两导电球间的静电相互作用
作者：基里尔·科利科夫、德拉贾·伊万诺夫、格奥尔基·克拉斯特夫，约丹外延片，斯特凡·博日科夫
国籍：西班牙
出处：[J] 《静电学杂志》第70卷，2012年第5期，第468-468页
关键词：导电球；库仑定律；镜像电荷法；电相互作用；静电相互作用势能；静电场电势
摘要：本文考虑具有任意电荷和半径的两个带电导体球之间的静电相互作用问题。利用镜像电荷法，我们确定了这两个球体之间相互作用的力F和势能W的精确解析公式，以及由它们产生的任意点上电磁场的势能V的精确解析公式。我们的公式导出了点电荷的库仑定律。
我们从理论上证明了实验证明的事实，即两个同号（正电荷或负电荷）的球体也可以相互吸引。
- 导言
本文首先用泊松复变方法研究了任意半径和任意电荷的带电导体球之间相互作用的静电力确定问题。后来，汤普森爵士（开尔文勋爵）介绍了他的镜像电荷理论，从而大大简化了调查。该理论基于泊松方程第一边界问题三维情况下点源的影响函数。这种方法不需要求解拉普拉斯方程来确定电场必须满足一定边界条件时的镜像电荷的分布。
麦克斯韦（Maxwell）[1]，第1章）稍后会考虑这个问题。他发现带有电荷Q1和Q2的两个球体之间的静电力与分别位于球体中心的点电荷Q1和Q2之间的静电力不同，这是由库仑定律推导出来的。根据麦克斯韦的说法，这种偏差是由于球体之间的相互静电影响引起的电荷重新分布造成的。
考虑到电荷的再分配，麦克斯韦提出了一种利用分区谐波和复杂的数学装置确定具有任意电荷和半径的两个球体之间相互作用力的一般方法（[1]，第11-13章）。在他之后，许多科学家找到了解决这个问题的其他主要方法。在不同的特殊情况下，他们推导出精确公式或给出近似公式，这些公式足以解决一些理论或实际问题。
可以使用积分法[2]、电感应系数法[3]或镜像电荷法[1,4,5]解析地确定两个导电球体之间静电相互作用的静电力F和势能W，以及产生的静电场的电势V。
镜像电荷法有两个主要方向。
在第一个方向（例如[6-9]），考虑外电场如何首先在每个球体的中心导致偶极子。之后，这两个偶极子在球体中迭代地产生一系列镜像偶极子。
在第二个方向考虑了两个导电球中电荷产生的电场。两个初始电荷中的每一个都会在另一个球体中产生像电荷；这些电荷本身分别在给定的球体中产生新的像电荷，依此类推。为了构造图像，使用了[1,4,5]反演变换。通过分析这个过程，可以确定每个球体中电荷的分布。这种方法产生非常复杂的分析形式的结果。因此有许多近似或部分结果。
Smythe使用镜像电荷法来确定两个球体之间的静电力，这两个球体不相交，具有任意电荷和半径（[4]，第5章）。此外，他考虑了其中一个球体使用双曲函数接地的特殊情况。他还计算了将力描述为球体容量函数的总和中的前几个项。
Jackson考虑了一些特殊情况和格林函数的应用，关于这个问题的拉普拉斯方程和傅里叶级数（[10]，第2章）。他没有在一般情况下给出问题的解决方案，但使用镜像电荷方法，他描述了发现两个球体问题解决方案的路径，它们不相交，具有不同的半径和电荷，通过指出如何迭代确定感应电荷及其位置
Soules分析了库仑的试验，并在考虑诱导效应的情况下进行了精确的实验[11]。他使用镜像电荷法开发了一个计算机程序，以数值方式确定相互作用力。根据对数值（而非理论）的分析，Soules还提出了静电力的近似公式。
许多作者使用镜像电荷法推导了两个带电导电球体在特殊情况下相互作用力的近似公式，当它们具有相等的半径和电荷[12,13]。Slisko和Brito Orta发现了这种公式，他们使用计算机程序比较了使用不同近似计算的值，从而表明Larson e Goss和Soules的公式是错误的[13]。然而，他们也得出结论，当球体之间的距离与其半径相比较小时，他们的分析方法变得非常不切实际（[13]，p.353).
在目前的论文中，我们进一步发展了我们在[14]中也考虑过的像电荷法。我们以最基本的形式推导了由两个带电导体球产生的F、W和V的精确解析公式，这些球具有任意的电荷和半径，且不接地。此外，我们使用了一种易于应用的代数方法，克服了上述所有缺点。
当r1=r2=0时，我们的公式得出库仑定律。此外，我们还确定了带电导电球的F、W和V值与点电荷的相应值F0、W0和V0之间的偏差。我们还从理论上证明了两个具有相同类型（正电荷或负电荷）的球体也可以相互吸引——这是一个实验证明的事实。
- 两个带电导电球之间的静电相互作用
设S1和S2是两个带电导电球体，它们没有接地，电荷分别为Q1、Q2，半径r1、r2，R是惯性系J中它们的中心O1、O2之间的距离（图1）。由于电荷Q1和Q2均匀分布在S1和S2的表面上，我们假设在球体相互作用之前，它们分别集中在中心O1和O2。
图1.两个导电球体之间的静电相互作用。
由于S1和S2在其表面上的静电相互作用，分别产生相互连接的和电荷。然后，在S1和S2的表面上，存在均匀分布的电荷Q1和Q2，根据电荷守恒定律，可以推导出以下方程式：
和 (1)
形式上，我们可以假设和位于线O1O2上，并且可以假设Q1和Q2集中在球体的中心O1和O2上。
我们将确定电荷和，并使用它们——电荷和。使得作为Q1结果的镜像电荷Q1,j(j=1,2,3hellip;)被创建。当每个电荷Q1,j产生Q1,j 1时，具有奇数指数Q1,2m-1的电荷——位于球体S2中，而具有偶数指数Q1,2m的电荷位于球体S1中。类似地，我们确定电荷Q2产生的镜像电荷Q2,j(j=1,2,3hellip;)。具有奇数指数Q2,2m-1的电荷位于球体S1中，而具有偶数指数Q2,2m的电荷——位于球体S2中。
对于i=1,2和j=1,2,3hellip;，引入函数当i j为奇数时f(i j)=1；当i j为偶数时,f(i j)=2。
让我们用d1,j表示电荷Q1,j到第一个球体中心O1的距离，用d2,,j表示电荷Q2,j到第二个球体中心O2的距离。此外，设delta;1=r1/R和delta;2=r/R。然后使用镜像电荷法[5]，很容易确定递归公式
,,j=1,2,3,hellip; (2)
此处，距离d1,0=d2,0=0对应于电荷Q1,0=和Q2,0=。
从公式（2）我们得到了方程:
我们假设每个整数N的二项式系数，并为j=1,2,3引入以下符号
基于方程（3）使用方程（4），我们得出
通过对j的数学归纳，我们可以将方程（5）改写为以下形式
其中[(j-1)/2]和[j/2]分别表示数字(j-1)/2和j/2的整数部分。
然后使用公式（5）分别确定从线O1O2上的像电荷Q1,j和Q2,j的位置到它们所在的球体中心的距离d1,j和d2,j。
我们将确定镜像电荷Q1,j和Q2,j。首先，根据[14]，以下递归公式适用于Q1,j=-(d1,j/delta;f(1 j)R)Q1,j-1和Q2,j=-(d2,j/delta;f(2 j)R)Q1,j-1,j=1,2,3,hellip;
通过持续考虑使用Qi,j-1(i=1,2)表示的每个Qi,j，我们确定
令
式中，当delta;i=0（i=1,2）时，=1。
让我们用表示公式（7）中位于球S1中的电荷，用(j=0,1,2,hellip;)表示位于球S2中的电荷。然后Q1,0==，Q2,0==，对于m=1,2,3，hellip;我们有Q2,2m-1=，Q1,m=和Q1,2m-1=。让我们也用和(j=0,1,2,hellip;)表示公式（5）中的相应距离。
如果和，则根据作用于球体S1和S2的O1O2上相互作用力投影尺寸F的库仑定律，我们得到
根据[15]，两个球体S1和S2之间相互作用的势能为
让我们指出，在方程式（10）和（11）中，我们并不否认球体S1和S2内部电荷之间的相互作用，因为相互作用是外部的——S1和S2表面电荷之间的相互作用。
设M为电荷和产生的电场中的任意点。如果M与电荷和（图1）的距离分别为和，那么使用三角形中的度量关系，我们可以确定
然后根据条件的线性叠加原理，M点的电势将是M中所有电荷电势的总和[15]。因此
3.对非零电荷库仑定律的补充
让我们假设两个球体具有非零电荷Q1ne;0和Q2ne;0。然后，如果Q2/Q1=k，那么从等式（9）可以得出，，其中
根据方程式（7）Qi,j=QiLi,j，对于i=1,2，j=1,2,3，hellip;其中，对于m=1,2,3,hellip;我们有
让我们指出
然后我们可以将公式（10）改写为
其中，由两个球体的几何形状得出的系数补充了F0。因此，如果L=1，则F=F0。类似地，公式（11）可以写成
其中，由两个球体的几何形状得出的系数与W0互补。
因此，如果H=1,则W=W0.
现在我们可以用下面的形式重写公式（12）
在方程式（16）、（17）和（18）中，我们使用公式（13-15）确定和。
4.特殊情况
(1)令Q1ne;0，Q2ne;0同时r1=r2=r
(1.1)如果有两个点电荷Q1ne;0和Q2ne;0，则r1=r2=0。然后,和。从（8)X1=X2=Y1=Y2=0，，并根据方程式（13-15）（j=1,2,3,hellip;）
因此，在公式（16）中，我们得到了L=1，从这里可以得到库仑定律。在式（17）中，H=1，我们得到，根据式（18）我们得到。
（1.2）如果存在，则和
根据（[16]，p.18,3b）
如果对于每个非负整数n，我们有，然后根据（[16]，p.81,7d） （19）
从这里我们得到方程式，然后从公式（5）我们得到
根据公式（8）：
因此，从公式（9）和可以得出：
并基于公式（7）
如果在该子类中给出，则k=1和。因此，下列方程式成立
式中，Cj由公式（19）确定。
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