本科毕业设计（论文）
外文翻译
数学方法论在数学教学中的应用
作者：张天平 徐沥泉
国籍：中国
出处：数学理论与应用,2013,33(02):34-48
中文译文：
摘要：本文介绍了运用数学方法论的观点指导数学教学的一种崭新的数学教育方式，即应用数学的发展规律、数学的思想方法和数学中的发现、发明与创新的观点设计数学教学。
关键字：数学方法论；MM 数学教育方式；发现的设计＆发现的经历
1序文
它始于1989年，距今已有24年之久。其目的是启发学生的创造性，促进数学教学中的发现和发明。经过25年的实验，结果令人满意[1 -2]。
MM模式被认为是未来数学教育的发展之路，这是一种对原始的纯净和简单的回归。它发展了波利亚的数学教育思想和方法论模式，构建了数学教学先进理论研究与实践之间的一系列变量。
在数学教学过程中，让数学发挥两种重要作用:一是科技功能，二是文化功能。贯彻“教学、研究、发现”并举以及“演绎与貌似”并举的基本原则。做好8个变量的处理:数学回归到简单、数学的美育、数学发现的启发式方法、著名数学家优秀品德的教育、数学历史趣闻的教育、合理推理模式的教学、逻辑推理的教学和问题解决方法的教学。针对三个目标:（1）学生自主发展科学素养；（2）学生自主发展数学社会文化素养；（3）形成和发展学生的数学素质。以及全面提高学生的素质。
该项目于1994年和2002年由江苏省教委委托实施，获得了以中科院王子垦院士为首的专家组的高度评价。随着21世纪的到来，工程又有了新的进展。[3]~[35]
本文在数学教学中既有发现的设计，也有发现的体验，并对这方面进行了一些探讨：哪里有发现的设计，哪里就有发现的体验！
2问题在哪里？
人类已经进入了21世纪，这是一个新的世纪，它不仅将见证现代高科技的更大规模的变革，也将见证对个人发展的研究的重视。“然而，高科技从根本上说是一种数学技术”、“数学科学对人类的教育功能是巨大的”以及“数学是人类文明的重要组成部分”。
因此，目前世界上大多数国家都把数学教育作为提高国民内在素质的重要手段，他们越来越意识到发展数学科学非常重要性。而中国更应该这样做，因为“中国人应该擅长数学科学”，但形成鲜明对比的是，成千上万的学生对数学不感兴趣，他们讨厌数学。
有些人可能会说这是由于外部原因，但事实是，在数学课上，学生和老师都无法品尝到数学精髓的优雅味道，更不用说让自己沉浸在浩瀚的现代数学大草原中，吸收大量的知识来帮助培养思考和解决问题的能力。因此，将上述不良状况说成是数学教育外部原因的结果是武断的。
撇开“数学教育的外部影响”不谈，数学教育质量的提高归根结底取决于数学教育的内部因素——如何采用最有效的教育方法。这是问题的核心。
那么什么是最有效的方法呢？采取务实的态度，从我们的日常生活中举出大量的实例，这样对吗？显然，这正是我们在20世纪70年代在我国所做的事情，它造成了可怕的损失和最深切的遗憾。
是否可以单方面强调“数学教育的现代化”，使中小学数学教材公正化？一些欧美国家的“新数学教育改革”的失败可能会重演，那次失败让人们“回到了基础”。
降低教材的难度能行吗？如果删除了相对复杂和抽象的内容，实际上等于一步一步地把数学的优雅和完美划掉，结果是数学课本变薄了，练习本变厚了。内容的缩减，直到只有没有血肉的框架，就不会增加学生的学习兴趣了。相反，做不必要的妥协和降低数学学习的要求只会容忍学生贪图安逸、厌学，导致人的性格下降。
这就产生了一个问题：为什么一方面，数学教育迫切需要改革，而另一方面，改革总是遇到挫折，甚至失败？问题在哪里？问题是什么？我们可以从失败中吸取教训，从成功中获得经验，我们的答案是：在数学教育（MM教育)中实施数学方法论，全面提高学生的素质。
3怎么做呢？
MM法的起源是什么？在数学教育中推行MM方法的原因是什么？也就是MM方法的理论和背景。
3.1首先，我们要弄清楚什么是数学方法论
近年来，国内外一些著名的数学家都致力于数学哲学的研究，他们从本体论和认识论的角度提出了“数学是一种模式真理”的数学观点，根据这个观点，数学模式在本质上是双形的。就其内容而言，具有明确的客观意义，它是客观存在思维的反映，任何数学形式都有它的现实原型。就其形式或结构而言，数学并不是客观世界中的任何客观现实，而是一种创造性思维，即理性思维的创造。综上所述，我们可以得出结论，数学既是一项发现也是一项发明。因此，每一个重要的数学发现或发明，都标志着数学本质向全新状态过渡的杰出成就。它总是伴随着认识论和方法论上的突破，伴随着数学思维方式的革命性变革。有一个专门研究数学思维方式的学科，那就是数学方法论。L.C.Hsu教授指出:“数学方法论主要是研究和探讨数学发展规律、数学思维方式规律、发现、发明和创新规律等的一个数学学科分支。”
3.2其次，我们还必须明确数学教育和数学方法的关系
从数学方法论的角度来看，数学具有双重属性：当你看到数学的最终形式时，它是一门系统的演绎科学，当你看到它的形成过程时，它又是一门实验和归纳科学。因此，数学教学应符合数学教学的双重属性，使学生得到全面的数学教育，而忽视归纳性是一种不完善的教育。
如果我们用数学方法和高级神经活动心理学的研究成果来分析数学思维，我们可以看到数学思维也具有双重属性：用观察、实验、类比、联想和不完全归纳等方法进行逻辑推理的抽象思维和推理似是而非的形象思维。这种对偶性质不仅在数学发现过程中起着重要的作用，而且在社会生活中有着广泛的应用。因此，我们不应该把数学当作纯粹的科学工具，而应该把它当作一种文化形态，努力提高人们在数学方面的文化素养。我们必须采取一定的措施，保证数学文化教育功能的充分发挥。如果没有合理的推理，人们很难接受抽象的结论，G.Polya曾经举了一个例子来说明和强化他的观点。这个例子如下：
（是不全为0的非负实数）
他用一个方程验证了这个正数，，因此，
验证本身相当简单,推理的关键是如何定义序列，这是学生难以理解的。在他们看来，“解决方案不知从何而来”、“只有作者自己知道这一步的目的”。这就是为什么人们很难理解抽象的结论。俗话说：“如果可以获得信息，那么可能可以解决困难的问题，但如果这个问题定义了一种观察结果，那么它就会迷惑聪明的人。”当人们发现无法获得真理的起源和思辨时，才会被动、盲目地承认真理，如果所有的数学教材基本上都是按照这个体系编写的，如果教师不去尝试“处理”，学生只能被动地接受原本的规则，他们完全依靠公式，日复一日，年复一年地像机械一样操练。最终结果是，他们的智力很难得到提升，而另一方面，他们的数学课本却不断地变难。通过这种方式，学生们开始讨厌数学。G.Polya曾建议采用所谓的“探索模式”的描述性形式，让学生集合理解和掌握数学的抽象结论，向学生分析抽象结论的起源和发展。他以序列的发现为例，说明它是如何通过观察、联想、猜测平均不等式来验证的。
但是，他第一次尝试时并不幸运,系列是发散的。这是彻底的失败!他仔细分析了原因，猜测这些数字之间的差异太大:，因为当且仅当相等时，平均不等式成立，当不相等时，两边则不相等。当差异非常大时，方程两边的差异随之也会大得多。因此，他提出了结构补偿因素的概念。在数字中插入，由此问题得到解决:
因此我们不难理解为什么需要这个定义:
因为，
这里我们已经浓缩了他的探索过程。这个典型的例子基本上反映了数学发现的一般过程,它还告诉我们，任何真理的出现都要经历许多困难，以及，在失败的现实中，隐藏着所有通向成功的信息教学。而我们的职责是破译现实中隐藏的无形密码。这个例子也表明了学习数学的困难并不来自于它的抽象形式，而是脱离了抽象的背景，没有合理的推理去发现过程，没有对挫折后的反馈信息进行分析，缺乏生动的创造和发明活动的结果。
现在看来，我们有充分的理由来回答第一部分提出的问题，即为什么数学教育一方面迫切需要改革，另一方面一旦涉及到改革就陷入困境甚至失败。与此相对的是，传统的数学教育虽然充满缺陷，但经过这么多改革，为何仍然存在？答案是缺乏正确的理论领导。正是数学方法论的出现，帮助我们最终找到了传统数学教育缺陷和不足的根源和解决之道，这就是为什么L.C.Hsu（徐利治）提出了在数学教育中应用数学方法论原则的建议。
4如何操作?
MM法到底是什么?如何在数学教学中恰当地组织这种方法？
4.1
正如首段所描述的，在数学教学中，教师和学生自觉遵循“教学、研究、发现”的步骤，同时坚持“教学演绎与推理”的原则，充分发挥数学的科学技术功能和数学文化功能，教师适时地使学生置身于数学回归原始的纯朴、数学美学教育、数学发现教育、数学家的卓越素质教育和数学历史教育之中。讲授似是而非的逻辑推理和解决问题的方法，为学生提供科学素养和社会文化素养的持续培养指导，有助于学生数学素质的形成和发展，提高学生的素质。这就是数学方法论的模式。
4.2解析MM方法的目标，就得到了以下形式的指标体系
从垂直方向看，使学生具备一般科学素养，促进社会文化素养，形成和发展数学素质,我们称之为“纵向请求集”。观察水平方向的列时，会发现3个层次的指数符号，我们称之为“水平水平集”。
评价：从“纵向要求集”{一般科学素养、社会文化素养、数学素质}和“横向要求集”{及格、中级、高级}中选取“笛卡尔积集”的若干适当子集作为MM方法的综合评价研究。如果一般科学素养满足“导语”栏目的所有要求，社会文化素养和数学素质在“导语”栏目中获得相应的及格水平，可以说实验基本成功，达到“”的评价。如果一般科学素养和社会文化素养在相应的指导语言栏中达到要求，数学素质达到及格水平，则认为实验成功，达到“”的评价。如果一般科学素养、社会文化素养和数学素质在相应的指导语栏中都达到了要求，我们就说实验取得了满意的成功，达到了“”型评价。
5结果怎么样？
哪里有发现的设计，哪里就有发现的体验！运用MM教学法，改变学生被动学习的现状，使学生对证明和猜想教学中探究规律产生浓厚的兴趣。因此，整个教学过程融入了发明发现的主旋律。以下是一些例子：
5.1
在平面解析几何中，有一个众所周知的练习：线段的两个端点分别沿坐标平面的轴和轴运动，求出线段中点的轨迹方程。
很明显，这条曲线是一个圆。但问题是：我们能提出新的想法吗？MM方法要求我们加强通用性解题方法的教学，要求我们尽可能地将解题过程及其结果不断地融入到探索、实验、总结、回忆的数学科学知识体系中。为此，我们设计了一个小实验，让学生仔细观察并验证其结果。例如，我们可以使用一个教学指针，使它的两个端点在黑板的内角边(直角边)上移动。我们发现，这个简单的实验给我们带来了一个非常有趣的结果——命题：“星状线既是直线族的公共包络线，又是椭圆族的公共包络线”，这是一个隐式解。这一发现结合了不同的练习，这些练习似乎分散、孤立，但实际上是相关联的。例如，线段的中点轨迹，圆的参数方程，椭圆与直线，椭圆规的结构和原理，星形线等构成一个整体，找到方程的曲线方程和曲线，切线的曲线的概念，并找到切线的方程和切的长度，中学数学的不同知识融合成一个整体，它也是初等数学和高等数学之间的纽带，直观图见图1：
图1 星状线为共包络线
5.2
在数学教学中组织抽象分析方法有两个基本措施：一是指导学生从具体材料中直接取抽象的数学模型，即对非数学问题进行数学处理；二是引导学生进一步理论化数学模型(如教材中的定理、公式等)，以构建前人或他人的理论。下面是一个利用抽象分析方法系统地构建数学模型并再创建和再发现的例子。
通过对初等代数中算术平均和几何平均定理的教学和研究，推广了“幂平均函数及其平均值不等式”的更基本形式。我们将下列函数分别定义为幂平均函数和加幂平均函数(这里的是互不相等的正数，)。利用它的幂级数展开，构造一个辅助函数。
和
我们详细讨论了幂平均函数的边界、连续与一致连续、导数与连续的性质、导数函数的单调性等，从而在数学模型中完成了“幂平均函数及其平均不等式”这一综合构造，并且几乎用到了初等微积分的所有重要知识。
5.3
一个例子是，先从经验中得出数学上的另一个发现，然后用抽象分析的方法再得到这个发现。
在中学一年级的代数课上，老师和同学们一起讨论了一个旅行路线问题，即快车追慢车。突然，一个学生向老师提出了一个显然无关紧要的问题：刚过了3点，手表上的时针和分针
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