 – 2 = 3.
However, in other cases it leads to situation where we have to define new properties for exponents. First, suppose that m lt; n. We can simplify it by canceling like factors as before:
But following our rule would give
In order for these two results to be consistent, it must be true that
or, in general,
bull;Notice that a minus sign in the exponent does not make the result negative— instead, it makes it the reciprocal of the result with the positive exponent. Now suppose that n = m. The fraction becomes
，
which is obviously equal to 1. But our rule gives
Again, in order to remain consistent we have to say that these two results are equal, and so we define
for all values of x (except x = 0, because is undefined)
SUMMARY OF EXPONENT RULES
The following properties hold for all real numbers x, y, n, and m, with these exceptions:
1. is undefined
2. Dividing by zero is undefined
3. Raising negative numbers to fractional powers can be undefined
Note that the bases must be the same
ROOTS
DEFINITION
Roots are the inverse of exponents. An nth root “undoes” raising a number to the nth power, and vice-versa. (The correct terminology for these types of relationships is inverse functions, but powers and roots can only be strictly classified as inverse functions if we take care of some ambiguities associated with plus or minus signs, so we will not worry about this yet). The common example is the square root, which “undoes” the act of squaring. For example, take 3 and square it to get 9. Now take the square root of 9 and get 3 again. It is also possible to have roots related to powers other than the square. The cube root, for example, is the inverse of raising to the power of 3. The cube root of 8 is 2 because . In general, the nth root of a number is written:
Index Radical
Radicand
if and only if
because
We leave the index off the square root symbol only because it is the most common one. It is understood that if no index is shown, then the index is 2.
if and only if
because
SQUARE ROOTS
The square root is the inverse function of squaring (strictly speaking only for positive numbers, because sign information can be lost)
Principal Root
bull; Every positive number has two square roots, one positive and one negative
Example: 2 is a square root of 4 because 2times;2 = 4, but –2 is also a square root of 4 because (–2)times;(–2) = 4
To avoid confusion between the two we define the symbol (this symbol is called aradical) to mean the principal or positive square root.
The convention is:
For any positive number x,
is the positive root, and
is the negative root.
If you mean the negative root, use a minus sign in front of the radical.
Example:
Properties
for all non-negative numbers x
for all non-negative numbers x
However, if x happens to be negative, then squaring it will produce a positive number, which will have a positive square root, so
for all real numbers x
bull;You donrsquo;t need the absolute value sign if you already know that x is positive.
For example, , and saying anything about the absolute value of 2 would be superfluous. You only need the absolute value signs when you are taking the square root of a square of a variable, which may be positive or negative.
bull;The square root of a negative number is undefined, because anything times itself will give a positive (or zero) result.
=undefined (your calculator will probably say ERROR)
bull;Note: Zero has only one square root (itself). Zero is considered neither positive nor negative.
WARNING: Do not attempt to do something like the distributive law with radicals:
(WRONG) or (WRONG). This is a violation of the order of operations. The radical operates on the result of everything inside of it, not individual terms. Try it with numbers to see:
(CORRECT)
But if we (incorrectly) do the square roots first, we get
(WRONG)
However, radicals do distribute over products:
and
provided that both a and b are non-negative (otherwise you would have the square root of
a negative number).
PERFECT SQUARES
Some numbers are perfect squares, that is, their square roots are integers:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, etc.
It turns out that all other whole numbers have irrational square roots:
, , , etc. are all irrational numbers.
bull; The square root of an integer is either perfect or irrational
SIMPLIFYING RADICAL EXPRESSIONS
for all real numbers
if both x and
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