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联合优化控制城市主干道的交通信号
LI Yin-fei1,2 CHEN Shu-ping1,3
摘要：本文认为最优为城市主干道交通信号设置。通过引入同步率的概念和非同步度、构建数学模型并提出优化问题。然后,开发一个新的迭代算法来解决这个最优交通控制信号设置问题，此迭代算法的收敛性建立。最后,举例子来说明解决该方法的有效性。
关键字：城市交通网络，交叉口，交通信号设置，同步性，优化
sect;1 引言
交通拥堵是各大城市普遍存在的现象，它已成为城市发展的一个主要障碍。从不同的角度出发，对这个问题进行了大量的努力。减少交通拥堵的问题实质上是一种交通供需矛盾。缓解交通拥堵有2种可能的途径，一是改变布局扩大城市道路网络容量，而另一个是提高现有路网的利用效率。第一条路通常不是一个选项，因为在建设的过程中电子战路往往是不可行的。因此，越来越大的重点放在交通管理，通过实施智能交通系统。特别是,交通控制信号的位置和操作在公路网络交通管理中至关重要。城市主干道在城市交通网络中起着关键的作用。在本文中，我们研究动脉与一些交叉点，配置交通灯，使车辆的平均等待时间最小的路口。
考虑城市主干道的最优交通信号设置问题,这个问题已经在[1-10]先前研究和相关的参考文献引证。在以往的研究中，在路口交通信号灯的周期一致，转向优化模型被认为是禁止的（见[ 2-3 ]和[ 7-9 ]）。但这些假设并不符合实际情况。在[ 2-3 ]中，最佳的目标是绿波带或时间的车辆停止。这并不足以描述车辆通过公路干线的效率。
首先,我们的方法不需要所有的每一个交叉口的周期时间是等价的。这不是一个现实的假设和确认我们的数值研究。其次,我们提出一个新的概念叫做同步率以满足交叉十字路口之间的交通信号灯和他们对交通流的影响。此外,我们可以建立一个优化车辆的平均等待时间的数学模型。第三,我们构造一个新的迭代方法来求解该模型。十字路口分为两类,每一类都有不同的处理。然后,高度复杂的网络是减少到一个更简单的形式。这个新的迭代方法是收敛的。
论文的其余部分组织如下：sect;2介绍我们将需要的假设和基本概念；sect;3建立数学模型，描述连续交叉口的输入流量和输出流量之间的关系；在sect;4中，我们提出了一种新的迭代方法来解决这个问题；最后，在sect;5举例说明。
在本文中，我们集中在主干道路口的X0，X1，···，Xn，Xn 1上，如图1所示。我们希望确定在n 2个十字路口最佳的交通灯配置。是南北向道路的左边位置。不失一般性，我们假设X0 = 0和。
图1. 某城市干道
我们假设交通流之外的公路干线是一个时间不变系统，输入交通流的公路干线不随时间改变。禁止左转弯、右转是允许的，我们遵守交通流在特定的时间点。因此,时间间隔划分的小区间的平等Delta;T长度。
相关路口符号Xj定义如下：
= (,, )为交通灯配置方程；其中，isin; [, ] 表示以秒为单位的周期时间,这是交通信号周期通过绿色、黄色和红色阶段一次所花费的总时间,表示东西向的绿灯时间段,表示第一个绿灯的开始在东西方的时间段。，是Delta;T的倍数。令= Delta;T , = Delta;T 。
: 输入绿灯期间交通方向东方向和西方向的流矢量(辆/秒)；
：输出绿灯期间交通方向东方向和西方向的流矢量(辆/秒)；
：东西向的绿灯间隔的k次方；
：和 相位差的k次方；的初始相位差为
. (2.1)
,,,为各个概率；
是车辆从西到东在的出口右转的概率；
是车辆从东到西在的出口右转的概率；
是车辆从西到东在的进口右转的概率；
是车辆从东到西在的进口右转的概率。
由于我们假设车辆不让左转弯,我们可以将信号灯周期划分为两种情况:东西方向和南北方向。交通信号灯配置使东西向同步，东西向的绿灯时间阶段称为东西向的绿灯间隔。
定义2.1.我们用表示的绿灯间隔从到 指向的车辆行驶时间转移的和之间的映射,其中是东西向的绿灯间隔的k次循环。
同步是两个连续绿灯间隔的叠加。例如,和的 k次方的同步是周期间隔和的叠加。如果这两个区间一致,那么两个十字路口同步。主干道的每个路口都有一个连续的交叉口，一般而言，难以实现同步。
继续,我们将介绍一些重要的定义如下。
定义2.2. 与的和的k次循环的代数同步率被定义为
(2.2)
| · |表示区间长度。是的右同步率；的左同步率的定义与右同步率相似。令 表示交通流同步率。
同步速率测量的交叉点的同步。因此，一个更大的同步速率对应于一个更好的配置，然后，缩小车辆平均等待时间。在本文中，我们不考虑X0的左同步率和Xn 1的右同步率。
定义2.3.的k次循环的非同步度为
(2.3)
式中为左非同步度，为右非同步度，假设= 0， = 0。
显然，某个方向的非同步度为零意味着汽车沿此方向行驶遇到连续的绿灯，无需等待。
sect;3 同步率的数学模型
在本节中,我们提出一个同步率的数学模型。在我们的模型中,每一个交叉口的周期时间不需要是等价的。因此,每个周期的同步率可能会改变。随后,没有特定的周期可以用来描述整个时间间隔的同步率。对于任何两个连续的十字路口,我们选择两周期的最小公倍数视为一段时间单位。因此,我们关注的是周期性的时间单位。
我们现在考虑和的平均同步率。令 和的最小公倍数为，是 在期间的平均右同步率，是在期间的平均左同步率。由同步率的定义,到的绿灯间隔和在东西向的绿灯间隔的映射的叠加同步率为，同理。
和i东西向的第k次绿灯间隔分别是 ：
式中和 与k无关.
到和到绿灯间隔的映射分别是：
设,，则 在循环过程中,的右同步率为：
的左同步率为：
显然， 和与k无关。令
则有
显而易见，的值由决定，的值由决定。我们需要考虑以下2种情况：
- le; :在这种情况下，车辆从到第一次见到绿灯是在。假定任何2个连续的交叉点之间的周期差小于2个周期，这个假设在实践中符合要求。我们将这种情况分为3种，如图2所示。垂直轴和水平轴分别表示时间和交叉口的绿灯间隔。实心线是绿灯间隔，虚线是红色的间隔。
我们考虑的绿色光间隔的叠加||，如图2所示：
图2 le; 的三种情况
由此可得：
- gt; :在这种情况下，根据和的值，需要考虑三种情况，如图3所示：
图3 gt; 的三种情况
由图3可得：
所以
类似地，我们可以得到：
( )和()分别是处绿灯间隔左转和右转的输入（输出）流量。令处从西到东的车辆右转的出口（进口）概率为()，从东到西的车辆右转的出口（进口）概率为() 。
图4 某十字路口
不难得到：= , =
其中, ,, , ， 已知。
假设右转将车辆不由信号灯控制,他们可能在任何时候根据实际的交通状况向右拐。为了不影响公路干线的车辆,车辆在南北路右转到公路干线,必须在南北路绿灯时右转。所以当计算的等待时间,我们只考虑连续直接通过路口的车辆。令在需要等待的交通流为和，则
对于整个城市干道，其数学模型是
其中
sect;4 解数学模型
每个交叉口有三个独立的变量：, ，。因为在式 (3.9)-(3.14)中有n 2个交叉口，所以总共有3n 6个变量。在实际情况中，这个问题太庞大复杂，需要花费很大精力才能解决。我们将提出一个迭代的方法来求式（3.9）-（3.14）的解。
根据式（3.9）-（3.14）可知，交叉口的交通流的同步率是由其红绿灯配置以及交通流的输入和连续十字路口的交通信号灯配置所决定的。当交通流的输入和红绿灯的配置连续十字路口是固定时,优化一个交叉口的交通流的同步率仅涉及调整自己的交通信号灯配置。
现在我们将交叉口分为2类：A类和B类。如果j为奇数，则为A类交叉口；如果j为偶数，则为B类交叉口。令包含所有的A类交叉口，包含所有的B类交叉口。显然，相邻A类交叉口间为B类交叉口，相邻B类交叉口间为A类交叉口。因此，属于同一类型的交叉口间不直接影响彼此。当一个类型的交通灯配置是固定时，属于其他类型的交叉口彼此独立。因此，在每个路口的交通流同步速率单独优化。
令 = {|isin;}表示A类交叉口的交通灯配置，= {|isin;} 表示B类交叉口的交通灯配置， = {|isin;} 与= {|isin;}相并。
从上述分析,由此可以得出这样的结论:当交通灯配置和b型十字路口交通流的输入是固定时,式(3.9) 可化为
其中，和 如式(3.10)。f()由的交通灯配置决定，当且仅当每个f()达到最大值时F达到最大值。因此，优化式 (4.1) 等于分别对每个f()进行优化。因为所有的f()都是类似的，所以只需最小化一个即可。现在,原始模型包含许多变量可以解决一些小模型,每一个都包含三个变量。
类似的，当交通灯配置和A型交叉口交通流的输入是固定时，式 (3.9)可化为
因此，优化F相当于单独优化每个f()。
现在，用迭代法代入到式（3.9）求数值解。首先，我们设置的交通信号灯配置为一种类型的交叉口一个初始值，如B型，以及东西入口的交通流量输入。从交通灯的配置和B型交通流的输入，我们可以用式（4.1）计算出A型的交通灯最优配置；然后，我们把交通灯配置和A型交通流的输入，用式（4.2）计算B型的交通灯最优配置。在此方法中，我们在每一步中通过迭代来解决两类交叉口其中之一。迭代步骤如下：
1：对B类交叉口的交通灯配置进行初始化，在干道的两个入口输入交通流，B类交叉口的交通流输入量为；
2：根据交通灯配置，交通流输入量为及 ,,,,通过式(3.7) 和 (3.8)计算A类输入量；
3：根据交通灯配置和用式(4.1)计算最优交通灯配置；
4：根据和用式(3.7) 和 (3.8)计算交通流输入；
5：根据和交通流输入，用式(4.2)计算最优交通灯配
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