本科毕业设计（论文）
外文翻译
一类调和级数的递推求和公式
李向阳1，方成2
（1.安徽师范大学 数学计算机科学学院，芜湖 241000）
（2.浙江财经学院 数学与统计学院，杭州 310018）
摘要：通过对一个周期函数进行傅里叶级数展开，利用数学软件Mathematica7，得到了偶数阶的调和级数以及交错的奇数阶调和级数求和的递推公式，然后在此基础之上，得到了其他两类调和级数的递推公式。
关键词:调和级数；递推公式；傅里叶级数；无限和；Mathematica
中图分类号：O173.8 文献标识码：C 文章编号：1672-1454（2012）05-0129-04
1.引言
近年来，许多论文对某些调和级数的求和公式和著名恒等式的证明给予了特殊的关注。我们表示，，，其中为正整数，对于本文其余部分,[1]给出了的递推公式，[2]利用不同周期函数的傅里叶级数展开给出了的递推公式。和的证明可以从 [3,4,5,7]和[3,6]中分别看到。本文利用与文献[1,2]不同的周期函数，推导了,,,的递归求和公式，并给出了上述恒等式的证明。
2.递推公式
引理1：
，其中 （1）
证明：当,
假设(1)对成立，现在我们检验(1)对也成立，
由
通过数学归纳法，我们得出了结论。利用数学软件Mathematica 7得到引理1。下面的引理2是定义在开区间的函数傅里叶级数展开的直接结果，并且的傅里叶级数只包含余弦。
引理2：, （2）
定理1：, （3）
证明：利用引理2和傅里叶级数收敛定理可以很容易地得到这个证明。
当,(2)的RHS收敛到
也就是说： （4）
令,由（4）可得：，
当时，很容易从方程（4）中得到方程（3）
令（3）中的,我们可以得到以下的等式：
,
.
3. 的递归求和公式
引理3：
，其中
（5）
证明：这个证明也可以很容易地用数学归纳法得到，正如我们在引理1中所做的，现在省略它。
引理3也是借助Mathematica 7得到的。
下面的引理4是定义在开区间的函数的奇扩展的直接结果，它是只包含正弦的傅里叶级数。
引理4： ， （6）
定理2：，
（7）
证明：利用引理证明4和傅里叶级数收敛定理,当，（6）的RHS收敛到 ，
也就是说： （8）
令（8）中的,我们有,当时,由(8)也很容易得到式(7)。
令（7）中的,我们有如下等式成立：
,
.
4. ,的递归求和公式
对于下面的两个级数，我们可以很容易地在引理5和引理6中利用定理1和定理2得到相似的结果。
,
引理5：.
事实上,
引理6：.
事实上,
令分别等于得到引理5和引理6。
,.
,.
参考文献：
[1]Arpad Benyi.交替调和级数的递归[J].计算与应用数学杂志,2005,18(1):377-381.
[2]Iickho Song.偶次调和级数的递推公式[J].计算与应用数学杂志,1988,21（2）:251-256.
[3]HofBauer.的简单证明与相关恒等式[J].美国数学月刊，2002,109(2):196-200.
[4]Papadimitrion I.公式的简单证明[J].美国数学月刊,1973,80（4）:424-425 .
[5]Kalman D.六种求和方法[J].大学数学杂志,1993,24(5):402-421.
[6]Liu Zheng.两个基本交替级数的初等证明[J].美国数学月刊,2002,109(2):187-188.
[7] Giesy DP.的另一个初等证明[J].数学学报,1997,45(3):148-149.
偶阶调和级数的递推公式
Iickho Song
摘要：由一些周期函数的傅里叶级数展开的应用,得到偶阶调和级数 ,的无穷和递推公式。由于该公式不包含伯努利数，因此可以用不含伯努利数的公式计算出无限次偶数调和级数的和。本文用递推公式计算了几个偶阶调和级数的无穷和，并将它们列成表格，以供参考。
关键词：调和级数；递归公式；傅里叶级数；无穷和
1.引言
已知无穷级数 （1）
对于的任何正值收敛于有限值。当为正整数时，级数（1）的无限和可计算为 (1)，， （2）
其中函数定义为 （3）
是伽玛函数。此外，当是奇整数(即：在偶阶阶调和级数的情况下)，级数（1）的无限和也可由公式（4）计算
，， （4）
其中，，,是伯努利数，可以用下面的公式计算，
,， （5）
在[1]中可以找到更多伯努利数的典型值。
由（4）和式（5）可以看出，要求一个偶阶调和级数与（4）的无穷和，首先需要计算伯努利数。
本文利用适当周期函数的傅里叶级数展开，推导出不需要计算伯努利数的偶数阶调和级数无穷和的递推公式。也就是说，本文的主要目的是找到一个公式，在用这个公式时可以在不引入参数的情况下得到偶数阶调和级数的无穷和。
2.偶阶调和级数的递推公式
周期函数的傅里叶级数可以表示为：
， （6）
其中是的周期，，和，,称为[4,5]中的函数的傅里叶系数。
为了推导所需的公式，我们将考虑函数，，其中定义为
，， （7）
并且：
对于函数，，很容易看出傅里叶系数， ，因此它们可以用下面的傅里叶级数表示：
， （8）
其中的傅里叶系数，，参见附录A给出，并且k依赖于 （9）
以及
,， （10）
之后经过一些如附录B的运算所示， （10）可以转化为如下所示：
，， （11）
一旦我们（8），（9）和（11）,就很容易继续下去并得到所需的公式。现在将代入（8）中，并利用(9)和(11)得到：
（12）
在附录C所示的几个步骤之后，(12)如下所示：
， （13）
其中
，， （14）
为偶次调和级数的无穷和。为方便符号，我们继续进一步的进行运算，最终得到期望的公式如下所示：
，， （15）
从（13）经过几个重排与定义得到：
（16）
以及：
. （17）
由递推式（15）和（17）得到的部分的值如表1所示。
3.总结
最后，利用周期函数的傅里叶级数展开，导出了求偶次调和级数无穷和的递推公式。虽然偶阶调和级数的无穷和也可以用其他众所周知的结果来计算，但本文推导的公式不需要伯努利数的先验知识。并给出了用该公式求得的几个值，说明了该公式的有效性。
表1
部分的值
|
1 |
6 |
7 |
||
|
2 |
90 |
8 |
||
|
3 |
945 |
9 |
||
|
4 |
9450 |
|||
|
5 |
93555 |
|||
|
6 |
||||
附录A
傅里叶系数计算
， （A.1）
. （A.2）
附录B
（11）的推导过程
（11）的推导可以采用几种方法，包括（10）的归纳和直接迭代。在本附录中给出了一种可能的推导。为了便于表示，我们先定义一些量:
令：
（B.1）
（B.2）
于是我们有：
（B.3）
其中：
（B.4）
通过将（B.3）中的指标k连续减少1并乘以适当的量，然后相加，我们得到
（B.5）
现在指出：
, （B.6）
于是（B.5）可以表示为：
（B.7）
因为（B.7）式子中的第项是
（B.8）
最后我们得到：
（B.10）
于是（11）可由（B.4）和（B.10）的得到。
附录C
（13）的推导过程
如果我们将（12）除以，然后重新排列结果，我们得到:
或者：
（C.1）
现在如果我们在（C.1）中使用（14），我们得到：
（C.2）
经过稍微重排，我们最终得到:
（C.3）
参考文献
[1] H.T. Davis,系列总和[J].三一大学原理出版社,圣安东尼奥,TX,1962.
[2]M.Abranmowitz. I.A.Stegun,Ed.,数学函数手册[J
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