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三容水箱的容错控制系统:一种平坦度方法
摘要：本文提出了一种基于平坦度的主动容错控制技术。此方法的基础是平坦系统的理论和非唯一性的一组平坦输出。此属性允许开发一个准确故障检测和隔离技术，此外，它允许产生非故障的解析冗余量。 这些信号可以用于重新配置传感器故障。 这种方法可以应用到一个三容水箱系统。
关键词：容错控制，微分平坦，三容水箱系统，解析冗余，故障检测和隔离。
- 说明
工业和运输系统已经成为一个复杂网络组成，包括其他组件，处理器，接口，执行器和传感器，这些都可能出现故障。如果发生故障，这种现象可能会危及整个系统。容错控制（FTC）设计要注意这些潜在的系统组件故障，并避免能够影响生产、安全的系统损坏。
FTC提出了两种不同的方法：主动和被动[1]，在第一种方法，控制方法是设计鲁棒性来克服故障[2]。第二种方法是，在发生故障后，控制系统被重新构造，来保持起码的系统的稳定性和最佳的正常运行。
典型的四个子系统组成了FTC整体结构，参见[3]和其中的参考文献：
- 可重构控制器，它能够通过改变一些参数或整个回路循环来对故障做出反应。
- 故障检测和鉴定（FDI）模块，这个模块必须进行快速准确的故障识别。
- 控制器重新配置机制，它是负责连接故障识别机制和可重构控制器。
- 一种运动规划算法被设计用在故障发生后，避免执行机构饱和和调整参考轨迹。
微分平坦可以被用来创建一个完整的FTC结构。平坦度被广泛用于设计控制器[4] -[8]。故障检测和识别已经进行了深入研究[9] - [11]。运动规划[12] - [14]和控制重构[15]也已经被研究。
本文的重点是对非线性平坦系统的重新配置机制。这里建议合并重新配置机制与FDI模块。这样，避免了可重构控制器的设计。这个建议的方法不同于由Suaryawan以及其他人提出的重构方法，所以故障恢复被实现，通过估测故障的振幅来消除加性故障。与此相反的工作，故障估测不是必需的，并且检测的任务是与故障重新配置相结合。此外，加性故障和乘性故障可以用相同的方式进行处理。
目前的方法适用于非线性平坦系统。如果系统有两组或两组以上的不同的平坦输出，在其中，至少有一个元素在代数上是无关于第一个的，影响独立的平坦输出的故障总是能够被识别，不论是什么系统。此外解析冗余量可以用于重新配置的目的。
本文概况如下：微分平坦提出在第二部分，FTC提出的方法是在第三部分，第四部分运用了FTC方法在三容水箱系统，最后，得出的结论列于第五部分。
- 微分平坦
平坦度概念最初由Fliess等人提出。[16]，它涉及到所有线性可控系统和一类非线性系统，这些系统的动态行为能够被一系列的变量参数化，这些变量被称为平坦输出和有限数量的变量的时间导数。
让我们考虑非线性系统，其中的是状态向量，是为控制向量，是关于和的一个的函数。该系统是微分平坦，当且仅当存在一个平坦的输出向量如：
- 平坦输出向量表示为状态x和控制输入u以及有限数量的它的时间倒数的函数
(1)
- 状态x和控制输入u表示为向量z和它的有限数量的它的时间倒数的函数。
(2)
(3)
其中表示z关于的时间导数，i区别一组微分平坦方程式，该方程式与各自组的平坦输出相一致（alpha;，beta;，等等）。
- 平坦系统的容错控制
FTC系统应尽可能快的检测和补偿故障，以避免危险的或灾难性的伤害，为此，两个主要活动被关注，FDI和控制重构。第一个活动由做一个二选一的决定组成（故障/非故障），并且，确定故障的位置。第二个活动由改变控制行为组成，该行为基于从隔离模块收到的信息[17]。
通过改变整个控制器或里面的参数进行故障重新配置是一个困难的任务，因为在一个控制器组中，设计的控制器的数量必须等于设法完成的故障的次数。这一特点增加了控制器设计的复杂性。 在另一方面，改变控制器的参数具有两个主要的局限性：故障的严重程度和适应速度[18]。目前的方法在于额定的状态反馈控制器的设计，并在故障隔离后，转换故障措施到一个冗余的非故障系统，参照图1。此操作将提供一个快速和准确的重构方法。
- 多输入多输出系统的故障检测和隔离。[9]
让我们考虑一个n阶的非线性平坦模型，m个控制输入，作为平坦输出，该模型与m个组件的状态向量相一致，并假设饱和状态进行测量，使用状态量和输入量计算（2）及（3），它总是可能去计算n残差：
- n-m状态的残基，只要是饱和状态进行测量。
- m个控制输入的残差。
该残差信号使用下面的式子计算
(4)
(5)
其中和是和测量的状态量，分别控制输入，和是和的状态量，控制输入，并使用微分平坦方程计算输入，i仍然区别一组平坦输出。
假设有第二个平坦输出向量，对应于m个状态向量，这在至少一种元素是不只是组的一个代数组合，所以，残差信号的数量将在n的基础增加。一组新的n-m状态残差和m控制输入残差可以用相同的方式来计算如（4）和（5），所以n n残差是可以得到的。
例如，一个非线性系统由四个状态量和两个控制输入量组成，从而得到两个平坦输出，，对于该系统，四个残差可以通过使用微分平坦方程和得到。使用这些残差，影响平坦输出的故障不能被隔离，故障出现在输入或状态传感器会或不会被隔离取决于特定的系统。
假设一个在代数上无关的平坦向量存在，比如，然后它能够生成（n n=8）的残差。
通过这种方式，故障隔离过程被简化，在残差信号可以得到如（6）。
（6）
其中，
，
如果和的所有元素在代数上是无关的，然后每一个单一传感器故障(输入或状态)可以被检测和隔离。如果一个或多个平坦输出在代数上是相关的,故障隔离取决于系统方程。
B.多输入多输出系统重新配置
重新配置的方法分为三个步骤：
- FDI：这个阶段被保证，如果至少平坦输出向量中的n个元素在代数上无关。
- 解析冗余：状态量和控制输入量被获得，尽可能多的平坦输出向量被发现。我们的方法提供了在此方式的一种措施，该措施相关于一个故障的平坦输出向量，一个或者更多通过使用和非故障的一个来计算。
- 重新配置:这个动作是由简单地在故障措施和冗余非故障之间切换完成的。
让我们重温多输入多输出的一般情况的例子。
方案A：一组平坦输出
现在假设，只有向量存在，这个假设表明：
- 残差的最大数量是4。
- 不会影响平坦输出的传感器故障可以被隔离和依重新配置取决于系统。
- 平坦输出传感器故障不能被识别或重新配置。
观察具体的方程(6),能够很明确的看到，如果传感器出现故障，残差被触发,因为这个故障有一个独一无二的故障信号,它能够被检测和隔离。此外,由于这一事实，平坦输出(和)是无故障的,一个无故障的版本能够被计算用于重新配置的目的。重新配置通过在故障的真实信号和冗余信号之间简单的转换完成,参见图1。影响措施的故障可以用相同的方式处理。
当一个故障影响了一个平坦输出时,所有的残差将超过临界值，故障能够被检测但它不能被隔离。重新配置是不可能的，因为没有一个非故障措施的版本。以经验为主，可用于重新配置的解析冗余信号数量可以通过使用下一个方程得到:
（7）
其中FOS是平坦输出发现的数量，n是状态阶数，m是控制输入的数量。因此，对于这种情况，解析冗余信号的数量是：。如上所述，两个重新配置的故障是和。
方案B:两组平坦输出
假设两组平坦输出被发现,(和)，这个假设表示：
- 残差的最大数量是8，参见（6）。
- 不影响平坦输出的传感器故障能够被隔离和重新配置。
- 在代数上相关的平坦输出的无障碍版本能够被计算，结果它们能够被重新配置。
如果一个故障影响了测量量，所有的残差和将会被触发；这时故障能够被检测和隔离。此外，该故障能够被恢复，方法是使用非故障平坦输出向量计算一个解析冗余的测量量。传感器的故障能够用同样的方法恢复。影响元素的故障通过使用由计算得到的非故障的版本可以恢复。使用（7）能够获得的解析冗余信号的数量是：。
命题:完整的重新配置是可能的,如果。如果一个或多个元素的代数的的组合在两个或两个以上的向量中出现,影响它的故障可能被隔离,但是不能被重新配置,因为一个非故障的冗余信号是不可获得的。
- 示例：三容水箱系统
A.非线性的状态空间模型
容错控制技术应用于一个经典的三容水箱系统，参见图2，系统方程表示如下：
（8）
（9）
（10）
其中S是水箱的横切面积，，是每个水箱的水位，是每个水箱和主蓄水池之间的流出量，和分别是水箱1和水箱3之间的流出量和水箱3和水箱2之间的流出量。和是每个水泵流入的流量。
水箱1、水箱3与主蓄水池连接的阀门被认为是封闭的，所以和总是等于零。流量、和可以表达如下[19]:
（11）
（12）
（13）
其中表示连接水箱的管道的横截面积，表示流量系数。
B、平坦模型
通过定义和为平坦输出可以计算出平坦模型，，所以微分平坦方程能够表示如下：
(14) (15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
如上所述该系统的平坦向量不是独一无二的，所以，为了去计算另一组微分平坦方程，可能去使用。
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
C、仿真结果
影响液位传感器和流量执行器的加性和乘性故障需要被考虑。在加性故障中，对于液位检测一个8厘米的故障需要被考虑，对于流量执行器一个额外的流量需要被增加。关于乘性故障，百分之二十的失败被认为是所有的高的测量值和输入流量。在任何时候有且只有一个单一的故障被考虑，一旦一个故障出现，它是会周期性发生的直到仿真结束。
状态反馈控制器是一个线性二次型调节器LQR，为了遵守水泵的机械的限制和避免输出流量的峰值，矩阵Q和R要进行选择。此外，饱和函数都连接到两个泵,在水箱1和水箱2的液位测量中，需增加一个积分环节来消除稳态误差。
通过在正负百分之十的幅度内改变流量参数确定了检测临界值。因此，伴随着误差范围的增大，每个残差的最大值被用来表示检测临界值的最大振幅。范围增加了鲁棒性而且避免了错误报警，如果超过了临界值，故障将被检测出。
流量系数和都等于0.75，的值为0.76，水箱的横截面积和连接管道部分的横截面积分别是和。
平坦输出的参数轨迹使用五分之一阶多项式能够计算出来。从一个相关的液位到真实的过程测量的液位，白噪声被添加到被测量的输出上。使用一个高增益的显示器[20]能够估计导数，显示器连接一个低通滤波器可以减少噪音的振幅和提高导数估计。
一旦故障被检测到，进入控制器的信号将在将在测量值和信号值之间切换改变。为了模拟在检测与隔离任务和开关触发信号之间的延迟，在故障出现一秒钟后，工作的开关将被自动触发。
D、故障检测和隔离
使用一对平坦向量和，残差能够被计算如下：
（28）
使用这种方法，每个加性和乘性故障能够被检测和隔离，表格Ⅰ表明了加性和乘性失败的残差矩阵。
每个故障的故障信号是预期的一个，例如如果我们观察图3，被触发的残差是关于一号泵，见（28）。如果一个故障影响了二号泵，依赖于的残差又一次被影响，然而在这种情况下，由于系统的物理配置，残差没有超过检测临界值，这种现象并不阻碍故障检测，因为故障仍然有一个个体的故障信号。
E、控制重新配置
对于三容水箱的完全重新配置是不可能的。使用（7），我们能够计算为了重新配置的解析冗余信号的数量，，因为系统有3个状态量，一个状态量不能被重新配置。观察平潭输出向量，能够很
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