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混沌振子在微弱信号检测中的应用
Guanyu Wang，Dajun Chen，Jianya Lin，Xing Chen
摘要：在本文中，我们介绍了一个信号检测方案，基于Duffing振子的驱动的分岔行为。混沌系统对某些信号噪声和免疫系统都很敏感，其性质表现为它们在微弱信号检测中的应用，从间歇混沌运动在检测过程中的分析，我们提出了一个新的频率锁定间歇周期特征的原理。然后，就如何使用数组的未知频率的微弱信号检测。
关键词：混沌系统 Duffing方程 信号检测
一、引言
一般情况下，一个非线性动态系统有四种状态：固定点，周期运动，准周期运动和混沌运动。当系统在临界状态，系统参数的小扰动可能导致系统状态的质变化。在[附录]中，作者指出，这种对参数的敏感依赖性相当于敏感初始条件的依赖。结果，他们在场三种不同的实验，利用敏感的依赖在初始条件下构造一个感觉器可以在硬件上实现。第一个传感器使用一个分叉的过程来获得状态变化（在Duffing振子检测）。第二个传感器用一个固定点的字符的变化，从椭圆以双曲型为传感机制。第三个利用一个固定的吸引盆逃离的机制点作为传感机制。在本文中，我们提出了一种基于信号检测方案在驱动的Duffing振子的分岔行为。Duffing方程被选中是因为它是其中的一个经典的非线性系统，已被广泛研究的基本思想，第一个传感器，是一个小周期信号噪声可以通过Duffing振子检测通过过渡从混沌运动到周期运动。主要区别包括以下几个方面。
1）数学模型略有不同。在[ 2 ]中方波强迫Duffing振子的应用。在这然而，我们更喜欢使用正弦驱动力，因为它是一个很好的形式参考信号，这使得它更清楚参数的外部信号扰动。而且，[ 2 ]没有线性刚度，而我们有线性刚度。
2）在[ 2 ]中，基本建设阻滞的感觉知觉可能是现象敏感依赖于初始条件，是伟大的科学理论，并未揭示可能的实际应用。本文是发展和[ 2 ]产业化。除了描述的基本原理，我们进一步讨论一些实用问题，如如何实现频率扫描和频率锁定，实际分岔值，最小可达信噪比等。
二、基本原理
就我们的研究而言，正常的Duffing方程
我们可以让delta;为定值，使gamma;的值从小到大变化，系统状态变化从小周期运动，到混乱运动，最后，做周期运动。在这篇论文中，从混沌到大周期运动的相变是用来判断是否有任何信号埋在噪音环境中。这个被检测到的信号可以被看作是一个扰动的主正弦驱动力（参考信号）。
虽然噪音可能是密集的，它只能影响当地在相平面图上的轨迹，而不引起任何相变。如果某个信号的频率与参考信号相同，将被埋在噪音环境中。如果弱信号与该参考信号足够小，将会发生定期间歇性混乱，即，混乱和周期性运动交替进行。这种间歇性的混乱是稳定的，有它自己的周期性。
如果微弱信号与该参考信号不是足够小，那么从混沌过渡到稳定是很困难的，几乎与噪音一样困难。虽然在某些情况下，过渡可能发生。然而，一方面，信号幅度必须足够大，不能被看作是一个微弱的信号，另一方面，周期性运动会受不稳定的噪音的影响，即使噪音可能是非常小。这就是单一振子的选择性（振子只能检测其附近的频率）。检测未知频率的信号，我们必须使用一个数组覆盖整个频率域的振子。用于达到检测微弱信号的目的，在不同频率下，我们必须做一些频率变换。定义我们得到
将式（2.2）代入（2.1），并省略下标我们得到
现在，并加入输入信号，我们得到
Y（ᴛ）是高斯噪声；sigma;大约是20a到40a，Delta;omega;是频率的差，Delta;omega;lt;lt;omega;0，ϕ是主要相位差。由于式（2.4）是式（2.1）而来，该系统是在另一个时间尺度上看到的，动态特性和临界值不改变。我们可以通过改变（2.4）omega;0的值来进行频率扫描。阵列是由多个耦合振子的形式产生（2.4），但每个振子不同的数组中的值，只负责一个很窄的频率范围内的检测。
三、分叉值
我们使用了四阶龙格-库塔算法解决plusmn;Duffing方程。因此，该系统是一个离散的动态系统。不同的步长，得到不同的图像，相同的微分方程。所有这些派生的离散系统的动态是相似的，但略有不同，正如我们所知，一个龙格-的Runge-Kutta算法，它甚至存在无限的精度运算，因为它是由无限的泰勒级数截断形成的算法。截断误差取决于所使用的步长，当系统是强非线性[ 6 ]。就我们的系统而言，如果使用的步长不同，截断误差会带来一个明显的差异的临界值，除了步长的值，相变本身是明确的，差异在于临界值的截断误差，并不意味着步长大小是必需的。在我们的实验中，我们修改了delta;=0.5，h=0.004，gamma;=0.815，在表中列出的检测也很恰当.
四、间歇混沌
正如第二节介绍的，如果频率差是足够小的话，会发生间歇性的混乱。现在，让我们详细分析这种现象。从（2.4）和（2.5），我们可以看到，Duffing振子的总周期
从（4.1）和（4.2），我们可以得出以下结论。
如果omega;=omega;0，而且gamma;=，相位差在系统状态中扮演着重要的角色
1）如果系统仍处于混乱状态。只有满足ϕ 不在这个体系下，转变才能发生。
2）如果Delta;omega;存在，gamma;（T）将周期性地小于或超过临界值，周期时间TDelta;是2pi;/Delta;omega;当gamma;（T）接近gamma;c—a，振子正处于混乱状态。当gamma;（T）接近gamma;c a，系统做周期状态变化。这就是为什么间歇混沌现象发生，我们可以准确地知道信号频率的测量，此外，通过TDelta;确定过渡发生，一些信息的初级阶段外部信号也可以知道。
3）因为alt;lt;gamma;c很小，对系统动力学的影响很小。
五、实验
通过下面的实验对一个单一的混沌振子的选择性进行了验证。从信号发生器，我们产生三组信号。每个信号采样用A/D记录，数据被合并到Duffing方程的正解并连接计算机。
第1组包括高斯噪声。根sigma;是0.3，0.5，和1，。然而激烈噪音下，振子维持混乱的运动。sigma;等于0.3为1时相平面图。
第2组包括五种弱信号嵌入密集噪声。分别是0，0.01，0.02，0.03，和0.04。图2为相平面图是0，振子改变为快速的周期运动。轮廓“粗糙”，这是由于噪音的缘故，否则，它应该是一个理想的封闭线。
从图3-5中，我们看到了|Delta;omega;/omega;0|=0.01，0.02，0.03时候的chi;-ᴛ图像，可以很清楚地看到间歇混沌及其周期性特点。从这些数字，我们知道，当|Delta;omega;/omega;0|小于或等于0.03的时候，理论值与实验一致
当信号满足|Delta;omega;/omega;0|=0.04的时候，信号被送入振子，周期特性的间歇混沌被破坏（图6）。这是因为频率相差较大；gamma;（ᴛ）变化如此之快，导致系统无法响应。完成相变这个过程中，需要足够的激励。
当gamma;（ᴛ）大于gamma;c，激励变小，维持周期运动。同样的理由，gamma;（ᴛ）小于gamma;c，维持混沌运动。所以，发生不规则间歇混沌运动。
事实上，根据我们的实验，当|Delta;omega;/omega;0|大于0.03，定期间歇混乱是难以维持的。
第3组包括大幅度的信号，小噪声，与2组相比有比较大的频率差。omega;=1.1omega;0，5omega;0，1000omega;0，和0.03omega;0，这些值都不会引发过渡，这说明相对于噪声，即使幅度信号是非常大的，在频率差不是足够小的情况下也不会发生相变。目的这些实验是在大信号和小噪声环境下验证振子的选择性。如果在单独对小信号和大噪声的情况下，不能发生相变，它并不意味着大信号和小噪声不能诱导相变。如果omega;=omega;0，从混沌运动到完全周期运动的转变必然会发生。如果omega;与omega;0相差不大，定期间歇混沌运动也会发生。从上面，我们知道一个Duffing振子是唯一的对信号敏感，其频率非常接近振子的参考频率。所以，我们必须使用数组混沌振子覆盖整个频率域。
六、混沌振子阵列
一个阵列耦合Duffing振子应用于对未知频率信号的检测。微弱的信号将分别作用于每一个振子。在频率变换方法的基础上，该阵列可以覆盖整个频率域。如果外部信号被反馈到数组中，数组可以搜索和分类频域，最后从信号中提取噪声，并确定频率。振子的频率被限制在一个从1到10的范围内，我们可以使它变为一个等比例的数组，
该阵列是由这79个振子组成。
如果信号频率在1到10之间，一些预处理必须完成。信号被记录成一个速率v，被重置成10nv（n=hellip;，-3，-2.-1，0，1，2，3，hellip;）但是重置速度存在唯一一个n值使重置信号的频率在1至10之间。然后，将重置信号输入数组，同样的原因，只有2个振子在做正常间歇混沌运动。
通过这种方法，我们成功地检测到一个信号a=0.02，sigma;=0.2，omega;=177Hz。当n=-2，振子20（omega;20=1.7535）和21（omega;21=1.8061）在做规律的间歇混沌运动。周期时间TDelta;1和 TDelta;2分别是376s和178s。因此，我们得到了频率差值Delta;omega;1=（2pi;/ TDelta;1）=0.0167Hz，Delta;omega;2=（2pi;/ TDelta;2）=0.0353HZ。
最后，我们可以计算信号频率值
现在，我们提供了一些补充说明，为什么我们应该选择公比为1.03。从上面，我们可以知道，该算法的先决条件是：规律间歇混沌运动必须发生在相邻的振子，宁且其他的振子仍然做完整的混沌运动。如果我们选择公比一般小于1.03，那么不只两个振子会产生规律的间歇混沌；如果我们选择了公比大于1.03，那么会少于两个振子发生规律间歇混沌。所以，1.03是公比最为合适的值。最后，数量振子的编号（k=79）被确定下来。
在实践中，一个振子根据在应用中遇到的问题，可以使用另一个振子的公比，但是，这样做，数组应该重新安排，并且该算法也应该被更新以适应新的配置。
理论上，用于高频率的预处理也可以用在1lt;omega;lt;10的弧度中，所以只有一个振子是需要的。我们更倾向于使用更多的振子理由如下。
在硬件应用的情形下，如果我们使用了大量的振子实现并行处理，与仅使用一个振子相比，时间较短是必要的。整合79 个Duffing振子为非线性电路不是非常困难的任务，实际上它是使用79个振子来检测在一个十年的周期信号。
在软件应用的情形下，因为操作是串行的，就处理时间而言，使用一个振子与使用79个振子几乎是一样的。然而，我们更喜欢使用79个振子，因为，在这种情况下，我们只需要改变omega;0的值来实现频率值的扫描。执行79次预处理以上比改变79次omega;0的值更加繁琐。
我们成功地检测到的最弱的信号是a=0.01，sigma;=0.26。
输入信噪比是由[ 7 ]所给的值
Hs（omega;）和Hn（omega;）分别是功率谱上信号与噪声的振幅
以对数形式，
代为（6.4），我们得到的价值最小可达信噪比为68分贝。
七、结论
基于混沌系统初值敏感性的微弱信号检测的优点已经在理论和实验上得到体现。现在我们已经做了一个关于如何使用79个振子阵列检测未知频率的微弱信号。
正如我们所预料的，一些非线性现象，例如间歇性的混乱，在检测过程中被证明是非常重要的。这种方法的应用很被看好。将来很有可能会构建一个由许多振子组成的系统，它能处理复杂的信号，甚至是强烈的环境噪声。
八、参考文献
[1] Z. Liu, Perturbation Criteria For Chaos. Shanghai, China: Shanghai
Scientific and Technology Education, Oct. 1994, pp. 36–44.
[2] R. Brown, L. O. Chua, and B. Popp, “Is sensitive dependence on initial
conditions naturersquo;s sensory device?,” Int. J. Bifurc. Chaos, vol. 2, no.
1, pp. 193–199, 1996.
[3] S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and
Chaos. New York: Spring
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