完全安全的对称量子全同态加密外文翻译资料

 2023-03-25 21:07:54

完全安全的对称量子全同态加密

原文作者：Min Liang

摘要 假设一些数据已经加密，你能在不解密的情况下用这些数据进行计算吗？这个问题被研究为同态加密和盲计算。我们在量子信息处理的背景下考虑了这个问题，并给出了量子同态加密(QHE)和量子全同态加密(QFHE)的定义。然后，基于量子一次性密码本(QOTP)，我们构造了一个对称QFHE方案，其中评估算法依赖于密钥。该方案允许对任何已加密的n个量子位状态进行任何幺正变换。与经典同态加密相比，QFHE方案具有良好的安全性。最后，我们还构造了一个基于QOTP的对称QHE方案，其中评估算法独立于密钥。

关键词 量子密码学·同态加密·量子一次性密码本·完全安全·隐私保护量子计算

1 介绍

假设你对一些数据进行了加密，你打算使用这些数据进行计算，但不想对它们进行解密。是否可以使用加密数据进行计算而不进行解密？

这个问题与“加密数据的信息处理”或“保护隐私的量子计算”的研究有关。它在现代密码学中得到了大量的研究，包括同态加密[1]和盲计算[2,3]的研究。Rivest等人首先考虑了这一点[1]。他提出了一些同态加密方案。然而，这些方案是不安全的[4]。随后，关于同态加密和完全同态加密提出了更多的结果[5,6]。它们是基于数学中的一些较难的计算问题构造的，它们的安全性依赖于这些数学问题的计算难度。因此，它们只有计算安全性。此外，对称同态加密[7–9]也是一项有用且有趣的研究，并且具有较高的效率。虽然它的加密密钥与解密密钥相同，但对于许多应用程序来说已经足够了。

基于量子力学的理论，已经提出了许多量子密码协议[10–12]，它们都具有无条件安全性。这促使我们在量子信息的背景下考虑上述问题，并希望获得更安全的保护隐私的量子计算解决方案。与该问题密切相关的问题包括：1)盲量子计算[13–23]，即一方将量子计算委托给另一方，而不透露自己的数据和结果；2)量子同态加密(QHE)[24]，允许在不解密的情况下操作量子数据；3)量子私有查询[25]，用于查询数据库，同时对查询保密；4)量子私有比较[26–30]，允许双方在不泄露秘密的情况下比较各自的秘密数据。

本文研究了在量子信息处理环境下的同态加密问题：假设任意量子明文sigma;已加密(密文为E(sigma;))，我们能否直接对密文执行任何量子算子(不解密密文)并获得所需状态E(T (sigma; ))？状态E(T (sigma; ))是对原始明文sigma;执行量子算符T的结果的密文。

Rohde等人[24]研究了加密数据下的量子行走，并提出了一种使用玻色子采样和多行走者量子行走模型的有限QHE方案。该方案可用于量子行走的盲计算。然而，QHE还没有被定义，量子完全同态加密(QFHE)方案还没有被构造。

我们从量子力学的角度研究了加密数据下的量子信息处理。给出了QHE和QFHE的定义，并构造了包括QFHE方案在内的一些具体方案。所有这些方案都是基于量子一次性密码本(QOTP)[31,32]构造的，具有很好的安全性。

2 概念

在参考文献[24]中，使用玻色子采样和多行走者量子行走模型提出了一个有限的QHE方案。然而，没有给出QHE或QFHE的定义，也没有构建QFHE方案。

QHE可以是对称的，也可以是不对称的。这两种类型都将被定义，但我们将重点关注对称QHE。下节构造的所有方案都是对称QHE方案。

量子态通常以密度矩阵的形式表示，表示为rho;，sigma;。量子算符T，E的输出态也表示为密度矩阵。

定义1对称量子同态加密方案Delta;具有以下四种算法：

1. 密钥生成算法 KeyGenDelta;，用于生成密钥；

2. EncryptDelta; 是加密算法：rho; = E(key，sigma;)，其中sigma; 是量子明文；

3. DecryptDelta; 是解密算法：sigma; = D(key，rho;)，其中rho; 是量子密文；

4. 使用算法EvaluateDelta;对量子密文进行不解密处理。EvaluateDelta;与一组允许的量子算符FDelta;相关联。对于任何量子算符Tisin; FDelta;，根据密钥和量子密文rho;，执行算法EvaluateDelta;(key,，T，rho;)，可以输出一个量子态，该量子态就是密文E(key， T (sigma; ))。

应该注意的是，存在算法EvaluateDelta;独立于密钥的情况。在这种情况下，在上述定义中，应将其写成EvaluateDelta;(T，rho;)。因此，对称QHE可分为两类：1)具有加密密钥的对称QHE，其中算法EvaluateDelta;使用加密密钥执行；以及2)无加密密钥的对称QHE，其中算法EvaluateDelta;在不使用加密密钥的情况下执行。

定义2非对称量子同态加密方案Delta;具有以下四种算法：

1. 生成算法KeyGenDelta;用于生成两个密钥——一个公钥pk和一个密钥sk；

2. EncryptDelta; 是加密算法：rho; = E(pk，sigma;)，其中sigma; 是量子明文；

3. DecryptDelta; 是解密算法：sigma; = D(sk，rho;)，其中rho; 是量子密文；

4. 该算法EvaluateDelta;用于处理量子密文而无需解密。EvaluateDelta;与一组允许的量子算符FDelta;相关联。对于任何量子算符Tisin; FDelta;，根据公钥pk和量子密文rho;，执行算法EvaluateDelta;(pk， T，rho;)，可以输出一个量子密文，该量子密文可以用密钥sk解密为T(sigma;)。

与常用的加密方案相比，QHE方案具有第四种算法EvaluateDelta;，用于处理加密数据。例如，算法EvaluateDelta;可以这样描述：从密钥和量子算子Tisin; FDelta;生成另一个量子算符Trsquo;，并对量子密文E(key，sigma;)执行。在这种情况下，运算符Trsquo;与运算符T和key相关，

Trsquo;(key, sigma; )) = E(key, T (sigma; )). (1)

算符T可以看作是量子明文上的期望运算。对应于T的操作Trsquo;在量子密文上执行，并且可以在明文上实现期望的操作。

由对称/非对称QHE方案的定义可知，该方案Delta;可以处理FDelta;中的所有量子算符。

方案Delta;是(对称或非对称)量子全同态加密方案，前提是它能够处理所有量子算符，并且EvaluateDelta;以类似于参考文献[6]的方式是有效的。量子算符Tisin; FDelta;在多项式时间内是不可计算的，假设它的运行时间为ST。我们认为EvaluateDelta;是有效的，如果存在一个多项式g，那么对于任何量子算符T isin; FDelta;，EvaluateDelta;最多可在时间ST·g(lambda;)内实现，其中lambda;为安全参数。

QHE方案的安全性取决于加密算法EncryptDelta;的安全性。在非对称QHE方案中，密钥pk是公开的，安全性也依赖于密钥sk的私密性。

3 量子同态加密

首先介绍了一些算子。四个单量子比特运算符X，Y，Z，H，如下所示：X=，Y=，Z=，H=

不受控制的双量子位算子表示为CNOT。关于zcirc;和ycirc;轴的旋转操作符由Rz(theta;) = e-itheta;Z/2and Ry(theta; ) = e-itheta;Y/2。他们的一些交换规则见附录。本文所使用的所有方程都可以从这些交换规律中推导出来。

在这一节中，我们将首先介绍三种单量子位的QHE方案，它们允许的量子算符在集合 {Rz(theta; )|theta; isin; [0, 2pi; )}， {Ry(theta; )|theta; isin; [0, 2pi; )}或它们的并集，在此基础上，构造了CNOT的QHE方案。

在第一个QHE方案中，允许的量子算符的集合是{Rz(theta;)|theta;isin; [0,2pi;)}。该方案如下所示。

QHE方案1

KeyGenDelta;：随机选择两位kisin; {0，1}，j isin; {0，1}；

EncryptDelta;：计算rho;c = Xj Zk sigma;m Zk Xj；

DecryptDelta;：计算sigma;m = Zk Xj rho;c Xj Zk；

EvaluateDelta;：根据k，j，Rz(theta;)，对给定的量子密文rho;c执行量子算符Rz(theta;rsquo;)，其中theta;rsquo;=(-1)jtheta;.

可以证实

Rz((minus;1)jtheta;) Xj Zk= Xj Zk Rz(theta;), (2)

其中kisin; {0，1}，jisin; {0，1}. 根据式(2)，算法EvaluateDelta;的输出状态为

Rz((minus;1)jtheta;) rho;c Rz((minus;1)jtheta;) dagger; = Xj Zk (Rz(theta;) sigma;m Rz(theta;)dagger;) Zk Xj，

就是状态Rz(theta;) sigma;m Rz(theta;)dagger;的密文。此外，在EvaluateDelta;计算过程中不执行解密。因此，该方案满足对称QHE的定义，以及{Rz(theta;)|theta;isin; [0,2pi;)} 中的所有酉变换是QHE方案允许的量子算符。

在第二个QHE方案中，允许的量子算符的集合是{Ry(theta;)|theta;isin; [0，2pi;)}。该方案如下所示。

QHE方案2

KeyGenDelta;：随机选择两位kisin; {0，1}，jisin; {0，1}；

EncryptDelta;：计算rho;c = Xj Zk sigma;m Zk Xj;

DecryptDelta;：计算sigma;m = Zk Xj rho;c Xj Zk;

EvaluateDelta;：根据k，j，Ry(theta;)，对给定的量子密文rho;c执行量子算符Ry(theta;rsquo;)，其中theta;rsquo; = (-1)k jtheta;。

可以证实

Ry((minus;1)k jtheta;) Xj Zk = Xj Zk Ry(theta;), (3)

其

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