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奇异摄动微分差分系统的稳定性：一种LMI方法
E．Fridman
电机工程、系统学系
特拉维夫大学，拉马特.特拉维夫，69978，特拉维夫市，以色列
摘要：对于具有时滞的线性奇异摄动系统，在一般情况下，当时滞和独立时，得到了奇异摄动参数 的所有足够小值的稳定性的充分条件。利用适当的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数，给出了线性矩阵不等式（LMI）的充分时滞相关条件。利用广义系统模型变换和帕克不等式导出了线性矩阵不等式。得到了一种无记忆状态反馈稳定控制器。对于多参数不确定性系统的解。数值算例说明了新理论的有效性。
关键词：奇异摄动，时滞系统，稳定性，线性矩阵不等式，时滞相关准则。
1.介绍
众所周知，如果常微分方程组是渐近稳定的，那么这个性质对于小的延迟是鲁棒的（见[2]，[12]）。在[13]中给出了系统的例子，其中小延迟改变了系统的稳定性（另见参考文献）。所有这些例子都是无限维系统，例如差分系统、具有不稳定差分算子的中立型系统或偏微分方程系统。对小延迟敏感的系统的另一个例子是广义系统[18]。最近，一个新的例子已经给出了一个有限维系统，在闭环中它可能会由于引入小延迟而不稳定[5]。这是一个异常摄动的系统。请考虑以下简单示例：
其中(t)R和gt; 0是一个小参数。式（1）对于h=0是稳定，但是对于小延迟h=g，ggt;/2，系统变得不稳定（见例[2]）。
研究了具有时滞的奇摄动系统在两种情况下的稳定性：1）h和成正比2）和h相互独立。第一种情况不如第二种情况一般，在许多出版物中都会遇到（见[3]、[10]和其中的参考文献）。第二种情况已在[19]，[20]的频域中进行了研究（另见本文中的参考文献）。在[5]中介绍了一种基于李雅普诺夫的方法来解决导致线性矩阵不等式的问题，这种方法适用于一般情况下的独立延迟和。线性矩阵不等式条件是充分的，因此更为保守。然而，对于不确定系统的鲁棒稳定性和其他控制问题（见[17]，[22]），LMI的方法比频域方法更适用。
[5]的LMI稳定条件是基于许多作者使用的具有延迟的正则系统的保守模型转换（见[17]、[16]及其参考文献）。[5]的保守性以及在常规情况下（见[14]，[11]）的保守性是双重的：转换方程不等于对应的微分方程，交叉项上的界限是浪费的。最近，引入了一种新的（相当于原方程的）模型变换——描述符变换——对具有时滞的正则系统进行稳定性分析[4]。此外，在[21]中得到了交叉项的新边界和新的时滞相关稳定性准则。
本文采用[4]和[21]方法构造了适当的李亚普诺夫-克拉索夫斯基泛函，并导出了独立时滞情况下具有时滞的奇摄动系统的LMI稳定性条件足够小gt;0。此外，当gt;0时，我们得到了稳定的依赖的LMI条件。因此，通过求解后一个线性矩阵不等式以增加的值，可以找到保持稳定性的上界。得到了多主题不确定性系统的稳定性条件。我们构造了一个独立的状态反馈控制器，该控制器可以使系统在足够小的情况下保持稳定0，通过求解独立的LMI，后一个LMI对应于相应描述系统的状态反馈稳定。
注：上标lsquo;Trsquo;表示矩阵转置，表示向量范数为1的n维欧几里得空间， 表示所有nm实矩阵的集合，Pgt;0表示p表示p是对称的正定的。我们还表示
2 LMI稳定条件
2.1。sgt;0的延迟相关条件。
给定以下系统：
其中是系统状态向量，矩阵是由
给定，其中gt;0是一个小参数。假设时间延迟hgt;0为已知值。为了简单起见，我们采用了一个延迟，但对于任何有限个延迟的情况，所有的结果都很容易推广。
表示矩阵和是适当维度的常量ntimes;n矩阵。（2）中的矩阵具有以下结构：
在本节中，我们要求是非奇异的。
考虑快速系统：
带特征方程
给出了（2）的鲁棒稳定性的必要条件。
引理2.1 [5]让[2]对于所有足够小的ε和h。那么对于所有gge;0特征方程（6）没有实数部分为正的根。
根据这个引理，我们得到了渐近稳定性的判据，它与快速变量的时滞无关，与慢速变量的时滞相关。以下[4]我们以同等形式表示（2）：
（7）
后一种系统可以用以下形式表示：
当
系统（7）的Lyapunov-Krasovskii功能的形式为：
具有
其中
（10）的第一项对应于广义系统，第二和第四项对应于x的延迟相关条件，第三项对应于x2的延迟无关条件。对于s=0，Lyapunov-Krasovskii函数（10）对应于（8）的广义系统，其中ε=0[6]。我们得到以下信息：
定理2.2（i）给出了gt;0，hgt;0，如果存在矩阵系统（2）是渐近稳定的。
其中
和
证明：（i）区分（10）的第一项关于t，我们有：
将（7）代入（14），得到：
对于任何（m n）times;（m n）-矩阵Rgt;0和M以下不等式成立[21]:
我们用（17）代替（15）。因此，如果（12）保持不变，则dv/dtlt;0且（2）内部稳定。（ii）如果（12）对于e=0是可行的，那么对于所有足够小的sgt;0是可行的，因此由于(i)(2)对于这些egt;0的值是渐近稳定的。LMI（12）相对于H是凸的。因此，如果它对于某些H是可行的，那么它对于所有0lt;lt;h。
2.2描述系统的依赖于延迟的稳定性。
我们将证明（12）=0保证了描述符系统（2）的渐近稳定性，其中ε=0。下面的引理将是有用的：
引理2.3 [6]假设差分方程
是渐近稳定的，或等价的[12]假设所有特征值都是单位圆。如果存在正数alpha;，beta;，gamma;和连续函数V：
函数v（t）=v（xt）是绝对连续的，满足ε=0的X（t）（7），则（7）（因此（2）s=0）是渐近稳定的。
考虑S=0的描述符系统（2）。如果（12）保持ε=0，那么（10）的Lyapunov-Krasovskii函数（e=q）是非负的，并且具有负的定导数。根据引理2.3，如果所有的特征值都在一个单位圆内，则后者保证了描述系统的渐近稳定性。接下来我们证明（12）与ε=0产生以下不等式：
这保证了快速系统（5）在所有延迟ggt;0下的稳定性。因此，hurwitz和所有的特征值在一个单位圆内。
引理2.4如果（12）的ε=0是可行的，那么（19）是可行的，快速系统（5）对于所有的延迟ggt;0是渐近稳定的，是Hurwitz，并且所有的特征值都在单位圆内。
证明。从0lt;，0lt;的要求可以明显看出，在（12）必须是负定的，是非奇异的。
定义
(20)
将（21）乘以从左到右的diag {}从（19）可以看出，是Hurwitz，所有的特征值都在一个单位圆内[6]。
引理2.5：4根据定理2.2，引理2.3和2.4，我们得到：
对于s=q的描述系统（2）的稳定性，要求（12）的可行性为（0），p11gt;0；而p13可以是非对称的。P13的正性保证了（2）的稳定性，足够小且大于0。
例1[5]。考虑系统
对于h=0，这个系统对于所有足够小的ε是渐进稳定的，因为A1和A2保持不变。众所周知（如[12]）快速系统（t）=-（t） 0.5（t-g）对所有g都是渐进稳定的，因此满足了对小ε鲁棒稳定的必要条件。在[5]中表明，对于小的ε和h，系统是稳定的，并且对于ε=0.5，h=0，系统是不稳定的。[5]的条件是保守的。因此，对于ε=0（22）是延迟独立稳定的[6]，而对于ε=0的[5]的LMI仅对于hlt;0.144是可行的。
应用定理2.2，我们发现对于0le;εle;0.3，系统在所有延迟下都是不对称稳定的，而对于ε=0.4，系统在0le;h0.0048下是渐进稳定的（与[5]中得到的0le;h0.001相比）。当=0.5 LMI（12）时，对于h→0不可行，因为系统对于h=0不稳定。我们发现，本论文的结果基本上比[5]的结果保守。这是由于系统的新（描述符）模型转换和交叉项的park界。
2.2。延迟独立条件
定理2.6。如果存在n times; n矩阵的形式，则系统（2）对于所有εgt;0是渐近稳定的。
当 times;矩阵gt;0和 x 矩阵n times; n矩阵U=，R=，满足以下LMI：
如果（23）对于ε=q是可行的，那么系统（2）对于所有足够小的εgt;0是独立的非对称稳定延迟。
通过使用形式的Lyapunov-Krasovskii函数，通过类似于定理2.2的论证获得证明
另一个与延迟无关的条件来自定理2.2。为
LMI（12）表示delta;→0 以下与延迟无关的lmi：
其中
如果LMI（25）是可行的，那么（12）对于（24）给出的足够小的εgt;0和w和r是可行的。因此，根据定理2.2，以下推论如下：
推论2.7给出εgt;0；如果存在0lt;=，，和=，S =满足（25），则系统（2）对于所有gge;o，hge;0是渐近稳定的。
2.5。具有多主题不确定性的奇摄动系统的稳定性。对于已知系统矩阵,i=0,1的系统（2），推导出了本节的稳定性准则。然而，由于这些准则的LMI在系统矩阵中是仿射的，因此定理可以用于在系统矩阵不完全已知且位于给定多面体中的情况下，推导出保证稳定性的标准。
其中多面体的n个顶点由
例如，根据推论2.5，我们很容易得出以下结论：
推论2.8考虑（2）的系统，其中系统矩阵在多面体Omega;内。如果（11）的值为0，那么该系统对所有足够小的值都是渐进稳定的。
3 基于无记忆状态反馈控制器的时滞相关鲁棒稳定
我们将前一节的结果应用于稳定问题。给定系统
其中由（3）定义。在本节中，我们不假设A04是非奇异的。类似于没有延迟的情况（具有A1=0），我们称这种系统为非标准奇摄动系统。对于=O且无延迟的奇异A04开环系统（26），即也就是说，指数大于1（见例[1]）。因此，u=0且有延迟的系统（26）的索引，在[6]中定义为等于（26）的索引。当A1=0时，高于1。这样的系统有一个脉冲解[6]。A04的非奇异性保证了u=0[9]的（26）初值问题解的存在性和唯一性。
我们寻找状态反馈ε独立增益矩阵k，通过控制律
使系统（26）对所有足够小的ε稳定。由于延迟依赖条件不太保守，因此我们推导了它们。将（27）代入（26），我们得到（2）的结构，用A0 B2K代替A0将定理3.1的（ii）应用于上述矩阵，由于项和，得到非线性矩阵不等式。因此，我们考虑从（12）导出的定理2.1的另一个版本。
为了获得LMI，我们必须将自己限制在W0=delta;p0的情况下，其中delta;ϵR是一个标量参数。注意，对于delta;=-1（12），得出推论3.6的延迟独立条件。正如引理2.3的证明中提到的，P0是非奇异的。定义=Q0乘以（20），∆=diag {Q,}我们将（12）分别乘以左边和右边的∆t和∆。将Schur公式应用于Q中的二次项，我们得到以下不等式：
(28)
其中
表示K=Y，我们得到：
定理3.1考虑（26），（3）的系统。（27）的状态反馈律渐近稳定（26），（3）对于所有足够小的εgt;0，如果对于某些规定的标量delta;ϵR，存在0lt;Q1ϵ, 0lt;s= ϵ. 0lt;U= ϵ. Q2ϵ和Q3ϵ，ϵ。
（30）
其中
然后状态反馈增益由K=Y给出。
例2：我们考虑系统
其中
注意，在这个例子中=0。应用定理3.1，例如h=1，我们发现稳定状态反馈u=Kx，其中k=[42.4-1940.1]。将下一个定理2.2应用于闭环系统（31），u=Kx，我们证明了闭环系统在hlt;1.39和εgt;0时是渐近稳定的。对于h=1.4，这些定理的LMI不适用于所有大于0的值。
定理3.1中的LMI是系统矩阵中的仿射。因此，它也适用于这些矩阵是不确定的，并且已知存在于给定的多面体中的情况。
4结论
针对线性时不变奇摄动系统的稳定性和鲁棒状态反馈镇定问题，提出了一种LMI解。利用独立的线性矩阵不等式给出了系统渐近稳定的充分条件，保证了相应描述系统的稳定性。针对非标准奇摄动系统，利用该线性矩阵不等式导出了状态反馈ε独立稳定控制器。控制器使解扰器系统和奇摄动系统在εge;0的情况下保持稳定。新方法的另一个优点是，与传统的奇摄动方法不同（见参考文献[15]），它还为基于E的LMI的前胶原εgt;0的稳定性提供了充分的条件。通过求解后一个线性
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