本科毕业设计（论文）
外文翻译
热方程
作者：劳伦斯·埃文斯
国籍：美国
出处：偏微分方程2.3.节
中文译文：
2.3. 热方程
接下来我们研究热方程
和非齐次热方程
给定适当的初始条件和边界条件，这时且，且是开集。设未知数 ，，在中已知。其中与空间变量有关。
一个指导原则是，关于调和函数的任何断言都会产生关于热方程解的类似（但更复杂）的陈述。因此，我们的发展将在很大程度上平行于拉普拉斯方程的相应理论。
物理解释. 热方程，也被称为扩散方程，在典型应用中描述了某些量的密度随时间的演化，如热量、化学浓度等。如果是任何光滑的子区域，其变化率在总量之内等于通过的净通量的负值:
是通量密度。因此
由于是任意的，在许多情况下与梯度成正比，但指向相反的方向（因为水流是从高浓度区流向低浓度区）：
代入中，得到偏微分方程
当时，即为热量方程。
此外，热方程也出现在布朗运动的研究中。
2.3.1. 基本解.
a. 基本解的推导. 如中所述研究任何偏微分方程的重要的一步通常是找到一些具体的解。
我们观察到热方程包含一个关于时间变量的导数, 但是对于空间变量有两个导数. 因此我们可以看到如果是的解，那么当时，也是的解. 这个比例表示比率对于热方程来说十分重要，因此在还未定义时，我们需要寻找的解形如。
尽管这种方法最终会得到我们想要的（见问题13），但我们需要以更快的速度寻求有着特殊结构的解
其中为常量，，如果在膨胀标度下的不变的情况下，我们就会得出热方程的一个解，即
也就是说，对所有的，我们有
假定， 我们推导出.
当，我们把代入，然后计算得到
为了把转换成一个包含变量的表达式，我们令. 然后这与含的代数式是相同的，所以导出
我们通过猜测是径向对称的；也就是说，当某些，得到. 当, 化为
现在如果我们假设, 这就简化为
因此对于某些常量来说，有
假设, 我们可以从
中得出结论,
但对于某些常量，有
结合和我们选择的，我们可以得出结论是热方程的解。
这种计算方法也可以推广到以下几点
定义. 函数
被称为热方程的基本解。
已知是处的奇点，我们有时会用强调基本解在变量中是径向的。而归一化常数的选择由以下因素决定
引理（基本解的积分）。当时，有
证明. 通过计算得到
热方程基本解的另一种推导出现在.
b.初值问题. 我们现在令为初值问题的一个解
我们注意到是以处为奇点的热方程的解，这样对于每个固定，都有为方程的解。因此卷积
也是方程的一个解。
定理1（初值问题的解）. 通过假定，并定义。那么有
证明. 1. 因为函数是无穷可微的，所有阶导数一致有界，在上，对于每
一个, 有. 此外
其中是热方程的解.
2.任取，令，那么有
根据引理，如果，我们有，
根据（11）和引理，可以得到
此外，如果满足和，可以得到
因此成立.我们有
如果有和且足够小，就可以得到.
基本解的解释. 根据定理1，我们得到
表示在上狄拉克测度为给点的单位质量。
无限传播速度. 我们注意到，如果是有界连续的，且, 那么有
放上式之前，我们利用热方程来解释强迫扰动无限传播速度这一现象。如果初始温度是非负的，并且在某个地方是正的，那么以后任何时候（无论多小）的温度都是正的（我们将在中学习波动方程支持扰动的有限传播速度。）
C.非齐次问题. 现在让我们来看非齐次初值问题
我们怎样才能得出这个公式的解呢？如果我们回头看，我们可以注意到是热方程的解（对于给定的).现在对于固定的，函数
是
|
() |
的解。
这只是（8）的一个初值问题，用替换起始时间，替换. 因此当然不是（12）的解。
然而，根据Duhamel原理，并通过结合我们可以从的解中构造出的解，这个想法是要考虑
综上所述，当和时，我们有
为了证实公式的有效性，为了简单起见，我们假设和具有紧支集。
*Duhamel原理对线性常微分方程和偏微分方程具有广泛的适用性，不依赖于热方程的具体结构。例如，在中用不同的方法得到非齐次输运方程的解. 我们将在中引用Duhamel的波动方程原理.
定理2（非齐次问题的解）。通过（13）定义，然后有
证明. 1. 因为在处有奇点，我们不能直接证明积分符号下的微分。相反，我们在某种程度上继续，如在定理1的证明.
首先我们改变变量，有
由于具有紧支集，并且在附近，是一条光滑的曲线，通过计算可以得到
和
因此，都属于.
2. 接着计算
通过引理，我们得到
|
() |
通过分部积分，我们还发现
其中为热方程的解。结合，我们可以确定
，
与在定理1的证明一致，计算时需限制
最终有.
一般初始值的齐次问题的解. 我们可以通过结合定理1和2发现
是
的一个解
2.3.2. 平均值公式。
首先，我们在中回忆一下一些下文需要用到的符号. 假定是开集，并且有界，假设时间.
区域
定义.
（i）我们定义抛物柱面为
.
（ii）的边界方程为
.
作为抛物线的内部: 同时需要注意还包括顶部.而抛物线的边界方程则只包括的底部和垂直侧面，不包括顶部。
如在中所讨论的一样，接下来我们要导出一种类似于调和函数的平均值性质。其中没有这么简单的公式。但是让我们观察一下，对于假定的，球体是拉普拉斯方程基本解的水平集。这表明，也许对于假定的，热方程基本解的水平集可能与其相关。
定义. 假定, 我们定义
“热球”
这是时空中的一个区域，它的边界是一个水平集. 注意这一点在顶部的中心。有时被称为“热球”。
定理3（热方程的平均值性质）。令为热方程的解。那么对于每一个，都有
（19）是类似于拉普拉斯方程中平均值公式的热方程。注意等号右边，对于每一次，只有. 这是合理的，因为的值不依赖未来的时刻。
证明. 移动时间坐标和空间坐标，令其为以及，我们假设是光滑的。令，有
我们计算
另外，这里我们介绍一个有用的函数
其中，在上，有，且. 我们利用（21）得到
由于在上有，因此没有边界条件。关于，我们将各部分集合，可以发现
因此，根据（21），由于是热方程的解，得到
因此是恒定的，因此有
其中，
我们省略了最后一次计算的细节。
热方程的强极大值原理
2.3.3. 解的性质
a.强极大值原理的唯一性. 首先我们用平均值性质给出了强极大值原理的快速证明。
定理4（热方程的强极大值原理）。假定在中，为热方程的解。
（i） 那么
（ii） 此外，如果是连通的并且存在一个点使得
.
那么在中是常数。
可以断言（i）是热方程的最大原理，（ii）是强极大值原理。类似的，可以断言用“min” 替换“max”的有效性。
解释. 所以如果在内部达到最大值（或最小值），那么在任何时候都是常数。这符合我们对表示时间的变量的直观理解：在初始条件和边界条件不变的情况下，且时间间隔也保持恒定，那么解将也保持不变。然而，当时间，边界条件在后发生改变，那么有时可能会发生改变。而在边界条件发生变化之前则不会响应这些变化。
需要注意的是，尽管这些都是在基于直觉和物理的基础上显而易见的，但是这些见解并不构成证据。而我们的任务是从偏微分方程中推断出这种结论。
证明1. 假设存在一个点 并具有. 那么对于所有足够小的; 我们利用均值性质来推导
,
其中
只有在中，和才能完全等价。因此有
.
在中，绘制任意线段?并连接再加上一些其他点，其中.
考虑
.
由于是连续的，且达到最小值。假定. 那么在上，对于某些点有
。所以在上，对于所有足够小的都有。对于一些小的，因为包含 ，由此我们得到矛盾。因此, 并且在上.
2.现在假定任何一点和任一时刻. 存在点使中的线段在中连接和，其中. (这是因为在中，通过非空的开集的和相对封闭的多边形路径，任意一点与都有着密切的联系)令时间. 然后在中，中的直线段连接和，通过步骤1，在每一处都有，即.
无限传播速度。强极大值原理意味着如果是连通的并且满足
当, 如果在中某处是正的，那么在中处处是正的。这是扰动无限传播速度的另一个例子。
最大值原理的一个重要应用是下面
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