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一种模糊系统的傅立叶小波正则化反褶积方法
Ramesh neelamani，IEEE会员，hyeokho Choi，IEEE会员，Richard Baraniuk，IEEE研究员
摘要
本文提出了一种高效、混合傅里叶小波正则化反褶积（向前）算法，通过傅里叶和小波域标量收缩执行噪声正规化。傅立叶收缩利用傅立叶变换的经济代表性的有色噪声固有的去卷积，而小波收缩利用小波域的经济代表性的分段光滑信号和图像。我们得到的傅里叶和小波正则化量之间的最佳平衡，通过优化近似的平均平方误差（MSE）的度量，发现信号更经济的小波表示需要较少的傅里叶收缩。提出了适用于所有模糊的对比性问题，不同于纯粹的基于小波变换的小波变换Vaguelette反卷积（WVD）；此外，它的特征估计是最小振铃，不像纯粹基于傅里叶反卷积那样。在被设计的方法问题中，我们证明了MSE的衰变率的最佳方法样本数量的增加。此外，我们表明，在很宽的范围内的实际样品的长度，提出了改进的性能问题。
关键词：去模糊算法，解卷积，恢复，小波vaguelette，小波。
一，引言
反褶积是一个反复出现的主题，在各种各样的信号和图像处理问题。例如，实际卫星图像往往模糊不清由于限制如相机、摄像机运动或孔径的影响，大气湍流[ 1 ]。反褶积成为必要时，我们希望有一个清晰的复原图像观看或进一步处理。
A 问题陈述
在本文中，我们对经典的离散时间的对比问题。问题的设置和解决方案是一维（1-D）描述，但一切都直接延伸到更高的维度。观察到的样本 包括未知的信号样本的循环卷积第一退化（用表示）与一个已知的脉冲响应 的线性时不变（LTI）系统 ，肺却被零均值的加性高斯白噪声（AWGN） 和方差 （见图1）。
给出y和h，我们估计x的值。
图1 卷积模型设置。观察Y包含期望信号x的线性时不变第一退化（LTI）卷积系统H然后损坏的零均值的加性高斯白噪声（AWGN）。
使用操作逆得到一个最初的反褶积估计 ，如下。
不幸的是，在 中的有色噪声的变化较大时，是病态的。在这样的情况下，x和之间的均方误差（MSE）为大，使得的未令人满意卷积估计。
在一般情况下，去卷积算法可以在（2）被解释为估算值x在嘈杂信号。在本文中，我们侧重于简单和快速评估的基础上在合适的变换域个别组件的标量萎缩。这种焦点不是限制性的，因为变换域标量收缩位于在核心许多传统[3]，[4]和现代[2]，[5]去卷积方法。
B.变换域收缩
设RN上的正交基为bk，对的估计可以表示为
一种对改进的估计可以通过简单地在（3）中收缩第k个分量来获得与一个标量， ：
然而，一个重要的事实是，对于给定的变换域，即使采用最佳的数k，估计X的MSE是低级由有界[5]，[7]，[8]
由式（6），只有当大部分信号能量 ( ) 和有色噪声能量（）是变换域捕获的系数时，具有小MSE，我们称之为表示经济型，为获取能量系数信号和噪声也有所不同。否则，是过分因信号分量嘈杂而泄露的噪声分量或失真。
传统上，傅立叶域（ 的正弦）用于从估计x的。例如，LTI维纳解卷积滤波器对应于（4），每个 由第k组分信噪比测定[3]，[4]。傅立叶基础的优势在于，它最经济的代表色噪声 [见图。图2（a）条和第III-B的详细信息]。然而，傅立叶域的弱点在于它不经济表示具有奇异信号x，如有边缘的图像[见图2（b）]。因此，如通过（6）中，通过傅立叶收缩获得的任何估计是不令人满意的具有较大的MSE结合的MSE决定;估计也是噪音或扭曲与奇点[见图4（c）]。
图2。傅立叶和小波表示的经济。 （a）为该傅立叶分贝（dB），用2-D 92 9箱车平滑算子的伪逆有色噪声H型小波分量能量。各组分按降序能量的顺序从左到右排序。有色噪声能量集中在比小波分量更少的傅立叶分量。 （b）为傅立叶能量和摄影师图像信息，信号能量集中在比傅立叶分量更少的小波分量。
图3。傅里叶小波正则反褶积（向前）。向前采用傅立叶收缩少量（最多 1）以部分衰减操作者反转期间放大的噪声。随后小波收缩（按w确定）有效地衰减剩余噪声。
（a） （b）
（c） （d）
图4（A）期望摄影师图像x（2562256个样本）。 （二）观察图像Y：由x的二维（2-D）的平滑9 29箱车模糊加性高斯白噪声方差，BSNR= 40分贝。 （三）LTI维纳滤波器估计值（SNR =20.8分贝，ISNR= 5.6Hz DB）。 （d）向估计（SNR= 22.5Hz dB时，ISNR= 7.3H DB）。
最近,小波域(母小波函数的变化和扩张的年代)利用估计,例如,Donoho的wavelet-vaguelette 去卷积(项)[5]。的强度信号的小波域经济是它代表类包含奇异点满足各种各样的当地平滑约束,包括分段平滑和Besov空间平滑(见图2(b)和部分V-B详情)。然而,小波域的缺点是,它通常不经济代表了有色噪声(见图2(a))。通常,由MSE(6),任何通过小波收缩估计利用不满意,MSE,估计是许多类型的噪声或扭曲。
不幸的是,没有一个变换域可以通过一般经济代表的有色噪声和信号从一个一般的平滑类[5]。因此,在一个变换域反褶积技术采用收缩无法产生足够的估计在许多反褶积问题的兴趣。
C . Fourier-Wavelet正规化反褶积(向前)
在本文中,我们提出一个反褶积方案依赖串联,经济代表了有色噪声,小波域,经济代表了来自各种各样的信号平滑类。我们混合Fourier-Wavelet正规化反褶积(向前)技术估计x,首先使用少量的标量。傅里叶收缩 ,然后衰减泄漏噪声与标量小波收缩 (见图3)[9],[10]。
这是它是如何工作的:在算子反演,一些傅里叶系数的噪声明显放大,只是少量的傅里叶收缩(大多数)足以减弱这些放大信号组件的傅立叶噪声系数以最小的损失。泄漏噪声 傅里叶萎缩 未能减弱(见(5))在所有小波系数显著降低能源,但信号傅里叶收缩保留一部分 仍然是经济代表了在小波域中。因此,随后的小波阈值收缩有效地提取了泄漏噪声 和保留信号 提供了一个有效的估计。
向前一个理想化的系统,我们将获得的最佳平衡的傅里叶收缩量和小波收缩近似MSE度量通过优化。我们会发现信号与小波表示更经济需要更少的傅里叶收缩。
图4说明了优越的整体视觉质量和更低的MSE向前估计比LTI维纳滤波器估计[3],[4]的二维箱式车模糊算子,该模型矩形扫描孔径效应[1],否则与脉冲响应和0(有关详细信息,请参阅第八部分)。对于这个操作符,项方法返回一个零估计;标量小波收缩不能救助信号组件因为几乎所有的小波系数与高方差的噪音。
事实上,即使在项的设计问题,我们也将证明远期MSE最优项相同的衰减率随着样本数量的增加。进一步说,对于这样的问题,我们将通过实验证明提出的MSE性能优越而项在一个广泛的实际样本大小(见图6(a))。
D.相关工作
Kalifa 和 Mallat提议小波基础方法,类似于项但采用标量收缩小波领域适应有色噪声 而不是收缩在传统小波域[2]。虽然改编依据改善项性能在某些“双曲线”反褶积问题,类似于项,它提供了任意卷积算子估计不足。例如,对于无所不在的箱式车模糊 ,大多数信号组件丢失在标量收缩由于高方差的噪音。图7(b)说明与小波竞争方法,即使对于一个双曲反褶积问题。
类似于,Nowak和Thul[11]首先使用一个正规化系统逆,随后使用小波域信号估计。然而,他们不解决这一问题的最优正则化和趋于正解的结果。
Banham和Katsaggelos应用多尺度卡尔曼滤波反褶积问题[12]。他们的方法使用一个正规化约束最小二乘法。
约束最小二乘法预滤器减少的状态向量小波领域的支持,从而提高计算效率。正规化的数量为每个小波尺度选择是可靠的下界,允许边缘分类。在类似的精神多尺度卡尔曼滤波方法,提出采用简单的维纳或在傅里叶域中Tikhonov正则化优化MSE性能。此外,提出采用简单的标量收缩的小波系数与更复杂的预测在边缘和无边缘利用[12]。因此,正如视频节所讨论的,向前展示优秀的MSE性能随着样本数趋于无穷时,事实上,在某些情况下,渐近最优的。在第八部分,进一步提出收益率比多尺度卡尔曼滤波方法更好的估计。
存在大量的文献对迭代反褶积技术，见[ 4 ]，[ 13 ] [ 15 ]，并在其中的引用。在本文中，我们专注于为进出口而非迭代技术实施的速度和简单性。然而，许多迭代技术可以利用的正向估计作为种子初始化它们的迭代，例如，见[ 16 ]。
E.书面组织
我们首先提供的卷积设置更精确的定义（1）在第二。然后，我们讨论的技术，采用标量傅立叶收缩在第三节简要重新查看小波理论在第四节中，我们介绍了WVD技术节我们将在第六混合方案并讨论其实际执行段VII。说明性的例子莱斯位于第八节。我们的结论与素描IX.在附录A和技术在附录B–D完成本文证明短WVD审查的未来方向。
二，采样与反褶积
最真实的反卷积问题起源于连续时间和进行抽样。在这一节中，我们勾勒出这样一个采样的连续时间设置和设置与二离散的循环卷积，本文认为看到[（1）]。
考虑下面的采样连续时间反褶积的设置： 一个未知的有限能量信号 由线性卷积模糊（用*表示）与已知的有限能量脉冲响应线性时不变系统的和损坏的添加剂的高斯西安过程 形成观察 。有限的支持 和，有限的支持 可以利用循环卷积具有足够大的时期了。无限的支持 和 ，逼近 利用循环卷积可以通过增加期任意精确。因此，我们假设观察 在归一化单位区间可以使用圆形的卷积结合单位的时期，即 和 。反褶积的目的是估计 ，从样本的连续时间观察。
例如， 可以通过平均 在均匀间隔的长度1/N区间估计。
其他采样内核也可用于在（7）；2看[ 17 ]和[ 18 ]为优秀的采样指南。这样的设置扩展新的许多现实生活中的反卷积问题[ 1 ]。
观察样品 从（7）可以密切近似的观察 [ 1 ]；
三，基于傅里叶的正则反褶积（前向）
框架
傅里叶域是对比性[ 4 ]传统的选择因为卷积简化标量傅里叶操作。也就是说，（1）可以改写为
其中Y，X，H和是各自离散傅里叶变换的长度（DFT）的y，x，h，和，和，
。（假设N是偶数）是归一化的DFT频率。重写伪逆运算[见（2）]在傅里叶域
其中是 DFT，清楚地表明，噪声成分，特别是在 扩增算子反演。
通过傅里叶收缩反褶积，我们称之为基于傅里叶正则反褶积（前向），衰减噪声X放大与收缩。
其中，通常称为正则项[ 4 ]、[ 21 ]，控制收缩量。对福特的估计 的DFT组件常写为
和 包括 表示保留信号 各自的DFT泄漏噪声 组件包括福特估计 [见（5）]。通常情况下，操作员反转在（10）和收缩（12），同时进行，以避免数值不稳定性。
不同的福特技术，如LTI维纳对比等[ 3 ]、[ 4 ]和吉洪诺夫正则化反卷积[ 21 ]，不同的收缩 选择（12）。LTI维纳对比性集如下。
- 中令 可增强伸缩幅度。（14）中令课得到一个平坦的信号频谱。
B.FoRD的优势
傅里叶域提供的有色噪声 最经济的表示在（2）由于傅里叶变换作为Karhunen-Loeve变换[ 22 ]，解相关的噪声 。因此，在所有的线性变换，傅立叶变换捕获的最大的有色噪声能量，使用固定数量的系数[ 23 ]。求最好的FoRD MSE可用公示如下。
C.FoRD的限制
不幸的是，在傅里叶域不提供经济性表示信号的奇异性，如图像的边缘，因为奇点遍及许多缶能量傅里叶系数。因此，即使有最好的标量傅里叶收缩，福特均不尽人意，取决于下界（6）。估计误差在形式上是明显的扭曲，如环绕边缘的奇异性（见图4）]。
四，背景小波
在对比傅里叶表示，小波提供经济表示不同类包括奇异如图像信号[ 7 ]，[ 24 ]。
小波变换
离散小波变换(DWT)代表一个一维的连续时间信号的低通滤波器尺度函数和转移扩张版本的原型带通小波函数[7]。为特殊的选择和功能形成一组标准正交基。
B.小波表示的经济性
小波提供了经济表示信号的平滑空间如Besov空间[8]。大致说来,Besov空间包含的功能与“衍生品”测量细光滑区别[24]。Besov空间不同,描述许多类信号除了索伯列夫空间信号。
C.基于小波收缩的信号估计
小波变换的经济信号表示有利于从AWGN干扰观测[ 19 ]估计信号 问题的有效解决，[ 20 ]、[ 26 ]、[ 27 ]。
这样的设置是类似的估计x，但与认同 算子。在 标量小波域的简单的收缩可以提供优良的估计。这种收缩是基于额定bk和的小波基函。
阈值缩小如下。
在实践中,小波域维纳滤波器(WWF)改善硬阈值的均方误差性能采用维纳估计在每个小波系数[28]。世界自然基金会选择
然而，构建像Oracle阈值系数 需要未知参数 。因此，一个“未知信号的试点”估计是首先计算使用硬阈值（例如，令表示256乘以 256的图像）。然后，利用 估计的小波系数（19），是世界自然基金会收缩。足够不同的小波基函数必须是SED在两步[ 28 ]。
五，wavelet-vaguelette反卷积（
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