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AA-和ABC-堆叠石墨的电磁性质
摘要：AA-和ABC-堆叠的石墨的磁电性质强烈的依赖于界层的相互作用，磁场力和堆叠顺序，我们通过紧束缚方法来研究。首先，界层的相互作用导致能量的色散，费密能级的能带对称性，导带与价带相交叠，能带宽度和能带边缘的状态或对称点的变化。然后磁场导致了布洛赫函数中的Peierls相变并强烈的影响了朗道能级中能量色散、子带间距、能量宽度和特殊结构的态密度（DOS）。最后，堆叠顺序控制着低能带的交叠和各向异性的能带。所有提到的影响都被态密度确切的反应出来。在这里态密度展现出三维、二维和一维的特性。
1引言
石墨是一种非常重要的层系统，吸引了很多理论解释和实验研究。共有四种结构层次的石墨结构分为：简单六方堆积石墨（AA-堆积）、Bernal石墨（AB-堆积）、斜六方堆积石墨（ABC-堆积）和乱层石墨（没有次序的堆叠）。AB-堆叠是最常见的石墨层堆结构。在自然和人工合成的石墨中都发现混有不同数量的ABC-堆叠的石墨，例如，在磁特性试验中混合石墨样本中有超过40%体积分数的斜六方堆积石墨的相。再如：“Li石墨嵌合物”可能表现为AA-堆积顺序，涡轮式成层石墨可能存在于失败的石墨样品中。最近，有AA-和ABC-堆叠结构的石墨表面具有超晶格形式表现的报道。并且由于生产工艺的进步单层、双层和三层石墨被生产出来。像纯二维结构中就发现了有趣的物理特性。比如奇特的量子隧穿效应。所有关于AB-堆叠和ABC-堆叠石墨和石墨烯堆叠的这些同素异形体的研究从理论上表明堆叠结构影响电子能态和朗道能级这些物理特性。在此次的研究中我们的主要重点是AA-和ABC-堆叠石墨的磁电特性上。
单层的石墨有着六方对称结构。因此由于2PZ轨道的低能的pi;电子结构展现出特殊的零隙特性。线性传导和价带仅在费米能级上相交致使态密度在EF上为零。单层石墨上没有自由的载流子。在层结构中的石墨层与层之间存在着范德瓦尔斯相互作用。在pi;电子特性中，夹层的原子与原子间的相互作用起到了重要的影响，比如能量色散，自由载流子和带宽。AA-和ABC-堆叠石墨的不同也是pi;电子的特性导致。
一些研究报道了单层石墨和AB-堆叠石墨的磁电特性。当石墨系统在匀强磁场中沿着Z轴方向的磁通量会导致哈密顿算符的Peierls相变。这个相变极大的调整了pi;电子的结构。先前的研究预言了有朗道能级的震荡和朗道能级的完整平或部分平。朗道能级进一步表现了光学的特性，例如：特殊的发散结构具有许多显著的吸收峰。比较单层和AB-堆积结构石墨会发现夹层之间的相互作用不仅仅提高了沿着堆叠方向的各项向异性的能量色散，也有在石墨平面上的磁电特性上的重要影响，例如：改变了朗道能级的特征、朗道次能带的振动周期和能态密度特征。因此期待夹层间的相互作用有非常强烈的影响在AA-和ABC-堆叠结构的石墨磁电特性上。
使用紧束缚模型来预估AA-或ABC-堆叠石墨在匀强磁场中的电子结构，能够计算出依赖波矢能带、蝴蝶状能谱和能态密度。此外我们讨论了电学性质、能量色散、带宽、费米能级的能带系统、自由载流、波矢能量空间的特殊点、朗道能级或朗道能级的振荡和态密度系统中的特殊结构，研究电学性质依赖于夹层间相互作用、磁场和堆叠顺序的一些细节。更重要的是，我们比较了几种同素异形体石墨的电学性质，比如AA-、AB-和ABC-堆叠石墨以及单层石墨。这份工作正在有组织的进行，在第二节，用紧束缚模型来计算能带。第三节讨论磁电性质，在第四节给出结论。最后通过使用光谱和STM来检验所得结论。
2 紧束缚方法
单层石墨有六边形碳环组成。层状石墨由完全同样的石墨沿Z轴方向周期性排列。此次的研究，我们主要的注意力是在AA-和ABC-两种堆叠顺序上。如图一所示，AA-堆叠石墨在每一层的碳原子上都有相同（x,y）坐标位置.,,分别的周期长度为=a=2.42A，==2.13A,=c=3.35A.一个原胞中包含有2个碳原子（A和B），第一布里渊区的三维六方结构具有对称性的点Г（0,0,0），M(,，0),K(,0,0),A(0,0，)，L(，，)，H(,0,)已经标示在图3a上了
使用紧束缚模型来计算AA-堆叠石墨的pi;电子结构，布洛赫公式为
是三维结构中的方位矢量，()是单位方位矢量。考虑两种原子与原子的相互作用。首先，相同原子相互作用的势能对于AA-堆叠石墨系统设为0。然后不同原子的相互作用相当于原子的的跳跃积分，是两个来自于相邻层的A原子的相互作用。代表来自于相同层的A原子与B原子的跳跃积分。其数据为=2.569eV,=0.361eV,=0.013eV,=-0.032eV.两个紧束缚波函数和建立在子空间跨度的哈密顿量给出
是磁通量。beta;=2cos(c,),f(,)= 2cos(b/2).方程的特征值级能量色散为
不考虑夹层的相互作用（）即为单层石墨的色散
AA-堆叠的石墨在垂直的匀强磁场下表现为周期的平面。磁场将会导致布洛赫函数中的Peierlrsquo;s相变，表示为
矢势在朗道标准被选为A=（-，0,0）。磁通量穿过一个六边形被假定为，q是一个非零整数，是磁通量量子为=7.89*T,磁通量导致方程里紧束缚函数新的频率随着q的时间周期变化。一个原胞单元中包含着2q碳原子其中q在石墨表面上沿着z轴呈z状。当第一布里渊区沿着轴在没有时减小至便从六边形结构变成了orthohomic结构。具有对称性的点分别为（0,0,0），(,0,0),M(,0,),Y（0，，0）.根据2q的紧束缚方程，依赖于的AA-堆叠石墨的哈密顿矩阵为
其中或是2*2矩阵。m=1,2,3...q标志第m个之线。周期性边界条件包含在方程（7）中。通过第m个之线上来自不同层的A原子或B原子（或两个A原子）的两个布洛赫函数相联系的2*2的
在试模的每一层的每一段q的中心被设为原点[q]=（q 1）/2.对角线上的元素和是两具有相同（x，y）坐标的相联系的原子。所以它们没有磁通量，是两个完全同样的原子。Peierlrsquo;s相变导致磁场通过六边形磁通变为一半的在方程中被反映为非对角元素和。特别的，磁场改变相从变为[-pi;（m-[q]）]。矩阵来自相邻之字线的两个原子。对角和非对角矩阵元素,,都消去了只剩下和原子的相互作用非零矩阵元素即
方程[7]~[9]描述的是没有夹层间的相互作用且在垂直磁场下的单层石墨的磁电特性。
ABC-堆叠石墨的集合结构如图2所示。原子的一半直接在邻层原子的下方与此同时是在六边形环的中心。这样的结构由每一个第三层的六边形结构滑过来。周期长度和分别为=2.42A，==2.13A同AA-堆叠结构一样。然而的周期长度等同于3c为10.05A。一个原胞包含有6个原子。对称点是（0,0,0），M(,，0)，K(,0,0),A(0,0,),L(,,)和H（，0，）。
紧束缚模型也被用来预估ABC-堆叠石墨的磁电性质。势能是零并且随着原子beta;的跳跃积分。
代表同层原子A和B的相互作用。是两个相邻层的两个原子A（或B）的相互作用。或者是两个相邻层同样（x,y）坐标的原子A和原子B的相互作用。和描述的范围是来自相邻层的两个原子A或两个原子B或原子A和原子B 。
当原子A和原子B有着相同（x,y）坐标是的相互作用是否则就是。相互作用的数值为六个紧束缚方程叠加的布洛赫函数为
根据布洛赫函数ABC-堆叠石墨的哈密顿矩阵为
其中表示2*2矩阵。非零元素是
并且是
紧束缚方程中出现的磁通量（）和方程（7）中出现的相似。从扩展为6q的紧束缚方程建立的哈密顿矩阵为
其中或是6*6的矩阵。周期性边界条件为。是六个紧束缚方程的跨度。是从相同层，相邻层或下一个相邻层的在第m个之字线上的两个原子的相互作用。非零元素的与附录中给出。
3磁电特性
首先在（Eq，（5））中回顾单层石墨的二维边界结构。占据的价带（pi;）和非占据的导带（）关于费米能级=0对称。在K附近的能量色散是线性和同向性的。此外，导带和价带仅在=0处交叉。能带在M和点附近是抛物线状并且异向性的分散。在M和点分别有能量和。点相关的带宽是6。在能量波矢空间中K,M和点分别是局部极小点，鞍点和最大值最小值点。这些特殊点将导致态密度上的特殊结构。态密度导致在费米能级上的线性带的消失。因为自由载流子的缺失使得单层石墨成为零隙半导体。
如图3a所示。夹层间的相互作用在AA-堆叠结构的电学性质中扮演重要作用。占据的价带不再与非占据的导带关于费米能级对称=0.016eV。能量色散是高度异向性的。因此相比于沿着。在平面上的能量色散类似于那些单层石墨。也就是说，局部极小值点，鞍点和最大值最小值点分别是空间拐点（k）,两个拐点的中心点（H）和中心。空间拐点相当于线性带的交叉点。此外，导带和价带在平面上关于这个点彼此相对称。另一方面。导带和价带沿着（或沿着K H线）在空间拐点附近彼此相互交叠。
波矢空间中MKAL和H点除了能量最大值点和能量最小值点A点外都在鞍点。带宽能量是。不同于能量最大值点和能量最小值点A。
更应该值得进一步研究的是具有带交叠的低能量电学的结构。这样空间拐点附近的能量色散沿着K H线（图3a），依赖的能量色散已经被描述出来。和分别是K和H点的状态能量。至于线性导带和价带在平面上相较于k点。一些价带状态能比费米能级更高。这意味着夹层的相互作用在低能价带上产生一些自由的空穴。空穴密度随着的增加而减小。当交叉点的能量状态比费米能级更大时自由空穴将转变为自由电子。H点有着最大的电子密度，即相比于沿着K H线这些交叉点有着最低的能量。空穴和电子分别集中在K和H点附近。这两种载流子有着相同的密度，并且他们除了在一些物理性质如光谱，电子的激发中起到了重要作用也能传递物理性质。
ABC-堆叠的能量色散在图3b中表示出来。它们表示了关于费米能级=0.007eV的不对称结构和高异向性。对于=0的平面上的KMK。K和M点分别是最大值，局部极大值或极小值和鞍点。总体上，能量色散是抛物线状除了那些沿着K 线的抛物线带之间有一个小的能量空间。沿着K M线的线性带将会表现在导带和价带之间弱的交叠。有三条地域费米能级的导带，同时相对的是三条真实的价带。一些自由电子和空穴同时存在于K点附近。总的能量色散被建立在=的HLAH平面上。然而线性带在H A线上存在，但在H L线上不存在。抛物线带沿着H L线存在一个小的能量空间。
堆叠的影响使得ABC-堆叠石墨和AA-堆叠石墨在带结构上十分的不一样。对于前者有着更宽的带宽并表现了更弱的依赖.有双倍和迁跃简并度态。K和H可能表现出抛物线的能量色散和小的能量空间。导带和价带的交叠非常的弱。自由电子和空穴同时存在于k和H点，但不分别的在K和H点。
方向为A=（-，0,0）的匀强垂直磁场极大的影响了AA-堆叠石墨的带结构（图4）。,哈密顿量是8*8的矩阵，没有磁通沿着的周期是。沿着使加粗曲线表示能带。在包含使用区域折叠的方法的=0展现为亮的曲线。磁通很难影响依赖于的能量色散，比如沿着Xrsquo;M的能带用表示。磁通仅能导致依赖于的能带的僵硬的变化。主要原因是垂直的磁场没有改变与有关的哈密顿矩阵元素的相。另一方面，磁通导致在平面上的特殊朗道能级和朗道能级的震动，比如沿着和的能量色散。有一点值得注意的是朗道能级可能有部分平或完整平的能量色散。朗道能级的振荡和部分朗道能级平分别代表着低和高能量。因为朗道能级在磁通影响下带宽剧烈的减小，比如ED = 14.73 eV (=5.73alpha;0) 在phi; = phi;0 /4时。减小影响随着的增加而提高。像一种也能建立在ABC-堆叠石墨上的影响。
在，沿着和上，当磁通减少时，在平面上会有更多的朗道能级完整平，如图4b。在低能条件下，只有朗道能级振动的存在。费米能级附近的两条能带间存在着能量空间。然而，依赖的能量色散使得AA-叠加石墨具有无隙和半金属的特性。尤其是在磁通下，AA-堆叠石墨仍表现半金属的性质。当减小时极大的提高了对称点的数量。这些特殊点很可能就是鞍点，局部极小值极大值点。在态密度上这些点将会体现许多特殊的结构。
与AA-堆叠结构一样，ABC-堆叠石墨的也在平面上（和在图5a和5b上）存在着朗道能级和朗道能级的振荡。然而，与AA-堆叠石墨相比这些能级有着更强的能量色散和更宽的磁带宽。在ABC-堆叠石墨上碳原子的两半在两个邻层上有着不同的位置，因此，邻层的A原子和B原子在磁通的影响下会导致不同的相差，最大的影响是能够解释在ABC-石墨上由于不同的相位差而观察朗道相关表现为什么如此困难。磁通更深层次的影响是依赖的能量色散，比如Xrsquo;M。
磁带结构能够展现出蝴蝶状的能谱。在图6a或6b的点上表示出了1/-或依赖q状态的能量。在高强度的磁场下有几种分离的状态，比如在=下有20种分离状态。两两朗道能级之间的能量空间不是完全相同的。这样的结果表示层的电子气模型并不能完全描述石墨的层结构。当磁场减弱时分立的状态变为连续的状态。AA-堆叠(ABC-堆叠)石墨后者被限制在或。
态密度对于弄清这些光学和电激发的关键物理特性非常的有用。被表示为
是加宽的能量宽度，值为0.0026eV（=0.01）。特殊点在能量波矢空间中导致态密度的特别结构。这种结构直接反映了能量色散的主要特点。在外加的磁场下结构产生了明显的变化。通过比如STM和光谱实验能够检验态密度的特殊结构。
在=0时，AA-堆叠石墨的态密度有八个特别交叉结构分别位于-8.73eV,-6.81e
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