不等式：通过问题来解决的方法——一些基本的不等式
作者：B.J.Venkatachala
国籍：印度
出处：Inequalities An Approach Through Problems(Second Edition)
中文译文：
1.1介绍
众所周知，实数的一个重要性质是可比较性。我们可以比较两个不同的实数，得到这个数比另一个数更小或者更大。实数R中规定符号“lt;”，它可以帮助我们比较两个实数大小。这种规定在R上的基本性质是：
(i)对于任意两个实数和，下列三个关系中只有一个成立：
;
(ii)可表示成；
(iii)可表示成.
我们推导的任何新的不等式都完全依赖于这些基本性质。这些性质被用来推导算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、切比雪夫不等式、重排不等式、 Houml;lderrsquo;s 和Minkowskirsquo;s不等式，并用于凸函数和凹函数的研究。以下是R上规定的基本性质的一些简单结果：
(1),则；
(2),则；若,则；
(3)意味着；
(4),则；,则；
(5),则（传递性）；
(6)若,则有；
(7),则；若,则有；
(8)对于任意实数,有；
(9)若和是正的，且,那么.
我们在这里强调，不等式的减法一般是不允许的。如果,我们不能保证或.原因很明显：即.同样，我们也不能用一个不等式除以另一个不等式。如果,,和都不成立。同样的原因很简单，因为则有 （）.另一方面，我们可以将任意两个不等式相加。如果两个不等式中的所有项都是正的，我们也可以将它们相乘：如果,且成立，则也成立。
对于任意实数，我们定义它的绝对值：
注意，当且仅当时。绝对值函数有一些很好的性质：
(1)；；； （）.
(2)当且仅当有相同符号，这就是所谓的三角形不等式。
(3).
另一方面，在复数C中没有类似规定，没有像R那样的自然的规定。（这是一个固有的普遍原则，如果你想要得到一些东西，你就必须付出一些东西。）然而，我们可以用复数的绝对值来求实数系。对于任意的复数,我们可以联系它的共轭复数和它的绝对值.注意。以下关于的性质很容易去核实：
(1),当且仅当时;
(2)；
(3)当且仅当（）或或。
1.2算术平均-几何平均不等式
在实数R中，基本的不等式为（）。这是非常基本的，R中的其他不等式都是这样的结果。考虑任意两个非负实数和，那么我们知道和是有意义的实数。由于实数的平方总是非负的，即。这可以得到：
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（1.1） |
称为和的算术平均值，成为和的几何平均值。根据（）可得，任意两个非负实数的算术平均值不小于其几何平均值。此外推导可得（1.1）中的等式当且仅当时成立。
在一般情况下，有n个非负实数，我们令它们的算术平均值和几何平均值分别为和，即
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就像两个数的情况一样，这两者比较可得到AM-GM不等式。
定理1：给定任意的n个非负实数，它们满足不等式：
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（1.2） |
当且仅当时，等式成立。
证明：这个经典定理有多种证明方法，我们在这里给出一个由柯西提出的巧妙的归纳法证明。它还说明了如何在归纳证明中省略一些数字的归纳法仍有效，然后使用插值参数来证明缺失数字的有效性。
我们已经得到的结果：
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（1.3） |
当且仅当时，等式成立。现在考虑4个非负实数，将它们分成两组和，对各组应用已知不等式可得到：
可推出：
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在时，得到不等式(1.2)。我们也可以通过观察得到当且仅当和时等式成立。因为所有的数都是非负的，因此可得。这个可以用来证明时也可得到不等式（1.2）。通过归纳可得不等式（1.2）对都成立，同样，当且仅当个数都相等时等式成立。
现在考虑任意n个非负实数，我们选择一个自然数k使得。令
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考虑集合的个数，其中出现了次。我们对这个数应用AM-GM不等式，其有效性仍然成立。我们由此可得：
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化简可得：
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通过简单的操作可得，这与不等式（1.2）相同。
我们也可以通过观察得到当且仅当所有数都相等时，等式成立。
例1.1 让是n个乘积是1的数，证明：
证明：利用不等式，我们可得：
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例1.2 证明对于任意的自然数n，都有不等式成立。
证明：我们将分成两部分：，
利用AM-GM不等式，我们可以得到：
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， |
以及 .
结合两个不等式可以得到：，证毕。
例1.3 如果是三角形的边，证明：
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（1.4） |
证明：上述不等式的第一部分等价于
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我们令这可以化简为：
这是AM-GM不等式的结果。(我们注意到，我们需要的是的正数，是三角形的边的假设在这部分不需要充分发挥。)
假设是中最大的。根据对称性，我们可以假设。在这种情况下
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因为是通过三角不等式获得的。
如果是n个正实数，我们定义它们的调和均值为
因此n个正实数的调和均值等于给定数的倒数的算术均值的倒数。由于
由此可得：
因此，对于n个正实数，有不等式：
或者简称为。这通常被称为AM-GM-HM不等式。同样，当且仅当所有数相等时，等式成立。
例1.4 对任意的4个正实数，证明：
证明：在不等式的两端同时加上 ，则不等式可以写作：
接着，利用AM-HM不等式，我们知道
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因此，所要求证的不等式就随之而来了。
例1.5 如果是三角形的边，证明：
其中s是三角形的半周长，证明三角形是等边三角形。
证明：观察可得：
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这里使用了AM-HM不等式。因此在AM-HM不等式中，当时，等式成立。
例1.6 如果是正实数，证明不等式：
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（1.5） |
证明：令
则有。不等式（1.5）可化为：
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（1.6） |
根据，可化为下面的形式：
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（1.7） |
展开左边并再次使用，我们可以把(1.7)写成这样的形式：
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（1.8） |
现在给出AM-HM不等式：
从而有：
因此，可以充分证明：
由于，这是由AM-GM不等式推导出来的。
现在让我们看看如何推广AM-GM不等式。考虑n个非负实数和n个正整数形成一个集合，集合中每个出现次。这个集合包含个非负实数。这些数的算术均值和几何均值分别是：
现在给出AM-GM不等式：
假设有正有理数，然后我们可以将它们化为一个公分母：
这里都是自然数。这不
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