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附录 A 译文
振动和波
周期性运动，从弹簧上的质量到原子的振动，是最重要的物理行为之一。在这一章中我们更详细地研究了胡克定律，其中力与位移成正比，趋向于将物体恢复到某种平衡位置。用这种简单的思想可以成功地对大量的物理系统进行建模，包括弦的振动、摆的摆动、各种波的传播等。所有这些物理现象都涉及周期性运动。
周期性振动会引起扰动以波的形式通过介质。自然界中存在多种波，如声波、水波、地震波、电磁波等。这些迥然不同的物理现象是用这里介绍的常用术语和概念来描述的。
13.1胡克定律
一种最简单的振动类型是附在弹簧上的物体的振动，以前在第5章的能量中讨论过。 我们假设物体在无摩擦的水平表面上运动。 如果弹簧从其未拉伸或平衡位置拉伸或压缩一小段距离x，然后释放后则它对物体施加力，如图13.1所示（第438页）。 通过实验，发现弹簧力服从方程
[13.1]
其中x是物体从平衡位置(x=0)的位移，k是一个称为弹簧常数的正常数。这个关于弹簧的定律是由罗伯特·胡克在1678年发现，被称为胡克定律。值k是弹簧的劲度系数。硬弹簧的k值大，软弹簧的k值小。
方程13.1中的负号表示弹簧所施加的力总是与物体的位移方向相反。当物体在平衡位置的右侧时，如活动图13.1 a所示，x为正，为负。这意味着力是在负的方向上，在左边。当物体在平衡位置的左边时，如活动图13.1 c中，x为负，为正，表示力的方向在右边。当然，当x=0时，如活动图13.1 b中，弹簧未拉伸。由于弹簧力总是作用于平衡位置，所以它有时被称为恢复力。恢复力总是推动或拉动物体朝向平衡位置。
假设对象最初被拉到右边一个距离A，并从休息中释放弹簧对物体施加的力将其拉回平衡位置。当物体向x=0移动时，力的大小减小（因为x减小），并且在x=0处达到零。然而，当物体向平衡位置移动时,速度会增加，在x=0时达到最大速度。物体获得的动量使它超过平衡位置并压缩弹簧。当物体向平衡位置的左侧移动（负x值）时，弹簧力作用于其右侧，强度稳步增加，物体的速度减小。该物体最终在x=-A短暂静止，然后加速回到x=0，并最终回到x=A的原始位置。然后重复这个过程，这个物体继续在同一路径上来回振荡。这种类型的运动称为简谐运动。简谐运动发生时，沿运动方向的合力服从胡克定律，即合力与从平衡点出发的位移成比例并且总是指向平衡点。
并非同一路径上的所有周期运动都可以归类为简谐运动。 一个球在父母和孩子之间来回移动，但运动不是简单的简谐运动，因为作用在球上的力并没有采取胡克定律的形式，方程13.1。
悬挂在垂直弹簧上的物体的运动也是简谐的。 在这种情况下，重力作用在附加物体上，使弹簧伸展，直到达到平衡，物体在静止时悬浮。 由定义可知，物体的平衡位置为x=0。 当物体被距离x移离平衡位置并释放时，弹簧力作用于平衡位置。 因为弹簧力与x成正比，所以是简谐运动。
以下三个概念在讨论任何类型的周期运动时都很重要：
■振幅A是物体与其平衡位置的最大距离。在没有摩擦的情况下，处于简单简谐运动的物体在位置x=-A和x= A之间振荡。
■ 周期T是指该物体通过一个完整的运动周期，物体从x=A到x=-A再回到x=A，移动所需要的时间。
■ 频率f是每单位时间的完整周期或振动的次数，并且是该周期的倒数。（f=1/T）
做简谐运动的物体的加速度可以用牛顿第二定律方程中的胡克定律求得。 就这样
[13.2]
方程13.2，谐振子方程的一个例子，给出了加速度和位置的函数。 因为x的最大值被定义为振幅A，所以加速度范围在-k A/m到 k A/m之间。在下一节中，我们将找到速度作为位置的函程和位置作为时间的函数的方程。满足胡克定律的弹簧也被称为理想弹簧。在实际弹簧中，弹簧质量、内摩擦和弹性的变化会影响力定律和运动。
快速问答
13.1水平弹簧末端的一个物块从平衡处x=0到x=A时被拉出并释放。 在一个完整的运动周期中，它走过的总距离是多少? (a) A/2 (b) A (c) 2 A (d) 4 A
13.2对于简谐振荡器，下列哪一对矢量量不能同时指向同一方向？ （位置向量是平衡位移。） (a)位置和速度 (b)速度和加速度 (c)位置和加速度
示例13.1在无摩擦表面上的简谐运动
目标 计算水平弹簧系统的力和加速度
习题 一个重量为0.35千克的物体附着在力常数为1.30*10^2 N/m的弹簧上，可以在无摩擦的水平面上自由运动，如图13.1。如果物体在x=0.100 m静止释放，找到在x=0.100 m、x=0.0500 m、x=0 m、x=-0.00500 m和x=-0.100 m位置时的力和加速度。
方法 将给定的量代入胡克定律以求力，然后用牛顿第二定律计算加速度。 振幅A与静止释放点相同，x=0.100 m。
答案
写出胡克定律：
提换k的值，取x=A=0.100 m，发现此时的弹簧力：
求解牛顿第二定律，代替x=A的加速度：
对其他四个位置重复相同的过程，组装一个表：
注意由上表可知，初始位置减半时，力和加速度也减半。此外，x的值为正值时力和加速度为负值，而x为负值时力和加速度为正值。当物体向左移动并通过平衡点时，弹簧力变为正(此时x为负值)，使物体减速。
问题13.1 将给定的位移加倍是否会导致弹簧力的加倍？请解释一下。
练习13.1 对于同一弹簧和质量系统，查找物体加速度为 9.00 m/s^2时弹簧施加的力的大小和位置x。
答案 3.15 N，-2.24厘米
例子13.2 垂直弹簧上的质量
目标 将牛顿第二定律与重力和胡克定律一起应用
问题 弹簧垂直悬挂(13.2 a)，然后将下端的质量为m的物体慢慢降低到平衡点(例图13.2 b)。(a)如果弹簧移位2.0厘米，且质量为0.55千克，则求出弹簧常数的值。（b）如果第二个相同的弹簧与第一个弹簧平行连接在物体上(例图13.2d)，系统的新平衡点在哪里？ (c)两个弹簧作用于一体的有效弹簧常数是多少？
方法 这个例子是牛顿第二定律的一个应用。弹簧力向上，系统平衡时重力mg。（见图所示 13.2 c)由于悬浮物体处于平衡状态，物体上的力和为零，可以求解弹簧常数k。部分(b)的求解方法相同，但有两个弹簧力平衡重力力。弹簧常数是已知的，因此可以解决弹簧的位移的平衡第二定律。第(c)部分涉及使用第(b)部分中发现的位移。第二定律将两个弹簧当作一个等效的弹簧，从而得到双弹簧系统的有效弹簧常数。
答案
(a)如果弹簧位移了2.0 cm，且物体的质量为0.55 kg，则查找弹簧常数的值。将牛顿第二定律应用于对象（带入a=0），并求解弹簧常数k：
(b)如果第二个相同的弹簧与第一个弹簧平行连接到物体上（如图13.2d)，找到系统的新的平衡点。
应用牛顿第二定律，但有两个弹簧作用于物体：
解决问题：
(c)当两个弹簧合二为一时，有效弹簧常数是多少？
写出系统的第二定律和有效的弹簧常数：
计算：
注意 在本例中，弹簧力是正的，因为它是向上。一旦物体从平衡位置移动并被释放，它就会围绕着平衡位置振荡，就像水平弹簧一样。请注意，平行附加一个额外相同的弹簧相当于有一个具有两倍力常数的弹簧。然而，当弹簧一根接一根地串联起来时，这个练习表明，在其他条件相同的情况下，较长的弹簧的力常数要小于较短的弹簧。
问题13.2 归纳：当两个力常数和的弹簧平行作用于一个物体时,单个弹簧的弹簧常数是否等于、两个弹簧?
练习13.2 当一个75.0公斤的人慢慢地把他的重量加到一个附着在天花板上的垂直弹簧上时，当弹簧被拉伸6.50厘米时，他就达到了平衡。(a)求弹簧常数。(b)如果第二个弹簧挂在第一个弹簧上，而这个人又把他的重量加到这个系统上，那么弹簧系统的弹性是多少？(c)单个等效弹簧的弹簧常数是多少？
答案 (a)(b)13.0 cm(c)
13.2 弹性势能
在本节中，我们回顾第5章第4节中所述的材料。
交互对象的系统具有与系统配置相关的势能。压缩弹簧具有势能，当允许反弹时，它可以对物体做功，将弹簧势能转化为物体的动能。作为一个例子，图13.3显示了弹簧玩具枪投射的球，弹簧压缩距离x。当枪开火时，压缩弹簧确实对球做功，并赋予它动能。
回想一下，储存在拉伸或压缩弹簧或其他弹性材料中的能量被称为弹性势能，，公式
[13.3]
还请记住，能量守恒定律，包括引力势能和弹簧势能，是由
[13.4]
如果存在摩擦是非保守力，那么机械能的变化必须等于非保守力的工作：
[13.5]
对于涉及力矩的系统，转动动能必须包括在方程13.4和方程13.5中。
作为当系统中包含弹簧时发生的能量转换的一个例子，请考虑图13.4（第442页）。质量m在一定速度在无摩擦水平面上滑动，并与弹簧发生碰撞。假设弹簧很轻（理想弹簧），因此动能可以忽略不计，从而大大简化了下面的描述。 当弹簧被压缩时，它对物块施加一个向左的力。在压缩到最大时，物块只需停留片刻(如图13.4 c)。碰撞前系统（物块加弹簧）的初始总能量是物块的动能。物块与弹簧碰撞且压缩部分弹簧后，如图13.4 b所示，物块具有动能（其中lt;）和弹簧具有势能。当物块在最大压缩点停止片刻时，动能为零。由于弹簧力是保守的，而且没有外力可以对系统起作用，因此由物块和弹簧组成的系统的机械能保持不变。能量从方块的动能转化为储存在弹簧中的势能。随着弹簧的反弹，物块向相反的方向移动，并恢复其所有的初始动能，如图13.4 d所示。
当弓箭手拉弓弦时，弹性势能被储存在弯曲的弓和拉伸的弓弦中(如图13.5)。当箭释放时，系统中储存的势能转化为箭的动能。弩和弹弓等器械的工作方式相同。
快速测试
13.3在简谐运动中运动的物体处于从平衡的最大位移时，下列哪一项最大？ (a)速度(b)加速度或(c)动能
■示例13.3 停下那辆车吧！
目标 应用能量守恒和弹簧和重力势能的功能定理。
问题 一辆静止的13000 N的汽车在从10.0米的高度的小山坡上开始向下运动(如图13.6)。然后，它穿过一个水平表面，与一个轻弹簧载护栏碰撞。(a)忽略摩擦造成的任何损失，忽略车轮的转动动能，求出弹簧被压缩的最大距离。 假设弹簧常数为。(b)假设没有摩擦损失，计算汽车与弹簧接触后的最大加速度。 (c)如果弹簧仅被压缩0.30米，则找出摩擦引起的机械能的变化。
方法 由于忽略了摩擦损失，所以利用方程13.4形式的能量守恒来解决(a)中的弹簧位移。汽车动能的初始和最终值为零，因此汽车-弹簧-地球系统的初始势能在运动结束时完全转换为弹簧的弹性势能。(b)应用牛顿第二定律，因为压缩最大值时将得到最大加速度，用(a)的答案代替x。(c)摩擦不再被忽视，所以使用功能定理，方程13.5。机械能的变化必须等于由于摩擦而损失的机械能。
答案
（a）假设没有摩擦造成的能量损失，找出弹簧的最大压缩量。
应用机械能守恒。 最初，只有重力势能，在护栏的最大压缩时，只有弹簧弹性势能。
求解x:
（b）用弹簧计算汽车的最大加速度，忽略摩擦。
将牛顿第二定律适用于汽车：
带入值:
（c）如果护栏的压缩量仅为0.30米，则摩擦引起的机械能的变化。
使用功能定理：
注意 第(B)部分的答案大约是重力加速度的40倍，所以我们最好系安全带。 请注意，解决方案不需要计算汽车的速度。
问题13.3 对或假：在没有摩擦造成的能量损失的情况下，山的高度会使弹簧提供的最大加速度翻倍。
练习13.3 一把装有弹簧的枪沿着桌面发射0.100公斤的冰球。冰球滑上一个弯曲的斜坡，然后笔直地飞向空中。如果弹簧偏离平衡位置12.0 cm，弹簧常数为875 N/m，冰球上升有多高，忽略摩擦？(b)如果它由于摩擦而上升到5.00 m的高度，那么机械能发生的变化是什么？
答案 （a）6.43 m (b)-1.40 J
答案 除了研究前面的例子外，更好的办法是回顾第5.4节中给出的例子。
速度作为位置的函数
能量守恒定律提供了一种简单的方法，可以推导出进行周期运动的物体的速度随位置的函数的表达式。所述对象最初处于其最大扩展A(如图13.7 a在第444页)，然后由静止释放。 系统的初始能量完全是储存在弹簧中的弹性势能，.当物体向原点移动到某个新位置x时(例图13.7 b)，将这部分能量转化为动能，储存在弹簧中的势能减少到。 因为系统的总能量等于(弹簧储存的初始能量）我们可以将这个量等同于位置x处的动能和势能之和:
求解速度v，我们就得到了
[13.6]
这个表达式表明，物体的速度在x=0处是最大的，在极端位置x=A处是零。
方程式13.6的右侧前面有plusmn;号，因为数字的平方根可以是正数或负数。如果图13.7中的对象向右移动，则v为正数；如果对象向左移动，则v为负数。
■示例13.4
目标 应用时间无关的速度表达式，方程13.6，应用于
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