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使用Leacute;vy Walk和Firefly Algorithms的鹰策略随机优化算法
摘要: 大多数问题是非线性全局优化问题,因此很难解决,而且当不确定性存在于目标函数和约束条件中时,他们将变得更加具有挑战性。本文为随机优化算法提供了一种新的两阶段混合搜索方法,叫做鹰策略。这一战略将使用列维行走（Leacute;vy Walk）和萤火虫算法（Firefly Algorithms）结合随机搜索以方程迭代的方式运行。数值研究结果表明,推荐的鹰策略对随机优化算法是非常有效的。为更进一步的研究,在文章最后将讨论该算法实际意义和潜在的主题。
- 介绍
为了找到任何优化问题的解决方案,我们可以使用传统的优化算法,如爬山和单纯形法,启发式遗传算法等方法,或适当的组合。现代元启发式算法在解决全局优化问题特别是对于非确定性多项式难度问题,如旅行推销员问题变得十分强大。例如,基于自然中的群体行为如鱼和鸟教育,肯尼迪和埃伯哈特于1995年开发了粒子群优化(PSO)。它已经被应用于许多优化应用程序找到解决方案。另一个例子是第一作者开发的萤火虫算法,该算法已证明比其他很多算法更有优越性。在这些随机控制和开发问题上,多智能体算法搜索策略是最佳解决方案。然而,这样的随机化通常使用一个均匀分布和高斯分布。事实上,由于算法的发展,相当多的算法被开发出来,他们可以以不同的方式优于PSO。另一方面,总是有一些与所有实际的优化问题想联系的不确定性和噪声。随后,目标函数可能有噪音,而约束也可能随机噪声。在这种情况下,一个标准的优化问题成为一个随机优化问题。适合标准优化问题的方法不能直接适用于随机优化;否则,结果不正确,甚至毫无意义。优化问题要么需要正确的新配方,要么需要进行相应的修改,虽然在大多数情况下,我们两个都要做。
在这篇文章中,我们打算制定一个新的元启发式搜索方法,叫做鹰策略(ES),它结合了利维走搜索与萤火虫算法(FA)。我们将提供ES与算法的比较研究及其他相关算法。我们将首先概述鹰策略的基本思想,然后概述萤火虫算法的本质,最后对这些算法的性能进行比较。
- 随机多目标优化
一个普通的没有噪音或不确定性的优化问题, 可以写成:
(1)
服从于,
, (2)
式中表示设计变量的向量。
对于随机优化问题，不确定性和噪音对设计变量的影响能用随机变量和一个分布来描述，如下式：
， (3)
和 ～， (4)
使用最广泛的分布是高斯分布或正态分布N(,sigma;)，其中为平均值，sigma;为已知的标准差。因此,目标函数就变为随机变量(x,xi;)。
现在我们必须将最优化问题转化为求目标函数(x)或者最小平均值问题，如下式：
(5)
这里是的平均值或者说期望，其中。更一般地说，我们也能概括导致下式最小值的不确定性：
(6)
式中是一个大于零的常数。此外，不确定性约束也应该相应地进行修改。
为了估计,我们必须使用一些抽样技术，例如蒙特卡罗方法。一旦我们有
了随机样本，可以得到下式：
, (7)
式中表示样品的数量。
- 鹰策略
鹰的觅食行为如金雕是十分具有启发性的。鹰觅食时以随机的方式自由飞翔在自己的领土里，就像利维航班。一旦发现猎物,老鹰将会改变其搜索策略来加强追逐战术,尽可能有效地抓住猎物。鹰的狩猎策略中有两个重要部分:通过列维飞行(或步行)随机搜索和通过锁定目标对目标进行密集的追逐。
此外,不同的研究表明,许多动物和昆虫的飞行行为证明了利维飞行的典型特征。雷诺兹和弗莱的最近的一项研究表明,果蝇使用一系列直线飞行路径来探索地形时会被突然的90度转弯打断,导致列维飞行模式间歇性无尺度搜索模式。研究人类行为例如Ju /rsquo;hoansi狩猎觅食模式也显示了列维飞行的典型特征，甚至光线也与列维飞行相关。随后,这种行为已经应用于优化和最优搜索,而其初步结果证明了这种策略是很有发展希望的。
3.1鹰策略
现在让我们把两级战略鹰的觅食行为理想化。首先,我们假设鹰将在整个领域执行列维行走。一旦它发现一个了猎物它将改变追逐策略。其次,追逐策略可以被看作是一个使用其它优化技术如最陡下降法,或下山单纯形法的密集的本地搜索。显然,我们还可以使用其它有效的元启发式方法如粒子群优化(PSO)算法和萤火虫算法(FA)进行集中本地搜索。拟议鹰策略的伪代码如图1中所概述。
球面的大小取决于目标函数的形状。如果目标函数是单峰,那么超球面的大小可以是大小相同的域。在原则上全球最适度可以从任何初始猜测中发现。如果目标是多通道, 那么超球面的大小应该是典型的本地模式。在现实中, 在优化之前我们不了解目标函数的景观,我们可以从一个更大的领域把它缩小，或者使用一个较小的尺寸然后逐渐扩大。
图1 鹰策略的伪代码(ES)
表面上,鹰策略与随机重启爬山法有很多相似之处,但两者有重要的差异。首先,ES是一个两阶段的策略,而不是一个简单的迭代方法,因此ES打算把良好的随机化(多元化)技术与集约、高效的本地搜索的全局搜索方法相结合。其次,ES使用列维行走而不是简单的随机化,这意味着全球可以探索更有效的搜索空间。事实上,研究表明,利维行走远比简单的随机游走探索更有效。
利维行走有一个来自列维分布的随机步长：
Leacute;vy～, (8)
式中拥有一个有着无限的意思的无限的方差。这里的鹰移动的脚步实际上是一个有着幂律步长分布和沉重的尾巴的随机游走过程。特殊情况lambda;= 3对应于布朗运动,而ES使用列维行走和萤火虫的随机优化算法。
而lambda;= 1时就有随机隧道的特点,这可能是避免被困在本地的更有效的最适条件。
对于本地搜索,我们可以使用其它有效的优化算法如下山单纯形(Nelder-Mead)或元启发式算法例如PSO和萤火虫算法等。在本文中,我们使用了萤火虫算法局部搜索,因为萤火虫算法旨在解决多通道全局优化问题。
3.2萤火虫算法
现在我们简要概述萤火虫算法由第一作者开发出来的的主要部分,灵感来自萤火虫的闪光模式和特点。为简单起见，现在在描述算法时我们使用以下三个理想化的规则:1)所有萤火虫是不分男女的,这样一个萤火虫会吸引其他的萤火虫,不管他们的性别;2)吸引力和它们的亮度成正比,因此对于任意两个闪烁的萤火虫,不太亮的萤火虫会走向更加明亮的一个。吸引力与亮度成正比，因此它们都会随着距离的增加而减少。如果没有一个比特定萤火虫更加明亮的萤火虫,它会随机移动;3)一只萤火虫的亮度受目标函数的景观影响。对于一个最大化问题,亮度只与目标函数的值成正比。
图2 萤火虫算法的伪代码（FA）
萤火虫算法,有两个重要的问题:光强度的变化和配方的吸引力。为简单起见,我们可以假设一个萤火虫的吸引力由它的亮度所决定，而亮度相应地与编码的目标函数相联系。对于最大优化问题，在最简单的情况下,萤火虫的亮度I在特定的位置x可以描述为 I(x)prop;f(x)。然而,吸引力beta;是相对的,它应该从旁观者的角度观察或者由其他的萤火虫判断。因此,在萤火虫i和j之间它将随距离变化而变化。此外,光强度随距离其来源远近而减少,光强也会被传播媒介所吸收,所以我们应该允许吸引力随吸收的程度变化而变化。在最简形式下, 光强度I(r)根据平方反比定律变化，是光源的强度。对于一个给定的媒介与一个固定的光吸收系数gamma;,光强度I随距离r变化而变化。公式是：
, (9)
是初始光强。
因为由相邻的萤火虫观察，一个萤火虫吸引力与光强度成正比，我们现在可以由下面公式定义萤火虫吸引力beta;：
, (10)
表示在r=0处的吸引力。
任意两只萤火虫i和j分别在和处，它们之间的笛卡尔距离为：
, (11)
一只萤火虫i被另一只更有吸引力（更明亮）的萤火虫j所吸引的动作由下式决定：
, (13)
我们试着使用不同的参数值alpha;, ,gamma;模拟之后,我们得出结论, 对于大多数应用我们可以使用= 1,alpha;isin;[0,1],gamma;= 1,lambda;= 1。此外,如果范围在不同的维度发生显著的变化如minus;到是一个维度,另一个维度是minus;0.001到0.01,那么用来取代alpha;是一个很好的主意 , 表示在第d维的缩放参数（k=1，hellip;d）应该由实际利益问题的尺度决定。
存在两个重要的极限情况当gamma;→0和gamma;→infin;。对gamma;→0,魅力是常数beta;=和长度尺度Gamma;= 1 /radic;gamma;→infin;,,这就是等于说光强度在一个理想化的天空下不会降低。因此, 在领域里的任何地方都可以看到闪烁的萤火虫。因此,一个单一的(通常是全球)最佳度很容易达到。这符合先前讲的粒子群优化(PSO)的一个特例。随后,这种特殊情况的效率和PSO的大概相同。
另一方面,极限情况下gamma;→infin;导致Gamma;→0和beta;(r)→delta;(r)(狄拉克delta;函数),这意味着看到其它萤火虫吸引力几乎是零，或者萤火虫是近视的。这相当于萤火虫随机漫步在一个多雾的地区的情况。没有其它萤火虫可以看到,每个萤火虫以
完全随机的方式徘徊。因此,这对应于完全随机搜索方法。萤火虫算法通常是在这两个极端情况之间的某个点上,因此可能性是很大的通过调整参数gamma;和alpha;,使它比随机搜索算法和PSO更好。
- 仿真和比较
4.1验证
为了验证该算法,我们在Matlab实现了它。在我们的仿真中,参数的值是alpha;= 0.2,gamma;= 1,lambda;= 1, = 1。作为一个例子,我们现在使用ES找到Ackley函数的全局最优。
图3 两个独立变量的Ackley函数在（0，0）处全局最小值仿真
, (14)
对于给定的2.5%水平的噪音，全局最低二维大概能够在300次函数评估后找到(对于20萤火虫在15迭代之后)。
图4 带有高斯噪声的二维Ackley函数matlab仿真
4.2比较ES和PSO
各种研究表明对于求解许多优化问题PSO算法比遗传算法(GA)和其他传统算法更具优势。部分原因是由于这一事实,当前最好的评估传播能力提供了更好、更快地收敛到最优估计实现方法。评估进化算法的数据表现的一般框架，Shilane et al进行了详细的讨论。
现在我们将使用各种标准测试函数来比较鹰策略和PSO算法。为了得到有意义的统计分析，我们使用Matlab实现这些算法后,进行了大量的模拟，每个算法运行了至少100次。算法运行会停止当函数值的变化小于一个给定的公差εle;10minus;5。结果总结在下表中(见表1),表中达到了全球最优准则。
这些数字是这种格式:评估平均值(成功率),因此12.7plusmn;1.15(100)意味着函数评估的平均值（平均数）是12.7times;103 = 12700，标准偏差为1.15times;103 = 1150。该算法找到全球最佳状态的成功率为100%。这里我们使用以下缩写:MWZ表示d = 16时的Michalewicz函数；RBK表示d=16时的Rosenbrock函数；De Jong表示d = 256时的De Jong的球面函数；Schwefel表示d = 128时的Schwefel函数； Ackley 表示d = 128时的Ackley函数；Shubert表示 有18个极小值时的Shubert函数。此外,所有这些测试函数都有一个2.5%的高斯噪声,即sigma;= 0.025。此外, 在我们所有的模拟中，我们使用了人口大小为n = 20。
图5 20只萤火虫的初始位置（左）和15次迭代之后位置（右）
我们可以看到,ES是对于找到全球最适条件是更加明显、有效的，因为它有100%的成功率。在现代个
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