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快速采样离散时间奇异摄动系统的Hinfin;控制

Jiuxiang Dong , Guang-Hong Yang

College of Information Science and Engineering Northeastern University, Shenyang, 110004, PR China

Key Laboratory of Integrated Automation of Process Industry (Ministry of Education), Northeastern University, Shenyang, 110004, PR China

Received 9 April 2006; received in revised form 13 September 2007; accepted 9 October 2007

Available online 21 February 2008

摘要：本文所涉及研究了一类快速采样离散时间奇摄动系统的状态反馈Hinfin;控制问题。一个根据线性矩阵不等式(LMIs)的解，提出了一种新的Hinfin;控制器设计方法，这消除正则性限制并附加到基于Riccati的解决方案。一种计算奇异摄动系统参数上界的方法在满足Hinfin;性能约束的条件下，给出了相应的计算公式。此外, 还将结果推广到鲁棒控制器设计中, 实现快速采样离散时间具有多胞体不确定性的奇异摄动系统。给出了数值例子来说明所提出的方法的有效性。

关键词： 离散时间奇异摄动系统; 多胞体不确定性;Hinfin;控制;线性矩阵不等式 (LMIs)；状态反馈控制

1. 引言

众所周知，多时间尺度系统，也被称为奇摄动系统，通常会引起控制工程领域中的严重数值问题。 为了避免方程设计中与刚度相关的困难,通常是它们建模为带有一个小的奇异扰动参数ϵ奇异摄动控制系统, 以确定动态系统中的慢速和快速部分之间的分离程度。在过去的三十年里, 奇异的摄动系统经过许多研究人员的深入研究, 例如Kafri 和 Abed (1996), Li 和 Li (1995), Li, Chiou, 和 Kung(1999), Li 和 Li (1992), Lim 和 Gajic (2000), Xu 和 Mizukami (1997), Naidu 和 Rao (1985) 和 Singh, Brown,和 Naidu (1998)和一份研究报告 Naidu (2002年)。在奇异摄动系统的框架中, 有一种流行解决的方法，即所谓的降阶技术, 这是一个两步骤的设计方法。首先, 通过两个不同时间尺度上的两个低维子系统的分离稳定性, 再将两个子系统的两种稳定控制器合成复合稳定控制器。在不确定小奇异扰动参数ϵ的情况下也可以确定这个复合稳定控制器。根据降阶技术和Riccati方程法,对于连续时间奇异摄动系统的Hinfin;控制问题有在Fridman (1996), Lim 和 Gajic (2000),Pan 和 Basar (1993, 1994), Shi 和 Dragan (1999) 和 Tan, Leung, 和 Tu (1998).中被提到。离散时间的情况下, 可以是由三种模型表示: 在本质上是离散的纯粹奇异摄动系统，慢采样速率模型和快采样速率模型。 最后两个模型是离散化的连续时间奇异摄动系统。快速采样速率模型在稳定化最优控制方法的发展中更加具有实用性 (Kim、Kim, amp; Lim, 2002年)。在Naidu, Charalambous, Moore, 和 Abdelrahma (1994)中的慢速率采样离散时间奇异摄动系统，以及 Datta 和 RaiChaudhuri (2002年) 中的快速采样离散时间奇异摄动系统，基于两步骤方法和Riccati方程法, 分别给出了Hinfin;控制器设计方法。此外, 在Singh, Brown, Naidu, 和 Heinen (2001)的连续时间系统和离散时间系统的Hinfin;控制中还提供了综合的设计方法。

一般来说, 大多数这些控制综合方法是独立于ϵ的，以避免不良条件的发生。 因此，找到ϵ上界对于闭环系统的稳定性非常关键。通过考虑双交变积的临界稳定性判据，Ghosh，Sen, and Datta (1999) 和 Li et al. (1999)展示了一种复合方法来确定奇异摄动系统的精确的稳定性约束。此外，Pan, 和 Hwang (2000) 和 Hsiao, Hwang, 和 Pan (2003)还给出了一种计算奇异摄动参数的稳定性上限的算法。然而, 根据作者所了解，在满足 H infin;性能要求的情况下，求得奇异摄动参数上界的方法还没有人研究。在本论文中, 将呈现这种方法。

在过去的十年里, 线性矩阵不等式 (LMI) 技术已经被广泛利用来解决控制相关问题（Boyd，Ghaoui， Feron，amp; Balakrishnan，1994)。与Riccati方法不同的是，在系统和控制理论中出现的LMI方法可以表述为凸优化问题，能够计算并有效地解决方案问题(Boyd 等人, 1994年)。另一个LMI非常棒的的特点是它们对于参数优化问题添加约束的能力,它们本身关于未知数的约束是线性的 (Garcia, Daafouz,amp; Bernussou, 2002)。 特别是对于 Hinfin;综合方法，它的优点是消除了基于Riccati方法的正则性限制 (Gahinet, Nemirovski, Laub,amp; Chilali, 1995)。由于线性矩阵不等式的有点，在发展基于线性矩阵不等式的奇异摄动系统控制综合方法方面已经获得了较大的进展。特别是, 基于 LMI 技术,在Fridman (2006)中给出了具有范数边界不确定性的连续时间奇异摄动系统的状态反馈 Hinfin;控制器的设计方法。 Garcia 和 Tarbouriech (2003年) 研究了具有有界控制的线性奇异摄动系统的控制设计问题。在有极点配置的限制之后,，Lin和 Li (2006) 展示了设计满足鲁棒性Hinfin;动态输出反馈控制器的充分条件。上述控制综合的结果大多用于连续时间奇异的扰动系统。但是, 对于离散时间控制系统, 还没有基于LMI的解决方法。

本文将讨论快速采样离散时间奇异摄动系统的Hinfin;控制器设计问题。在 Vu 和 Sawaan (1993年) 和 Datta 和 RaiChaudhuri (2002年)中，通过构造关于与ϵ相关的李雅普诺夫函数, 利用一组与ϵ无关的线性矩阵不等式的解，给出了一种Hinfin;控制器的设计方法，可以避免LMI 中的病态数值问题, 并消除基于 Riccati方程式的正则性限制。 此外, 在满足 Hinfin;性能的要求下，还提出了一种方法来估计奇异摄动控制系统的ϵ约束上界。这篇论文的组织如下：第2节介绍了系统描述和问题陈述。在第3节,首先通过求解与ϵ无关的线性矩阵不等式, 提出Hinfin;控制器的设计方法，然后提出一种计算满足的 Hinfin;性能要求奇异摄动参数ϵ的上界的方法。第4条结果扩展到系统的多胞性不确定性。此种方法的有效性由第5节中的两个数值例子来说明。 最后, 在第6节给出了结论。

符号: (*) 用于对称引起的块矩阵。 上标T 代表矩阵转置，符号 表示 m 的逆矩阵的转置。 L₂是由[0,infin;)上所有可平方可求和的离散时间向量值函数组成Lebesgue 空间。||z||₂ 表示向量值函数 ||z|| 的L₂范数。

2．系统描述和问题陈述

考虑到以下快速采样离散时间奇异摄动系统:

=u(k)

z(k)=]u(k) (1)

(k) isin; , (k) isin; 是状态向量, w (k) 是 干扰输入, u (k) 是控制输入, z (k) 是要控制的输出。正奇异摄动参数表示为。

注1： Datta和 RaiChaudhuri (2002年)、Li 和 Li (1995年)、Li 等人 (1999年) 和 Vu 和 Sawaan (1993年)对模型（1）分别进行了研究。

表示为：

= ，=[]，

= ， ]，

x(k)= (2)

然后系统 (1) 可以重写, 如下所示 ：

x(k 1) = x(k) w(k) u(k)

z(k) = x(k) w(k) u(k). (3)

考虑状态反馈控制规律

U (k) = (k) (4)

然后, 由以下公式得出闭环系统：

x (k 1) = ( K) x (k) W (k)

z (k) = (C1 K) x (k) W (k). (5)

在本文中, 我们研究了由非线性系统的L₂增益来表示扰动抑制问题，定义如下:

定义 2 (Lin amp; Byrnes, 1996年)：给定一个实数gamma; gt; 0，外源信号将随着gamma;局部衰减，如果存在一个x = 0的邻域 U, 对于每一个正整数 N和对应 w [0, N),适用于闭环系统的状态轨迹(1) (或 (39))对于所有 k [0, N] ，输入 x(0) = 0 属于 U, 则响应zL₂([0, N], 对于(1) (或 (39)) 满足

适用于所有N。 (6)

以下定理将在后续中使用。

定理 3。(i). 对于具有 0 lt; 1 的标量 和对称矩阵 Q₁₁gt; 0 满足

- (7)

然后

- (8)

(ii). 为正面标量 lowast; lt; 1, 如果对称矩阵 Q₁₁gt; 0 和满足 (7) 和

(9)

然后

对于所有 (0,] (10)

证明。(1). 对于所有非零向量xi; (k) = , 其中 xi;₁(k) 和xi;₂(k)前和后乘法 (7) (k) 和它的转置, 那么我们有

minus;

让 = , = (11)

然后 (11) 可以重写, 如下所示

minus;T_xi;Kge;Q_xi;K. (12)

由Q₁₁gt; 0, 接下来可以得出：

Q_xi;K=- (xi;₁(k)- xi;₂ (k)) le;0。 (13)

考虑到以下两种情况

(a): 如果 T<s

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料</s

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