数学软件在数学教学中的应用外文翻译资料

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数学软件在数学教学中的应用

摘 要

计算机代数系统(CAS)，如Mathematica、Maple、MuPAD、MathCAD、Derive、Maxima，有可能促进积极的学习方法，使学生参与发现和巩固自己的知识，从而发展概念和几何理解，以及更深入的学习方法。 这种数学工具的出现及其处理大多数本科数学的能力是数学教育者不可忽视的。 在印度，计算机代数系统在数学教学中的应用还处于起步阶段。

本文的主要思想是介绍计算机代数系统及其在数学教学中的优缺点。我们包括我们在印度孟买大学的实验和经验，在那里尝试在研究生数学课程的最后一年包括基于CAS的实践。 然而，这个实验并没有真正起作用。

我们看看这个实验不起作用的一些原因，以及我们从这个实验中吸取的教训。我们还提到了在数学教学中部署CAS面临的一些挑战，以及在印度为克服这些挑战而采取的一些步骤。 我们的一些经验也可能对来自其他发展中国家的数学教育工作者有用，这些国家缺乏实施这些想法所需的基础设施和技术专门知识。

我们相信，数学教学可以使更有趣，创造性和探索性使用CAS。我们包括一个使用MuPADPro开发的小模块，以支持我们的索赔。 教师的作用对于有效利用可用的数学工具是非常重要的。

1. 导言

今天从事数学教育工作的人很少会不知道近年来用于数学教学、学习和研究的计算机技术的发展。 数学计算技术已经从四功能计算器发展到科学计算器，再到图形计算器，现在又发展到计算机代数系统软件计算机。 在教育中使用CAS仍然相对罕见，但越来越多的研究和兴趣表明，它的推广使用迫在眉睫。

许多数学概念的基本概念和证明涉及困难和抽象的想法，给许多学生带来了巨大的障碍。 计算机代数系统提供了一个机会和挑战，以提出新的方法，以帮助学生和教师更好地理解这些概念。 它们可以用来改变数学概念的学习和教学的重点，从技术和常规的符号操作转向更高层次的认知技能， 这些技能侧重于概念和问题解决。 深度学习和概念理解的两个关键指标是将在一项任务中学到的知识转移到另一项任务中的能力和在数学对象的不同表示之间移动的能力。 计算机代数系统是多个表示系统，它们能够促进大多数数学概念的图形、代数和数值方法。 大多数CAS还提供了一种高级编程语言，帮助用户准备自己的一套库文件，以满足他们的需要。 因此，CAS 允许学习者发现规则，制作和测试猜想，并利用视觉、符号和计算方法的混合，探索函数的不同表示与其他数学对象之间的关系。学生享受计算机代数的力量和多功能性，并被鼓励成为反思性、深度学习者。

虽然许多国家在教学和学习数学中使用CAS在大学一级产生了重大影响，但在印度，这些技术的进展和认识确实非常缓慢。 大多数情况下， 它被限制在研究人员和少数大学和学院教师在成熟的研究机构，IIT的和大学 部门。 在本文中，我们将研究使用这些工具在本科和研究生水平的数学教学中的优缺点。 我们还研究了在印度使用这些工具的一些挑战和障碍以及如何使用这些工具

来克服它们。 我们在孟买的一章中介绍了这些技术的使用情况，试图在研究生阶段部分实施这些工具。 然而，由于几个障碍，这并没有真正产生影响。

2.历史视角

计算机代数系统开始出现于20世纪70年代初，并从人工智能的研究发展而来。 开创性的工作是由诺贝尔奖获得者马丁·维尔特曼主持的，他在1963 年设计了一个符号数学，特别是高能物理的程序。 第一个流行的系统是Reduce、Derive和Macsyma，它们仍然在商业上可用。 一个名为Maxima的免费Macsyma 版本正在积极维护中。 目 前 的 市 场 领 导 者 是 Maple 、Mathematica、MatLab、SciLab和MuPAD。 这些是数学家、科学家和工程师常用的。 一些计算机代数系统侧重于特定的应用领域；这些系统通常是在学术界开发的，是免费的。

这是一些最流行的免费和商业数学软件的列表。 有关这些信息的更多信息可在各自的网站上找到。

这里star（*）的是商业软件，剩下的是免费软件。 请注意，上面的列表仍然不完整，可能还有更多的数学软件。

3. 介绍CAS

计算机代数系统(CAS)是一种特殊的数学应用程序，为用户提供了 用计算机进行符号、代数和图形操作的手段。 这意味着，计算机代数系统不仅可以用数字计数，还可以操纵符号，并在可能的情况 下准确地进行复杂的计算。 这些系统大致可分为两大类：专用系统和通用系统。 特殊目的系统通常处理数学的某些专门分支， 即。 微分方程的动力学求解器，代数和代数几何的奇异，代数数论的KASH ， 群论的间隙， 数论的岩浆， 交换代数/ 代数几何的CoCoA，澳门2，数值计算的八度等。 另一方面，通用系统通常试图覆盖尽可能多的数学领域。 这种通用性使得通用系统在大多数情况下非常适合于开放学习环境。

大多数CAS允许用户编写复杂的顺序程序

任务，并具有高级编程语言的所有特性。 CAS还具有二维和三维图、数值计算和动画可视化的大多数数值系统的特点。 因此，它是一个理想的工具，以指导学习的多连锁表示的数学概念。 通过精心设计的活动，学生可以调查物体不同表示之间的联系，认识它 们的共同性质，并开始建构它们的数学知识的个人结构。 学生活动的设计必须考虑到非常详细的认知步骤。 通常需要适当的教师干预，以确保学生遵循所需的学习阶段，特别是反思性思维。

一个典型的学生解决问题的方法是找到一个合适的工作实例来模拟，然后进行计算。 显然，这种策略受到学生类似问题记忆库的范围的限制，并抑制了灵活的思维。 更好的方法是考虑替代品、实验、猜想和测试，然后分析结果。 计算机代数系统可以成为开发学习数学的探索性方法的一个主要因素，特别是从多个代表 性的角度研究问题。 利用CAS生成图形进行微积分操作或进行重复计算，可以鼓励学生制作和测试猜想，考虑替代 解决方案和解决开放式问题。 消除操作和计算的负担可以让学生花更多的时间在这些其他活动上。 这种方法可以使数学的学习更愉快，更相关，更有回报。 目前，他们的大部分时间都花在练习常规技能上。 也许，学生们把数学看作是公式的集合（要记住），而做数学就是计算，这并不奇怪。 如果在计算机上进行更多的常规计算，则有更多的时间集中在概念、动机、应用和调查上。

有了传统的本科课程，学生往往不会把自己视为数学探索的积极参与 者。 相反，它们是一系列知识的被动接受者，包括定义、规则和算法。 计算机提供了一些教学优势，可以用来促进更积极的学习方法。 学生可以参与发现和理解过程，不再把数学看作是简单的接收和记住算法和公式。 计算机代数的能力超越了常规计算。 它有可能促进积极的学习方法，让学生参与发现和构建自己的知识，从而发展概念理解和更深入的学习方法。

我们包括一个使用MuPADPro3.1的样本输出，它解释了拉格朗日乘子的几何意义来求解约束优化问题。

例1。 使用拉格朗日乘子的方法来最大化/最小化

y-x2 被注射到y身上2 x2 = 2

为了方便起见，让f(x，y)=y-x2 和g(x，y)=2x2 2 – 2. 几何上，上述问题的最大/最小值发生在f(x，y)=y-x的梯度2 以及g(x，y)=2x的梯度2

2 –2是平行的。 这与f和b的水平曲线在这些点上有公共切线相同。

使用MuPAD动画，我们可以显示椭圆g(x，y)=0上有四个点，在这些点上 发生了这情况。

gt;gt;f：=(x，y)-gt;y-x^2//来定义函数f；

gt;gt;g：=(x，y)-gt;2*x^2 y^2-2/来定义函数g

gt;gt;pf：=plot：：Implicit2d(f(x，y)=c，x=-5..5，y=-5..5，

c=-3..3，Color=RGB：：Red，Frames=100，LineWidth=0.5)

gt;gt;pg：=plot：：Implicit2d(g(x，y)=0，x=-3..3，y=-3..3， Color=RGB：：Blue，Line宽度=0.75)

gt;gt;地块(PF，PG，缩放=约束)；

输出如下图所示

当我们动画图形时，我们看到有四个点，其中f和g的水平曲线有公共切线。 如下图所示。

第3.3gt;gt;plot(plot：：Implicit2d(f(x，y)=c/5，x=-3..3，y=-，颜色

=RGB：红色，Line宽度=0.5，

可见=c)c后=-15.15，PG，缩放=约束)

现在我们可以在水平曲线f和g有公共切线的点处绘制梯度(使用MuPAD。 看看下面的图。 我们正在抑制产生这个数字的MuPAD代码。

解决上述问题的所有步骤都可以使用MuPAD执行，可以证明有四个点，其 中梯度f和g平行。 我们不包括上述问题的解析解的MuPAD代码，因为我们想找出问题背后的几何。

4.使用CAS的优点

1.有助于发展视觉/几何理解。

2.化学文摘社有助于提高学生的知识价值和兴趣程度。

3.可以探索概念之前，“手技能”这样做是可用的。

4.能探索现实问题。

5.化学文摘社有助于提高学生的动机，提高学生对数学的态度。

6.由于这些工具的潜在交互性，学生能够在数学问题解决中获得更高层次的抽象，这显然代表了一项重要的教学成就。

7.让学生集中精力进行问题的制定和解决方案的分析。

8.容易给出数学演示和先进的数学思想可以非常容易和具体地介绍。

9.了解一些编程语言(C、C 、Pascal、Fortran)的用户具有更大的优势，可以准备适合他们需要的自己的库函数。

10.它将帮助教师开发创新、具有挑战性和

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