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毕业设计(论文)
外文资料翻译
原文名称 Prediction and mathematical analysis of the outbreak of coronavirus (COVID-19) in Bangladesh
原文作者： Pabel Shahrear，S. M. Saydur Rahman，Md Mahadi Hasan Nahid
中文名称： 孟加拉国新型冠状病毒(COVID-19)暴发的预测和分析
2021 年 3 月 10 日
孟加拉国新型冠状病毒(COVID-19)暴发的预测和分析
摘要：本文以孟加拉国为研究对象，建立一种用于分析COVID-19的改进SIR模型。我们对模型进行了理论和数值研究模拟，并通过下一代矩阵来计算再生数()。根据基本再生数，我们分析了无病平衡点和地方病平衡点模型的局部稳定性，调查了再生数对参数的敏感性，并计算了决定参数优势度的灵敏性指标。此外，我们在MATLAB中采用四阶龙格-库塔(RK4)方法模拟系统进行验证，结果采用四阶多项式回归(约翰霍普金斯医院(JHH))2020)。最后，通过数值模拟，清晰地描绘了上升的过程，以及这种疾病在某一特定地点的传播随着时间的推移呈下降的趋势，数学模型中的参数表明了这种强度的变化。这个结果从孟加拉国的角度反映了COVID-19的影响。
关键词:孟加拉国，COVID-19大流行，流行病学模型，稳定性分析
1.引言
如今，世界上所有的国家正在抗击一种名为新型冠状病毒(COVID-19)的新型传染性疾病。2020年2月11日，国际病毒分类委员会(ICTV)宣布新冠病毒(2019-nCoV)被认定为严重急性呼吸系统综合征冠状病毒2 (SARS-CoV-2)。随后，世界卫生组织(WHO)正式宣布，冠状病毒-19 (COVID-19)是本次大流行的罪魁祸首。与MERS-nCoV和SARS-nCoV一样，COVID-19是冠状病毒家族中的第七个可以传播给人类的成员，常见症状如发热、咳嗽、气短、腹泻、呼吸、消化、肝脏、神经系统紊乱。近期研究表明，COVID-19患者除上述症状外，还会产生其他严重的症状。很明显，突然死亡的原因多种多样，仅凭肺炎或急性呼吸窘迫综合征(ARDS)的呼吸衰竭无法解释这些突然死亡。为什么死亡发生得这么快?这也不能完全用x光或CT扫描来解释。有些人因为缺氧开始出现严重的呼吸短促，这与胸部x光或CT扫描是不兼容的。那么，病人体内发生了什么呢?据报道，日冕本身是一种高凝状态，这意味着它会导致血管形成血块，肺栓塞(PE)是肺血管阻塞的医学术语。然而，即使它不会导致突然死亡，冰冻区域也会变黑或坏疽。此外，在孟加拉国，21至30岁的人受影响最多，这与其他国家的统计数据相比是非同寻常的，另一方面，60岁以上的患者大多死于该病。
孟加拉国正面临着检测试剂盒的严重短缺——它库存的检测试剂盒不超过10万套，分发给该国不同地区的检测试剂盒也不超过2万套。由于冠状病毒还没有疫苗，因此，孟加拉国政府正试图实施隔离、社交距离和封锁政策。经证实，该疾病在潜伏期仍可能具有传染性，可通过呼吸道飞沫和密切接触在人与人之间传播。
流行病学家Kermack和McKendrick(1927)广泛使用数学模型来获得这些传染病的特征。在Kermack和McKendrick的研究成果基础之上，人们提出了一些著名的模型用于疾病的传播动力学，包括:HIV模型，Heathcote和Yorke(1984)的传播和控制模型，控制疟疾的Ronald Ross模型等。目前，研究人员正在寻找COVID-19的数学模型，仅仅通过一个模型来预测不同国家的不利影响是不可能的。因此，世界各地的人们都在试图找出由冠状病毒引发的这场大流行的根源。
SIR模型主要描述三类:易感、感染和恢复。另一方面，改进的SIR模型还包括另外三个部分，如暴露检疫和死亡类别，易感类别又分为暴露和检疫两类，接触者主要指因COVID-19感染，但不具有传染性。检疫在控制疫情传播方面发挥着至关重要的作用。然而，在研究过程中，检疫是一种局限性方法，在这种情况下，人们被认为已经感染了传染病，但还没有生病，因为他们没有被感染或仍处于发展阶段。
对个人或群体实行隔离是有效的，通常包括限制其进入有该设施的家庭。因此，可以引入新的舱室隔离类，以控制COVID-19传染病的传播。相反，著名的SIR模型只处理受感染的个体，如果人们死于2019冠状病毒病(COVID-19)，死亡类与隔离类和感染类有关，这种改进的SIR模型主要对孟加拉国的爆发的预测有影响。
冠状病毒再次感染了一些人，这表明康复个体与易感阶层有关的数学模型不同于SIR模型，但是，受感染的类包含一个参数，这意味着感染率在减少COVID-19传播方面发挥了重要作用。在本文中，我们从数学角度证明了COVID-19在孟加拉国的影响，并利用MATLAB对数值结果进行了验证。有时研究人员使用单独的或几个软件来验证数值结果，但在本文中，我们使用了复杂的软件MATLAB。
截至今天，新冠肺炎(COVID-19)传染病已在216个国家中传播。到目前为止，由于这种疾病的爆发，许多国家都经历了致命的后果。它不仅会造成健康问题，而且还会造成社会、教育和经济问题的不利影响。世卫组织已经宣布COVID-19尚未接种，通过隔离和观察系统，采取了明智的措施。为了分析这样的事件，分区模型在科学中是普遍存在的。新冠肺炎疫情爆发，通过数学建模的方式触发了预防传染病发生的事实。
简而言之，本工作的目的是在SIR模型的基础上开发一个SEQIRP模型，用于描述孟加拉国的COVID-19疫情。通过对模型的分析，可以根据再生数来了解稳定和不稳定的情况，灵敏度分析表明了哪个参数对系统的影响更大，数值模拟还描述了预测孟加拉国2019冠状病毒病疫情的参数在不同时间的变化。
2.模型公式
人们可以利用流行病学模型获得关于疾病控制和传播的可靠和有价值的信息。因此，我们的目标是调查孟加拉国COVID-19的情况。在这种情况下，我们开发了基于SIR的SEQIRP(易感暴露隔离感染恢复死亡)模型。简单地说，SEQIRP模型将总人口分成六个部分，每个部分代表时间t。
具体来说，S(t)表示未感染的易感人群，E (t)表示已感染但不具有传染性的人群，Q(t)表示可能涉及未感染、感染和死亡的隔离。I(t)表示需要治愈或死亡的感染人数，R(t)表示治愈的患者。最后，P(t)表示疾病死亡的人:N(t)，时间t的总人数。总人数(N)分为六个不同类别:易感(S)、暴露(E)、检疫(Q)、感染(I)、康复(R)、死亡(P)，即：
N (t) = S (t) E (t) Q (t) I (t) R (t) P(t)
模型的分区描述如图1所示。模型分为以下属性：
(1)易感人群以beta;1和beta;2的速率分别传播到暴露类和检疫类。
(2)暴露阶层的人以omega;的速度传染，暴露阶层的人以micro;的速度死亡。
图一 分区SEQIRP模型示意图
表1 参数描述
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参数 |
描述 |
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易感类与暴露类接触率(1/天) |
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易感类对检疫类接触率(1/天) |
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接触级到感染级的传递系数(1/天) |
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暴露类别对死亡类别的死亡率(1/天) |
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将检疫等级转移到易感等级(1/天) |
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隔离类到感染类的转移率(1/天) |
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隔离等级到死亡等级的死亡率(1/天) |
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死亡率(1/天) |
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敏感率(1/d) |
(3)隔离人群未受感染，按转移率转移至易感人群COVID-19，同样，人的传染性和死亡类传播以一定的比率和。
(4)被感染的人以gamma;的速度远离疾病。
(5)该病感染者的死亡率为delta;。
(6)恢复后的患者以的速率再次易感。
(7)我们假设COVID-19疾病主要通过感染传播，发病率为S(t)I(t)
基于这些假设，模型的分区结构和流向可以用有向流程图来描述，如下图所示:
以下为微分方程组的修正模型构造:
（1）
出生率和自然死亡率保持不变，表1定义了模型中使用的参数:
现在，我们知道S (t) E (t) Q (t) I (t) R(t) P(t)是总体的一部分，我们可以说:
现在我们可以假设系统(1)如下:
（2）
3.模型的理论分析
在接下来的章节中，我们对系统进行了理论分析(2)。
3.1.平衡
平衡时，(2)的系统方程(LHS)的左边为零，即：
无感染的平衡点称为无病平衡点[33,34]。所以方程组(2)总是在=(, 0, 0, 0, 0) =(1,0, 0, 0, 0)的无病平衡点，感染的平衡点称为地方病平衡。则系统(2)的地方病平衡点为：
因此，= (，，，，)是系统(2)中唯一的特有均衡。
3.2.基本再生数
在疾病传播研究中，基本再生数表示疾病的传播和控制。如果lt;1，则无病平衡是稳定的，疾病在群体中不再存在。如果gt; 1，地方病均衡存在，疾病永远停留在群落中。利用下一代矩阵，我们得到了再生数[13,31,35,36]。设x = (E, Q, I)，则系统(2):
系统(2)的无病平衡点坐标=(0,0,0,1,0)，F和V在(0,0,0,1,0)处的导数
系统(2)的下一代矩阵是
矩阵的特征值是==0,=，因此，是两个特征值的最大值(占主导地位)，有
=
这是系统(2)所需的基本再生数。
3.3.稳定性分析
在本节中，我们讨论了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性。
定理1：当 lt; 1时，无病平衡点是局部渐近稳定的。如果 = 1，则是局部稳定的。当 gt; 1时，无感染平衡点为不稳定鞍点。
证明：在点处的雅可比矩阵是
（4）
如果J ()的所有特征值都有一个负的实部，即lt; 1，则是局部渐近稳定的。同样，是不稳定的，如果至少有一个J ()的特征值有一个正的实部，这意味着 gt; 1。现在，我们从J()得到两个特征值:=0，= =minus;，其他特征值是由下式确定的
= 0 （5）
当lt; 1时，如果gt;0，gt;0，gt;0并且-gt; 0那么满足劳斯-赫维茨的标准。
因此，式(5)的所有特征值都有一个负的实部。另一方面，一个特征值是零这意味着再生数=将我们引向值1，以系统(4)的精确信息为基础。系统(4)的其余特征值有一个负的实部。这就是对系统无病平衡的分析(4)，即是局部稳定的。
定理2：当 gt; 1，地方病平衡点局部渐近稳定的。
证明：模型(2)在=(，，，，)处的雅可比矩阵是
假设
系统(3)的地方病均衡有一个负实部。因此，我们得出系统(3)的地方病平衡点是局部渐近稳定的，因此 gt; 1，这样证明就完成了。
4. 敏感性分析
最初的疾病传播直接与再生数相联系。我们计算基本再生数()对模型参数的敏感性指数，以确定哪个参数对有较高的影响，从而对疾病传播有较高的影响。对参数的灵敏度指数是
目前，我们研究对模型参数的敏感性分析，这里我们使用了表3中的参数值，我们从式(3)得到，它有一个显式的表达式=。通过下面的方法，我们得到了参数的灵敏度。
将表3中的参数值代入，得到0.44
将表3中的参数值代入，我们得到了值-0.80
将表3中的参数值代入，得到了值-0.16
通过对指标的分析，我们可以看到以下结果:
(1)我们可以说，如果增加10%，增加10%,|0.44| = 0.044 ；如果减少10%
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