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勒贝格密度定理在实轴上的异常点
摘 要
对于实轴上非平凡的可测量集合，总有一些例外点的上密度和下密度既不是 0 也不是 1。我们量化这一说法，遵循V.Kolyada的工作，并获得意想不到的结果，即总有一个点，其中上密度和下密度为接近 1/2，而不是0或 1。证明方法使用问题的离散重述和一个自相似的结构。
关键词： 勒贝格密度定理、可测集、分形、区间配置
介绍和符号
1.问题的公式
用表示实数上的勒贝格测度。如果和都不是零测度集，我们将称可测量集合非平凡。一个点被称为一个的密度点，如果满足
其中，表示区间
勒贝格密度定理[4]，以一种有点削弱的形式，指出：
对于任何可测量的集合， 几乎所有的点要么是的密度点， 要么是RS的密度点。
研究S的勒贝格异常点集是一个很自然的问题。也就是那些既不是S的密度点，也不是的密度点的那些点的集合。请注意，这是一个拓扑概念，因为就测度理论而言，异常点的集合是可以忽略不计的。
我们可以将例外点的概念量化如下。 给定一个可测量的和， 我们将称 为的例外点，如果满足
在本文中，我们研究了那些声明是正确的的集合：
：对于每一个非平凡的，都有一个 例外点。
显然，如果然后意味着，因此我们的问题可以归结为寻找通用的常数：
2.问题的历史
确定这个常数的问题在中进行了介绍和研究；在 这篇文献中Viktor Kolyada表明
。
根据他的建议，证明不平等的问题是成为了其中的一个问题。在1983年的Schweitzer比赛中。这是一个为匈牙利数学本科生举办的竞赛。结果证明，作者当时无法解决这个问题，因此未能在比赛中获得一等奖。可能在某种程度上，在这种失望的激励下，作者在比赛结束后对这个问题进行了彻底的研究，这导致了在1984年获得的结果，我们对相当长的延迟表示歉意，并在本文中提交该结果。
3.研究结果和论文的内容
有一个简单的分析证明1/4 ；我们在第1节中回顾这个证明。
在第2节中，我们描述了我们的问题的离散重述，并使用这种方法，在第3节中，我们给出了的一个上界。这个上界是一个三次方程的解； 它的值约为0.272。最后一节给出了本文的主要结果，其中我们证明了 的一个下界。这个下界大约是0.263。它也是一个三次方程的解。
补充证明： 在最近的一篇论文[2]中，作者成功地将上界降低为0.271，从而证明了本论文在早期版本中的一个猜想。
符号和约定：在本文中，假设每个集合都是可测量的。 给定一个集合Ssub;R和一个常数，我们用表示集合，用表示集合。
所有的区间都被认为是开集。对于区间，我们将使用符号表示其长度，使用表示中的一个子集的相对测度值：
最后，我们用表示点的邻域。
1.来从Schweitzer竞赛的问题的解决方案
引理1 声明 是正确的。
证明 我们给出了一个非平凡的，我们正在寻找一个1/4的例外点。设是的密度点，是的补集的密度点。为了不失一般性，我们可以假设一个和。 用截取的集合和令表示。然后函数
当线性趋于无穷，它的导数在0时为负，在1时为正。这意味着在区间内部的一个点处有一个全局最小值。现在，给定 ，我们有了
(1.1)
我们也可以类似地说明
当时，集合和在附近重合，因此也是的1/4-例外点。这证明了是成立的.
这个证明似乎不容易被改进，因此，似乎很自然地猜想。因此，我们非常惊讶地发现，事实并非如此。为了解释这一现象背后的原因，我们首先以离散的形式重构该问题。
2.问题的离散化
基于Mikloacute;s Laczkovich的思想，我们制定了我们的问题的一个离散变体，它被证明与原来的等价。
给定一个有限的、递增的正实数序列，
我们称区间的并集
为一个构造， 把序列的元素（包括0） 是的顶点。我们将对集合在以其顶点为中心的区间中的相对度量感兴趣。
对于C的每个顶点v，
（1） 函数在上是连续的。
（2）对于，， 其中是定义的
序列中相邻元素之间的最短距离，
（3）
这些证明很简单，而且将被省略。
给定 ，，引入该语句
：每个构造都有一个顶点v，对于所有的有
。
让我们也写下 的对立面：
：存在一个构造，对于的每个顶点，都有一个正半径满足
。
再次，意味着如果则
命题3 常数和相等。
证明 首先我们表明，如果 是错误的 ，那么就是对于任何，也是如此。假设是的一个反例。在命题1的证明的开始处使用截止构造，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设和。然后，对于封闭区间[0,1]中的每一个x，都存在一个半径alpha;(x)，使得。
以增加为代价，可以对 设置一个统一的下界如下。设。检查很容易我们有 。
由于[0,1]是紧密的，因此有一个有限的子集Fsub;[0,1]，使区间，xisin;F覆盖[0,1] 。令 ，我们可以得出这样的结论： 对于每个yisin;[0,1]，都有一个 xisin;[0,1]，即 和
(2.1)
最后，通过用区间的有限并集来近似，我们可以找到一个构造，使得对于任何区间我们有
. （2..2）
应用(2. 1)和(2.2)对于C的每个顶点的，很容易验证提供了一个针对的反例。因此，我们证明了对的反例导致了对任何的反例,这意味着。
现在我们证明了相反的不等式。假设构造是 的一个反例。这意味着对于的每个顶点都有一个半径 ，使得
。
在不失一般性的情况下，我们可以假设，让 。
令，，对于，设，并定义一个有限不相交并集序列,通过推导：
。
注意。
现在我们表明对于任何，可以选择一个足够小的，使得是 的一个反例。这将要求我们以某些为中心的区间内估计集合的相对度量。
显然，当是的边界点时，只要考虑这个情况就足够了。然后将几何数列相加，我们得到了这个不等式
其中是最接近的点。
由于是的反例，有一个半径 这样就可以
或 (2.4)
同时，利用，我们得到了估计
其中是的顶点数量。现在我们将转移到，并取代，我们得到
或者 。
独立于，有
由于，因为 ，这意味着 。最后，我们观察到时，因此 我们可以得出结论，，这样就完成了证明。
3.上界
本文的主要目的是对在第0节中介绍的这个常数给出精确的估计。到目前为止，我们已经看到了（命题1） ，我们可以用一个更容易获得的常数来代替（命题 3）。
下面的声明为提供了一个上界。
命题4 如果，那么就有一个关于的反例。
备注3.1这就提供了的约束。
证明 我们首先定义一个构造，它依赖于两个实参数和一个较大的整数，然后我们调整这些参数，使是 的反例，且尽可能的小。所以令
其中，代表实数y的分数部分。在区间 外，该构造由个长度为的区间组成，位于中 。(见图1).
现在我们假设和，这意味着。因此，位于图中所示的曲线四边形Q中。让我们整理出以下表格这种构造的最佳半径（请参见表1） 。
第一列列出了的顶点，第二列是为每个顶点选择的半径，最后一列包含相应的相对度量乘以2。表1的第三行表示C (m，s，N)的最后一个顶点，当它接近于1；在这个极限中也给出了相应的相对度量。与第二行和第四行对应的区间在图1上做了标记。
图1.的反例。
图2.在平面上的四边形。
由于我们对和的假设，除了最右边的顶点外，所有的点都给出了相对度量，因此我们需要最小化最大的量
对于
一个快速的计算表明，对于，我们有，因此，我们可以忽略表中的第一项。
很容易验证最佳构造(在N→infin;时的极限)实现
（3.1）
事实上，这足以检查对于，这里出现的函数的3个梯度向量是共线的，然后计算的边界上的值。相应的最优点在图上用一个黑点标记。
从(3.1)消除我们获得
这很快就引出了这个等式
对于参数，它表示相对度量。这样就完成了证明。
4.主要的结果：下限
命题1的一个相当“自然”的证明似乎表明。然而，在本节中，我们将证明。
定理5 如果为则为真
备注4.1 这句话给了我们下界。
证明：证明的结构如下。
假设在某些的情况下不成立，设是的反例 中最小的区间数；令
成为这样一个最小的反例。在证明的过程中，我们提出了两个关于这种最小构造的“解剖学”的陈述：命题7和命题12。这两个陈述都是通过论证，如果它们不是真的，我们就可以用小于个区间构造一个的反例。这两个语句为我们提供了与相关的某一特征区间的长度依赖的上界和下界，由此产生的只涉及的不等式证明了定理5中的不等式。
请注意，根据引理2，该集合
对于的每个顶点来讲都是非空且有界的。
用表示的半径。注意：
。
如果，我们将称顶点为黑色，而如果，我们将称其为白色。我们用表示黑色顶点集，用.表示白色顶点集。请注意， 0是一个黑色的顶点，而1是一个白色的顶点。
对于，用表示周围对称区间的最大半径，在这个区间里，的相对测度是最大的。因此，我们有
同样，对于，我们用表示其周围对称区间的最大半径，其中的相对度量是最小的。
用表示区间的长度之和：
（1）对于， 我们有.
（2）对于,的端点是的连接分量的端点。 此外，至少有一个端点不属于C。
（3）对于， 至少有一个区间的端点不属于C。
现在我们已经准备好证明我们关于反例C的构造的第一个声明。
命题7 如果是一个黑色的顶点，则可以是或。同样地，对于，那么我们有或。
证明 采用反证法，假设与该命题的陈述相反，存在一个，使。然后根据引理6(3)，我们必须有
，
对于一些。这意味着构造的顶点
形成顶点的一个子集，并且包含小于r个区间。
现在我们证明了是的一个反例。对于的每个顶点v，我们找到半径，对于
我们选择
第一种情况是很明显的；在第二种情况下，要验证(4.1)，我们需要证明
(4.2)
根据 的定义，我们有.作为
，由此可以得出 ，因此我们有
这个不平等显然意味着(4.2).
因此，我们证明了,一个比C区间数还少的构造，是 的反例，这与我们对的假设相矛盾。这就完成了对该命题的第一句话的证明。第二句话也得到了类似的证明。我们可以把集合分成两组： 在第一组中，我们收集满足的黑色顶点；第二组将包含的顶点。
在这种情况下，根据命题7。这第二组总是非空的，因为它包含0。为第二组的最大顶点引入特殊符号
也让
我们将把区间称为的特征区间。
备注4.2 请注意，对于第3节中的构造，我们有，而是最后一个顶点：。
我们可以从命题7中推导出一些重要的不等式。
事实上，由于，根据命题7，我们有。由于，这意味着不等式，它可以明确地写为
类似地，不等式 导致
.
在重新排列这两个不等式中的项后，可以得出
推论8 我们有
和 （4.3）
其中，。
现在，我们将(4.3)中的两个不等式相加，我们得到
推论9 以下是长度为的的下界：
. （4.4）
现在我们来谈谈我们的证明的第二部分。同样，我们从一些符号开始。令
表示
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