公式，算法，和四次最值
原文作者 D.J.Jeffrey
单位 西安大略大学，伦敦，安大略，加拿大N6A 5B7
引言
可能有读者认为，发现一个四次多项式的转折点可能是一个已经被解决的问题，因此，要做的第一件事就是改进标准方法的可行性，这是微积分的一个方面. 所以，给出一个实数多项式
， （1）
其转折点是一定存在的. 现在设置这个多项式的导数为零，就转化成了三次方程
. （2）
这个方程有一个或三个实根； 如果方程有三个实根，每个实根都必须分别对其它实根进行考查，来确定转折点的性质，最终才能获得整个函数的最值. 求最值的方法已经在一定程度上被一些计算机代数系统（CAS）自动化了.
那么，还有什么是可以改进的呢？ 如果系数是已知的数值，那么假设系数中的一部分是已知的. 让我们想想看数学家解决包含符号参数的问题的方法. 第一种方法是：给出一个公式，用来代表参数的显函数. 这是大众思维里固有的想法：侦察故事中的密探永远都在追赶计算程序. 例如，下面将要使用的有关二次多项式的下确界，由以下公式得出. 如果，则
， （3）
此外，给出这个下确界的值的是另一个公式：. 我们记得，这个众所周知的结果可以不通过配方计算就能被推论得出. 在这些计算机代数系统中，Maple软件能将（3）返回到最小化命令，尽管它没有返回到位置的语法.
与二次方程的求解方法相反，四阶问题的解决方案是以一个程序或算法形式给出的，而不是公式形式.
定理1. 公式比算法更好.
证明. 从来没有一个故事或电影中描述：侦察敌对团体追逐、推翻甚至杀死对方仅仅是为了占有一个计算程序. 但是，另一方面，如果是为了一个公式，他们会“不择手段”. 证明完毕.
当然，许多人认为侦察故事太过于依赖公式，但这是另一个话题. 确实，计算机代数系统更倾向于公式，并且它们的语法已经被延伸以适应算法. Maple软件用命令语句返回
和
得到的最小值，从而完成这一过程. Maple软件操作的第一个参数是要求解的方程，第二个参数是用来求解的变量； 则就可以是给定方程的任意一个根. 顺便提一句，这里要注意，Maple软件利用的特性，降低四次函数（1）的次数，使之成为一个二次表达式.
我们现在就可以提出要考虑的问题：算法（1）和算法（2）是否能够被一个公式或者几个公式所替代？ 答案是肯定的，而且你不用再像面对蝎子一样艰难地学习这个问题（或者只是一些蜘蛛网）.
公式一
作为一个开头，我们可以选择除去几个系数去减少未知数. 通过用划分，让（1）中的多项式单一，可以将转移到变量的一项被处理. 实际上，和就像电影开头的小侦探：他们是被包括在内的，以至于你会对他们的迅速淘汰留下深刻的印象. 任何常数项都能提高或降低一切，也可以被添加在末尾. 再加入一些形式语言，这些变换就成为一个引理.
引理2. 在的前提下，通常一个四次代数式的下确界由以下公式给定：
，
（以上公式由因子3和2化简），其中，
， ， 。
推导求被简化的多项式的最小值的过程，必须单独考虑和的情况. 因此，从更一般的情况入手，我们可以将第一个公式放进一个定理中.
定理3. 如果系数，四次多项式
（4）
对于给定的实线
（5）
具有下确界，其中，
， （6）
， （7）
并且，和总是被解释为幂的主值. 此外，的下确界位于直线上.
证明. 证明方法是，将拆成两部分，使每一部分都能很容易被最小化. 然后根据：任意两个有下确界的多项式和，服从
，
当值同时使和取到最小值时成立. 当我们将分成两个多项式并用和表示时，我们还引入了参数，即假设满足.
只要是正数，抛物线就有一个最小值. 图一表明了的分离情况.
现在，这两部分的转折点即使不通过演算也能知道了. 完全方可以用来重写为
.
此外，如果还假定，那么，在那些满足的点上，就有最小值为. 根据公式（3），的下确界是，因此，
. （8）
如果有一个值能够同时使和取到相同的最小值，我们也能确定位于的下确界. 当然，任意一个这样的值也将满足我们的假设：并且. 的转折点在直线上随着的增加而更接近于原点，而的转折点在直线上随着的增加而远离原点. 所以，当的取值满足
时，和相等.
这就相当于三次方程：
. （9）
我将称为“辅助立方”. 另一种得到该方程的方法是用微积分使不等式（8）的右侧达到最大值. 三次方程（9）存在唯一的正解. 中间值定理可以很好地用来表明这一事实，但该方程中具有以下核心作用，所以通过图表能更好地了解它的性质. 图2-4是有关于不同参数范围的的图. 图中的转折可以根据和进行理解. 而且，在引入缩写后，可得.
用表示方程（9）的正解. 因为，根据（8）可得，函数（4）的最小值为
.
那么，这个表达式的第一项就能更好地进行转换，使不再出现，而具体原因将会在下面给出. 而转换是通过在
（10）
的基础上重写（9）的形式得到的，因此，（5）才得以实现.
继续为寻找显式公式. 表达式（6）是（9）的标准答案，但事实上，我们必须对它所给出的（9）的正解进行验证. 通过引入，我们改写（7），可得：.首先，考虑且的情况； （6）中的所有量都是正实数. 第二，考虑且的情况，也就是. 那么，，因此，且. 最后，如果且时，将会变得很复杂，但是很明显的是，. 对它的实部和虚部进行求积再求和后，得到，并且用极坐标形式表示为：，其中，（因为虚数部分是整数，所以它在坐标轴的上半部分）. 那么，
， （11）
又因为，所以的值是正实数.
对于特殊情况现在进行讨论，但是因为此时这个多项式中只有两个量，所以这种情况很简单.
定理4. 在的情况下，多项式在取到上的点时，有下确界为：
。
证明. 如果，那么，很明显当时取到最小值，为0. 如果，那么，可将它再次平方，得到在上的点为最小值. 该定理用最小值的函数来组合这些情况.
现在有一个有趣的发展. 从公式（5）中获得点，但是却忘了它被衍生为，而用替代. 对于的情况，计算得到以及. 对于的情况，方程（11）可与联合再次使用得到：且. 那么，. 因此，对于这些情况，继续给出正确答案. 这都是因为变式（10）. 对于，包含一个条件：，这样就防止因为简单的替换而无法获得，换句话说，也就是当时，具有一个可移动的奇点. 但是，不幸的是，这一招不能重复确定下确界的位置，必须保持一个分段定义.
其中，在的情况下，正根被任意选择为确定.
公式二
四次多项式可以有3个转折点，也就是说三次方程（2）有3个实根. （9）也同样有可能有3个实根. 这之间有什么联系吗？ 乍一看，它们之间似乎没有联系，因为我们假定是正数，那么（9）就只有一个正解. 但是，如果我们假定是负数，那么确实可以有其他转折点的存在. 首先，我们给出了第二个关于最小值的公式.
定理5. 如果系数，且，，那么，（4）中的四次多项式有第二个最小值为，即，此时，，且与方程（7）中的不变. 此外，这个最小值位于上.
证明. 它唯一与定理3不同的量是，而是（9）的另一个解. 如图4所示，它说明了满足. 对于给定的参数范围，就像（11）中所说的，，其中，. 因此，，其中，. 即使参数是负数，仍然是成立的，而且，的导数可以通过计算和的导数得到. 在上的导数也能够计算得出是
且.
因此，点是一个局部最小点，而不是对应于的一个正的下确界.
现在，很明显的是，的第三个根就是两个最小值之间的相对最大值.
定理6. 根据已经定义的符号，在，并且，是的根且满足的情况下，有相对最大值。关于的公式是：
。
解的性质
在调查中发现，似乎每个人都认为掌握公式是最基本的要求——当一个学习不太好的学生面对数学考试的时候. 因此，一个人必须要学会使用公式. 刚才导出的计算公式可以用来表明点有一些有趣的特性. 例如，的符号决定了其一边的下确界界限； 如果有第二个最小值，那么它与局部的最大值界限总是在同一边，且是下确界的另一边； 下确界界限总是远离第二个最小值.
经过前面几页有关代数的描写，我们可以发现，尝试用一些数值的例子来解决所有问题总是令人欣慰的. 没有人想要重复马耳他之鹰的最后一个场景. 此外，这里的例子也提到了自己的一些有益经验. 因此考虑的转折点. 将和代入公式（6），根据Maple软件进行化简，得到
.
所有的计算机系统可以近似到4.0000000，但不可以简化说它的准确数字是4. 这是使用标准的公式解决立方相关联问题中的一个不可避免的问题. 为获得准确的结果，将简化为，这不需使用任何现有的计算机系统就能实现； 但是也许没有多少人会自发地进行简化. 当然，大多数时候不进行简化也是可以的. 在任何情况下，下确界在直线上，即—117. 同理，我们可以解决其它问题，得到和.
直接将给定的公式M代入到公式（5）中，从而计算出一个数值最小的数，这并不是一个非常有趣的运用。 一个更具挑战性的问题是，找到p值，使多项式的解集都为正数. 这类问题是排除数量中的一个简单的例子[1]. 条件就是，虽然明确写出来后发现这是一个复杂的不等式. 绘制数值显示，答案是，但分析证明是一个真正的挑战.
最后我并不打算提出一类问题的一般方法，但接下来的挑战出现在写这篇文章的时候. 给出的点相当于（0,4），（1,2），（3,1），（4,2），（6,5），通过它们可以得到一个凸多项式. 四次的拉格朗日插值多项式，即
.
这与“处处成立”相矛盾，因此我们探讨是否可以找到六阶多项式. 设未知系数a和b，我们得到
.
外文文献出处：Mathematics Magazine, Vol. 70, No. 5 (Dec., 1997), pp. 341-348
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