本科毕业设计（论文）
几何问题中引入辅助线时应注意的问题
作者：Alik Palatnik and Avi Sigler
国籍：以色列
出处：Focusing attention on auxiliary lines when introduced into geometric problems[J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2019, 50(2) : 202-215.
摘要：本文将从两个角度探讨如何在高中几何中添加辅助线的解题方法：一是引出对已知条件的回忆或使相关定义具体化；二是转移学生关注的问题焦点和结构。我们提出并比较了各种例子，说明了如何在各种问题和证明中引入辅助元素，同时刻画了它们的辅助性质。一些辅助元素将原来图中不相关的部分结合起来；另一些辅助元素将给定的复杂图形简单化。并对进一步的教育研究和数学教学提出一些建议。
关键词：辅助线路；高中几何；注意力转移；解决问题
介绍
本研究的目的是为平面几何教学中辅助元素的引入提供文献资料。我们对这一主题的兴趣来源于一些研究，研究表明，如果高中生难以理解如何和为什么引入特定的辅助元素，他们对几何的理解，特别是在证明和解决问题方面会受到很大的阻碍。
Senk的一项大规模研究表明，辅助线的引入是解决几何证明问题的关键。此外，她总结道，学生经常在使用辅助线时出现问题，“说明了有必要教学生如何、为什么以及何时在证明中转换图表”。同样，Ding和Jones也指出，在证明中引入辅助线对学生来说往往是很大的困难。这与Hsu和Silver的研究结果一致，他们指出辅助线的引入是复杂问题解决的四个类别之一。Hsu声称，困难在于学生需要动态地感知图表，并能够应用转换观察，可以借助引入辅助线的方法最终找到解决方案。
Herbst和Brach研究了美国学生在与几何任务互动时对自己角色的看法。大多数学生在这些互动中的表现是被动的，特别是在使用任务图中。具体来说，他们不希望在图中引入辅助元素，但在极少数情况下当需要辅助线时，他们希望从老师那里得到提示。这种被动性并不是学习的无害特征，特别是根据Hsieh, hong和Shy的研究结果，在台湾,他们证明了积极探索（主要是动手活动）和解决问题如何促进学习几何证明。探究性活动可以向学生揭示问题的新信息，从而帮助学生在需要辅助对象时开始论证，使辅助线的介绍更容易理解，并为学生提供在问题中引入新元素的理由。
据俄罗斯著名教育家和几何教科书作者Igor F.Sharygin，学习几何主要是解决几何问题的艺术。然而，与学习代数不同的是，几何问题的解决由于缺乏通用的求解算法而受到阻碍。因此，他为几何教学开发的方法之一，即为构建一套扩展的模型支持问题。在一个支持性问题中，一个特定的几何事实被表达出来，或者一些解决几何问题的方法或技巧被展示出来。许多后一种类型的支持性问题是基于辅助元素的，这些辅助元素与特定的几何图形有关。我们不怀疑这种方法的有效性，在这种方法中，学生们会意识到某些几何构型和辅助元素之间的联系。然而，我们相信有可能发展出一种更为普遍和结构化的教学方法来说明如何（以及为什么）引入辅助元素。最近，在这个方向上有了一些进展，并进行了基于课堂的研究，向学生介绍以辅助线为主题的一般解决方案。
尽管事实上，辅助元素的引入本质上是一个适合于几何学教育中至少几个主要的研究线索的主题（例如，理解视觉空间推理、图表和手势的使用和作用、理解证明过程的教与学），但还远远没有被彻底调查。在我们的研究中，我们试图通过比较辅助线在不同问题和证明中的使用，根据它们所起的作用来进行描述，并提出引入辅助线的原因，来提高对辅助线引入的认识。提出的泛化建议是George Poacute;lya关于问题解决和John Mason的注意力转移理论的开创性工作。
理论背景
引入辅助元素的原因
根据Polya，“我们引入的一个促进问题解决的元素，称为辅助元素”。引入一个或多个辅助元素并不是任意的。Polya列出了引入它们的一些典型原因，我们通过图1所示的简单示例进行了说明。
图1 三条不同的辅助线添加，证明三角形AED的面积是平行四边形ABCD面积的一半
（1）在这种情况下，调用与当前问题相关的问题，并且辅助元素相应地修改给定的问题。例如（图1（a））,学生可能会想起一个已知的结果：平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形。通过引入辅助线EGAB，将给定的平行四边形ABCD修改为两个具有相应对角线的平行四边形。使用（回顾）已知结果。
(2)回到定义。在这里，一个与当前问题相关的数学实体的定义通过辅助元素具体化。如图1(b)所示，一个学生可能会回忆之前学过的一个等边平行四边形和一个底为b、高为h的三角形的面积公式。套用Polya的话，只回忆这个公式而不画出高度 (他原来的想法是“hellip;只给出圆的定义而不画出什么)。在这种情况下，辅助线是EF 是平行四边形和三角形的共同高度，这就直接证明了。
(3)期望使原来的问题“更完整、更有启发性、更熟悉”。学生可以将E点移动到其中一个顶点(图1(c))，形成一个新的辅助三角形，其面积在视觉上是平行四边形的一半。
Polya的列表是最近研究的一个起点，该研究探索了学生的辅助元素。学生们给出的引入特定辅助线的两个原因与Polya的前两个类别(即已知条件和定义)一致。第三个原因主要与直觉规则和学生感觉问题的所有资源已经耗尽，需要发现一些新的信息来源有关。在2018年的研究中，Palatnik 和 Dreyfus主要关注第三个原因;在这篇论文中，我们提出了一个互补的方法，重点关注引入辅助线的前两个原因，即学生可能想到的已知条件或一个可以具体化的定义。我们也将自己限制在被认为是标准的辅助元素上(例如，平行或垂直于给定直线的直线，线段的延续或圆的半径)。然而，很明显，仅仅根据引入的对象来分类辅助元素是不够的。这就留下了一个基本问题:是什么使辅助元素成为辅助的?
引入辅助元素以转移观察角度
Polya关于引入辅助元素的作用的观点与Mason, Burton和Stacey解决问题和发展数学思维的方法是一致的。也就是说，在找出你所知道的以及你想在解决的问题中取得什么成就之后，有必要在其中引入新的元素。根据Mason等人的说法，导言包含符号、组织和表示的方面。他们还声称，引入新元素的系统方法能培养“自由的精神态度”。为了支持这一观点，我们另外断言辅助元素是求解器具有绝对控制的唯一元素。也就是说，能够引入一个带有选择特征(同余、平行、垂直、对称、轨迹等)的辅助元素，为学生提供了一种主动的学习方式。
Mason将学习定义为一种注意力的转换，包括“形式和注意力的转移”。Mason区分了注意力转换的五种不同结构:把握整体、辨别细节、识别关系、感知属性和基于感知属性进行推理。在Mason的著作中，这些理论结构大多应用于代数和数值结构。
扩展了Mason理论的应用领域，建议使用注意结构作为分析框架来研究学生解决问题的努力。他们以一项活动的案例研究为例说明了这一应用，该活动最终让学生们产生了恍然大悟的时刻。在我们看来，形式和注意力的转移也可以应用于几何问题的解决，特别是当引入一个辅助元素是必要的。引入的辅助对象可能成为被关注的新事物(即关注的焦点)，但也可能成为一个“音叉”，改变给定的几何实体被关注的方式(即关注的形式)。当一个新元素被引入图表时，即使不关注特定的细节，它改变了求解掌握全局的方式。辅助线吸引求解者的注意，它是一种先验的可识别的细节，与图中的其他元素不同。学习者不能简单地识别图表元素和辅助元素之间的关系:他通过介绍的行为来建立它们。感知属性需要结构化的注意，将关系看作属性的实例化。例如，当一个人画一条平行于一个平行四边形的边的线(图1(a))，一个人会感知到新的平行四边形的一些特殊属性。在感知属性的基础上应用这种推理是一种注意力结构，这种结构会引导学生重新审视由于这个属性而经历修改的新情况。
合并和分割辅助元件的典型示例
为了举例说明我们的方法，我们分析了在一些几何问题中引入辅助线的问题。首先，我们根据一个相关的数学结果、定理或问题，或一个可以具体化的定义来描述辅助元素(Polya的理由1和2)。接下来，我们指出该特征如何潜在地转移学生的注意力和结构:辅助元素要么将原始图表中先前不相关的组件统一起来，要么将一个复杂的实体划分为更简单的实体。
辅助线使已知条件与不联系的对象相结合
图2所示的问题中的辅助元素是通过点a和F的线段，该线段与底BC的延长线相交。引入的线段可使用三角形中点线段的特性。线段AG将条件转换到三角形ABG中，中位线EF等于线段BG的一半，即为梯形上底加下底之和的一半。
图3所示问题中将中线的长度延长一倍，并连接点A和E。新元素将利用三角形不等式的概念。所构成的三条边合并成一个三角形BAE，因此可以证明，且有 。
图2 梯形中点定理证明中的辅助元素，证明在梯形中，连接两边中点的线段与边AD和BC平行，且等于两个边之和的一半（梯形中位线定理）
图3 证明三角线一边上的中线小于另外两边的和的一半，证明
图4所示问题中的辅助元素为平行于AD并与BA延长线相交的线段CE。引入的元素可使用截距定理(Thales定理)。辅助线的引入将线段BA和线段AC (AE = AC)统一在的一边上。
图5所示的问题中的添加的辅助元素是一条经过点D平行于线段AB交AC于点E的线段DE，可利用截线和两条平行线之间的夹角的性质。通过辅助线可构成一个三角形AED。
在所有提出的问题中，引入辅助线使用先前已知的条件(定理、性质或问题)。毫不夸张的说,学习者可以将图2中的梯形中位线定理与三角形中点联系起来，图3和图5的线段不相等关系可以观察到类似于三角不等式,图4所示所构成的线段成比例运用到Thales定理。因此，引入的元素为学习者提供了一个新的观察角度，使他们辨别新的细节，并通过联合以前分散的组成部分来识别新的数学实体中的关系。反过来，这些可能被理解为一个解决方案或证明所需要的特性。
图4 角平分线定理中的辅助元素,证明了（角平分线定理）
图5 辅助元素DEAB，设ABC为等边三角形。证明了三角不等式适用于线段AD、DB和DC，并且由它们组成的三角形包含120度角°
辅助线使已知条件运用和图形整体划分
图6所示的问题的辅助元素是对角线AC。对角线AC的添加可应用已知条件（三角形的一致性）。对角线将给定的平行四边形分成两个全等三角形。
图7所示的问题的辅助元素是对角线BD。对角线BD的添加可应用已知条件（三角形面积公式）。对角线BD将给定的梯形分成两个三角形。随后对高度的计算引入相应的公式。
在图6和图7所示的问题中，辅助线的引入可结合先前与三角形相关的条件。对角线可能是四边形中要考虑的第一类辅助线。辅助元素通过将给定的图形划分，成为我们熟悉的新对象（三角形），为学习者的解题创造新的关注点。因而得到原图形被转化成我们熟悉的对象（等边、共同高度等）。部分和整体（三角形、平行四边形和梯形）之间的关系可以很容易地建立起来，并且可以利用它们的性质，从而得到解决方法。
图6 辅助元素——对角线AC，证明如果ADBC且AD = BC，则ABCD是一个平行四边形
图7 辅助元素在任务区域上呈梯形，提出梯形面积的计算公式
辅助线使可用条件更明确，并将不相关的对象统一起来
图8所示的问题中的辅助元素是一条通过A，与BC平行的线。平行线是为了使平角的定义具体化而画的。平行线在一个顶点A处使三个角转化到一起。
图9所示的问题中的辅助元素是圆心O以及延伸到内切角端点的OA和OB半径。辅助元素使圆的可用条件更加明确。辅助元素将原先不联系的圆心角联合起来得到
图8和图9中的两个问题通过角度这个主题统一起来。除了定义的具体化(平角和圆)之外，两者中的辅助线还允许过渡到代数几何(角度的计算)。从前分散的角被合并成一个新的实体(一种是平角，另一种是等边三角形)，使学习者的注意力得到相应的聚焦和构建。
图8 三角形内角和证明中的辅助元素，证明三角形内角和为180°。
图9 辅助元素把原先不相联系的角相互联系起来，相关的定义暗示着辅助元素，证明一个圆和弦的正切所形成的角等于这个弦对应的内切角
辅助线是条件明确并分割给定的图形
图10所示的问题的辅助元素是半径MC。绘制半径使圆的条件更加明确。MC将分为和。由此可得，
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本科毕业设计（论文）
外文翻译
学 院：理学院
专 业：数学与应用数学（师范）
班 级：数学182
学 号：2017212703061
学生姓名：胡杨琴
指导教师：陈泳
二○二一 年 六 月
几何问题中引入辅助线时应注意的问题
作者：Alik Palatnik and Avi Sigler
国籍：以色列
出处：Focusing attention on auxiliary lines when introduced into geometric problems[J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 2019, 50(2) : 202-215.
摘要：本文将从两个角度探讨如何在高中几何中添加辅助线的解题方法：一是引出对已知条件的回忆或使相关定义具体化；二是转移学生关注的问题焦点和结构。我们提出并比较了各种例子，说明了如何在各种问题和证明中引入辅助元素，同时刻画了它们的辅助性质。一些辅助元素将原来图中不相关的部分结合起来；另一些辅助元素将给定的复杂图形简单化。并对进一步的教育研究和数学教学提出一些建议。
关键词：辅助线路；高中几何；注意力转移；解决问题
介绍
本研究的目的是为平面几何教学中辅助元素的引入提供文献资料。我们对这一主题的兴趣来源于一些研究，研究表明，如果高中生难以理解如何和为什么引入特定的辅助元素，他们对几何的理解，特别是在证明和解决问题方面会受到很大的阻碍。
Senk的一项大规模研究表明，辅助线的引入是解决几何证明问题的关键。此外，她总结道，学生经常在使用辅助线时出现问题，“说明了有必要教学生如何、为什么以及何时在证明中转换图表”。同样，Ding和Jones也指出，在证明中引入辅助线对学生来说往往是很大的困难。这与Hsu和Silver的研究结果一致，他们指出辅助线的引入是复杂问题解决的四个类别之一。Hsu声称，困难在于学生需要动态地感知图表，并能够应用转换观察，可以借助引入辅助线的方法最终找到解决方案。
Herbst和Brach研究了美国学生在与几何任务互动时对自己角色的看法。大多数学生在这些互动中的表现是被动的，特别是在使用任务图中。具体来说，他们不希望在图中引入辅助元素，但在极少数情况下当需要辅助线时，他们希望从老师那里得到提示。这种被动性并不是学习的无害特征，特别是根据Hsieh, hong和Shy的研究结果，在台湾,他们证明了积极探索（主要是动手活动）和解决问题如何促进学习几何证明。探究性活动可以向学生揭示问题的新信息，从而帮助学生在需要辅助对象时开始论证，使辅助线的介绍更容易理解，并为学生提供在问题中引入新元素的理由。
据俄罗斯著名教育家和几何教科书作者Igor F.Sharygin，学习几何主要是解决几何问题的艺术。然而，与学习代数不同的是，几何问题的解决由于缺乏通用的求解算法而受到阻碍。因此，他为几何教学开发的方法之一，即为构建一套扩展的模型支持问题。在一个支持性问题中，一个特定的几何事实被表达出来，或者一些解决几何问题的方法或技巧被展示出来。许多后一种类型的支持性问题是基于辅助元素的，这些辅助元素与特定的几何图形有关。我们不怀疑这种方法的有效性，在这种方法中，学生们会意识到某些几何构型和辅助元素之间的联系。然而，我们相信有可能发展出一种更为普遍和结构化的教学方法来说明如何（以及为什么）引入辅助元素。最近，在这个方向上有了一些进展，并进行了基于课堂的研究，向学生介绍以辅助线为主题的一般解决方案。
尽管事实上，辅助元素的引入本质上是一个适合于几何学教育中至少几个主要的研究线索的主题（例如，理解视觉空间推理、图表和手势的使用和作用、理解证明过程的教与学），但还远远没有被彻底调查。在我们的研究中，我们试图通过比较辅助线在不同问题和证明中的使用，根据它们所起的作用来进行描述，并提出引入辅助线的原因，来提高对辅助线引入的认识。提出的泛化建议是George Poacute;lya关于问题解决和John Mason的注意力转移理论的开创性工作。
理论背景
引入辅助元素的原因
根据Polya，“我们引入的一个促进问题解决的元素，称为辅助元素”。引入一个或多个辅助元素并不是任意的。Polya列出了引入它们的一些典型原因，我们通过图1所示的简单示例进行了说明。
图1 三条不同的辅助线添加，证明三角形AED的面积是平行四边形ABCD面积的一半
（1）在这种情况下，调用与当前问题相关的问题，并且辅助元素相应地修改给定的问题。例如（图1（a））,学生可能会想起一个已知的结果：平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形。通过引入辅助线EGAB，将给定的平行四边形ABCD修改为两个具有相应对角线的平行四边形。使用（回顾）已知结果。
(2)回到定义。在这里，一个与当前问题相关的数学实体的定义通过辅助元素具体化。如图1(b)所示，一个学生可能会回忆之前学过的一个等边平行四边形和一个底为b、高为h的三角形的面积公式。套用Polya的话，只回忆这个公式而不画出高度 (他原来的想法是“hellip;只给出圆的定义而不画出什么)。在这种情况下，辅助线是EF 是平行四边形和三角形的共同高度，这就直接证明了。
(3)期望使原来的问题“更完整、更有启发性、更熟悉”。学生可以将E点移动到其中一个顶点(图1(c))，形成一个新的辅助三角形，其面积在视觉上是平行四边形的一半。
Polya的列表是最近研究的一个起点，该研究探索了学生的辅助元素。学生们给出的引入特定辅助线的两个原因与Polya的前两个类别(即已知条件和定义)一致。第三个原因主要与直觉规则和学生感觉问题的所有资源已经耗尽，需要发现一些新的信息来源有关。在2018年的研究中，Palatnik 和 Dreyfus主要关注第三个原因;在这篇论文中，我们提出了一个互补的方法，重点关注引入辅助线的前两个原因，即学生可能想到的已知条件或一个可以具体化的定义。我们也将自己限制在被认为是标准的辅助元素上(例如，平行或垂直于给定直线的直线，线段的延续或圆的半径)。然而，很明显，仅仅根据引入的对象来分类辅助元素是不够的。这就留下了一个基本问题:是什么使辅助元素成为辅助的?
引入辅助元素以转移观察角度
Polya关于引入辅助元素的作用的观点与Mason, Burton和Stacey解决问题和发展数学思维的方法是一致的。也就是说，在找出你所知道的以及你想在解决的问题中取得什么成就之后，有必要在其中引入新的元素。根据Mason等人的说法，导言包含符号、组织和表示的方面。他们还声称，引入新元素的系统方法能培养“自由的精神态度”。为了支持这一观点，我们另外断言辅助元素是求解器具有绝对控制的唯一元素。也就是说，能够引入一个带有选择特征(同余、平行、垂直、对称、轨迹等)的辅助元素，为学生提供了一种主动的学习方式。
Mason将学习定义为一种注意力的转换，包括“形式和注意力的转移”。Mason区分了注意力转换的五种不同结构:把握整体、辨别细节、识别关系、感知属性和基于感知属性进行推理。在Mason的著作中，这些理论结构大多应用于代数和数值结构。
扩展了Mason理论的应用领域，建议使用注意结构作为分析框架来研究学生解决问题的努力。他们以一项活动的案例研究为例说明了这一应用，该活动最终让学生们产生了恍然大悟的时刻。在我们看来，形式和注意力的转移也可以应用于几何问题的解决，特别是当引入一个辅助元素是必要的。引入的辅助对象可能成为被关注的新事物(即关注的焦点)，但也可能成为一个“音叉”，改变给定的几何实体被关注的方式(即关注的形式)。当一个新元素被引入图表时，即使不关注特定的细节，它改变了求解掌握全局的方式。辅助线吸引求解者的注意，它是一种先验的可识别的细节，与图中的其他元素不同。学习者不能简单地识别图表元素和辅助元素之间的关系:他通过介绍的行为来建立它们。感知属性需要结构化的注意，将关系看作属性的实例化。例如，当一个人画一条平行于一个平行四边形的边的线(图1(a))，一个人会感知到新的平行四边形的一些特殊属性。在感知属性的基础上应用这种推理是一种注意力结构，这种结构会引导学生重新审视由于这个属性而经历修改的新情况。
合并和分割辅助元件的典型示例
为了举例说明我们的方法，我们分析了在一些几何问题中引入辅助线的问题。首先，我们根据一个相关的数学结果、定理或问题，或一个可以具体化的定义来描述辅助元素(Polya的理由1和2)。接下来，我们指出该特征如何潜在地转移学生的注意力和结构:辅助元素要么将原始图表中先前不相关的组件统一起来，要么将一个复杂的实体划分为更简单的实体。
辅助线使已知条件与不联系的对象相结合
图2所示的问题中的辅助元素是通过点a和F的线段，该线段与底BC的延长线相交。引入的线段可使用三角形中点线段的特性。线段AG将条件转换到三角形ABG中，中位线EF等于线段BG的一半，即为梯形上底加下底之和的一半。
图3所示问题中将中线的长度延长一倍，并连接点A和E。新元素将利用三角形不等式的概念。所构成的三条边合并成一个三角形BAE，因此可以证明，且有 。
图2 梯形中点定理证明中的辅助元素，证明在梯形中，连接两边中点的线段与边AD和BC平行，且等于两个边之和的一半（梯形中位线定理）
图3 证明三角线一边上的中线小于另外两边的和的一半，证明
图4所示问题中的辅助元素为平行于AD并与BA延长线相交的线段CE。引入的元素可使用截距定理(Thales定理)。辅助线的引入将线段BA和线段AC (AE = AC)统一在的一边上。
图5所示的问题中的添加的辅助元素是一条经过点D平行于线段AB交AC于点E的线段DE，可利用截线和两条平行线之间的夹角的性质。通过辅助线可构成一个三角形AED。
在所有提出的问题中，引入辅助线使用先前已知的条件(定理、性质或问题)。毫不夸张的说,学习者可以将图2中的梯形中位线定理与三角形中点联系起来，图3和图5的线段不相等关系可以观察到类似于三角不等式,图4所示所构成的线段成比例运用到Thales定理。因此，引入的元素为学习者提供了一个新的观察角度，使他们辨别新的细节，并通过联合以前分散的组成部分来识别新的数学实体中的关系。反过来，这些可能被理解为一个解决方案或证明所需要的特性。
图4 角平分线定理中的辅助元素,证明了（角平分线定理）
图5 辅助元素DEAB，设ABC为等边三角形。证明了三角不等式适用于线段AD、DB和DC，并且由它们组成的三角形包含120度角°
辅助线使已知条件运用和图形整体划分
图6所示的问题的辅助元素是对角线AC。对角线AC的添加可应用已知条件（三角形的一致性）。对角线将给定的平行四边形分成两个全等三角形。
图7所示的问题的辅助元素是对角线BD。对角线BD的添加可应用已知条件（三角形面积公式）。对角线BD将给定的梯形分成两个三角形。随后对高度的计算引入相应的公式。
在图6和图7所示的问题中，辅助线的引入可结合先前与三角形相关的条件。对角线可能是四边形中要考虑的第一类辅助线。辅助元素通过将给定的图形划分，成为我们熟悉的新对象（三角形），为学习者的解题创造新的关注点。因而得到原图形被转化成我们熟悉的对象（等边、共同高度等）。部分和整体（三角形、平行四边形和梯形）之间的关系可以很容易地建立起来，并且可以利用它们的性质，从而得到解决方法。
图6 辅助元素——对角线AC，证明如果ADBC且AD = BC，则ABCD是一个平行四边形
图7 辅助元素在任务区域上呈梯形，提出梯形面积的计算公式
辅助线使可用条件更明确，并将不相关的对象统一起来
图8所示的问题中的辅助元素是一条通过A，与BC平行的线。平行线是为了使平角的定义具体化而画的。平行线在一个顶点A处使三个角转化到一起。
图9所示的问题中的辅助元素是圆心O以及延伸到内切角端点的OA和OB半径。辅助元素使圆的可用条件更加明确。辅助元素将原先不联系的圆心角联合起来得到
图8和图9中的两个问题通过角度这个主题统一起来。除了定义的具体化(平角和圆)之外，两者中的辅助线还允许过渡到代数几何(角度的计算)。从前分散的角被合并成一个新的实体(一种是平角，另一种是等边三角形)，使学习者的注意力得到相应的聚焦和构建。
图8 三角形内角和证明中的辅助元素，证明三角形内角和为180°。
图9 辅助元素把原先不相联系的角相互联系起来，相关的定义暗示着辅助元素，证明一个圆和弦的正切所形成的角等于这个弦对应的内切角
辅助线是条件明确并分割给定的图形
图10所示的问题的辅助元素是半径MC。绘制半径使圆的条件更加明确。MC将分为和。由此可得，
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