六自由度机器人规定的工作空间的优化设计研究
摘要
基于D-H法，我们建立了六自由度工业机器人的运动学模型和逆运动学模型。使用图形化的方法，我们得到了六自由度工业机器人工作空间的边界曲线方程。根据规定的工作区，我们提出了六自由度工业机器人的D-H参数优化方法。我们使用遗传算法来确定六自由度机器人的结构尺寸，确保其工作空间完全可以包含规定的工作区。这种方法可以用来减少机器人的总体规模的大小，节约材料和减少机器人在其工作的时间内产生的能耗。
关键词
六自由度机器人 规定的工作空间 优化设计
- 介绍
机器人的工作空间是指机器人一系列的许多个可以达到的末端点的集合汇总[1]，有的时候也被称为可及空间。在机器人的设计和优化过程中，它是一种主要的方法[2]。基于图形化的方法，Xie Jun等人[3]分析一种新颖的中医按摩机械手臂的工作区域，并了解到这类中医按摩手臂上臂和前臂必须是相同的。Chen Zaili[4]提出了一种综合遗传算法的方法,这个方法指出在一个给定的三维区域空间的6-DOF并联机器人的工作空间必须包括所需的空间定向能力。硕士laribi[5]提出了用于给定工作空间的三角形并联机器人的最佳尺寸合成方法。
在实际工作条件下，当一个机器人完成一些特殊的任务，对其末端执行器的运动范围不全的工作，但必须包括在整个工作空间。由于运动的范围通常有一个不规则的形状，它可以被规定的工作区所替换，包括在机器人的合成过程中的这一系列的运动[6][7]。规定的工作空间必须满足以下两个基本的要求：1）工作空间是一个规则的几何模型，如长方体、圆柱体或球体等；2）工作空间必须包含一个机器人的末端执行器运动的整个范围并且也要具有最小的体积。
通常用于确定结构参数的方法具有尝试性和盲目性的性质。这一类的方法不仅十分的浪费时间，而且也很难获得一个具有结构紧凑的机器人。每一个不同的信息状态的环节也具有不同的结构参数。为了获得一个紧凑的结构，我们可以确定其相应的结构参数，使机器人可以获得最短信息距离[8]。本文基于规定的工作空间，提出了一种优化的六自由度机器人D-H参数设计方法。这种方法可以获得具有结构紧凑的六自由度机器人，其链接的长度之和最小，这样可节省材料。
- 对于一个六自由度机器人的工作空间分析
2.1 基于六自由度机器人的D-H坐标系齐次变换
Denavit和Hartenberg（D-H）方法首先是由Jacques Denavit 和 Richard S. Hartenberg提出的，是一种在机器人的应用参考框架中常用的方法[9]。D-H坐标框架可规定如下：1）Z轴是在关节轴的方向；2）X轴是平行于公线，Xn = Zntimes;ZN-1；3）Y轴是通过右手坐标系固定X轴和Z轴从而得到的。从而可以得到四个参数，这四个参数称为D-H参数，他们分别是theta;，D，A，alpha;。
在图1显示的一种应用于焊接生产线的六自由度机器人模型。由它所建立的D-H坐标框架如图2所示。D-H参数见表1。
设是从用D-H齐次变换矩阵坐标来表示，那么可以得到下面的方程：
其中Ci=cos(theta;i),Si = sin(theta;i). i= 1,2,hellip;,6 .
从基座到末端执行器的变换矩阵如下图：
2.2工作空间分析与仿真
由矩阵给出的方程（1）得出了十二个信息：nx, ny, nz, ox, oy, oz, ax, ay和az是九个状态信息，这九个状态信息决定了机器人的形态。px，py和pz三位置的信息得以能确定机器人位置。因为六自由度机器人的工作区范围是由状态信息决定的，所以在分析工作空间的时候，我们可以计算PX，PY和PZ。px，py和pz是由方程（2）给定的。
图1 六自由度机器人的三维模型
图2 6自由度机器人的D-H坐标系
表1 六自由度机器人D-H参数
|
关节 |
theta;i |
di |
ai（mm） |
aj（mm） |
theta;i的范围 |
|
1 |
Theta;1 |
0 |
a1=100 |
90 |
-180到 180 |
|
2 |
Theta;2 |
0 |
a2=705 |
0 |
-100到 110 |
|
3 |
Theta;3 |
0 |
a3=105 |
90 |
-60到 65 |
|
4 |
Theta;4 |
d4=755 |
0 |
-90 |
-200到 200 |
|
5 |
Theta;5 |
0 |
0 |
90 |
-120到 120 |
|
6 |
Theta;6 |
0 |
0 |
0 |
-400到 400 |
此处有c23 = cos(theta;2 theta;3), s23 = sin(theta;2 theta;3).
从方程组（2）中，我们可以推断出一个6自由度机器人末端执行器的位置定义的前三个关节（如图1所示的关节1，关节2和关节3）。所以我们可以定义第三连杆的一端（第四节点）的6R机器人工作参考点和点的参考工作点可以到达可以定义为6自由度机器人的工作空间的设置[10]。
要求让theta;1=0，根据图形处理的方法，我们可以得到对6R机器人工作空间的平面x0o0z0截面[11]。这是该地区所包围的弧线是图3中的Г1Г2Г3和Г4。6自由度的机器人的工作空间可以通过截面o0z0绕轴线旋转得到。三维视图和工作空间的三维剖视图分别显示在图4和图5。从图4中，我们可以看到，该工作区类似于一个球体。从图5中，我们可以看到在工作区中有一个空洞，当设计6自由度机器人，我们必须确保6自由度机器人的参考工作点达到腔不相交。
3 6自由度机器人D-H参数与规定的工作区优化
3.1 基于规定工作空间的机器人结构优化目标函数
根据给定的n个机器人末端执行器的工作点，我们可以确定包括这些工作点的最小矩形[6]。就像图6所示的那样，在规定的工作区的Delta;1是包括所有6自由度机械臂工作要点的最小矩形。Delta;1的尺寸是等于L1times; L2 times;L3。Delta;1是相对x0o0y0平面和y0o0z0平面对称的。图7显示了Delta;1的位置和工作区域。
机器人连杆长度的优化目标函数如下：
约束条件是：
图3 对6自由度机器人工作空间x0o0z平面的截面形状
图4 六自由度工作空间的三维视图
图5 三维横截面工作空间示意图
图6 规定的工作空间示意图
图7规定的工作区和实际工作区
lambda;1，lambda;2是常数，且lambda;1，lambda;2包含于（0.1）且lambda;1 lambda;2=1。F1（x）是链路长度的总和。F2（x）是在规定的工作区o0x0y0z和坐标原点o0之间的距离。m是链接的个数，QJ是第j个关节角度，n是关节的数目的多少，times;是三维向量，X = [xi]T，y是m n维向量。Y = [X,Q]T.
因为六自由度机器人最终执行器位置由第一三个关节所影响的（图1中的关节1、关节2、关节3），前四个链接的长度（图1中的链1链2链3链4）可以根据规定的工作空间进行优化。对象函数：
MinF（X) = lambda;1 ( x1 x2 x3 x4 ) lambda;2D(x1,x2,x3,x4 )（3）
D（X1，X2，X3，X4）是图6中adda飞机在图6中规定的工作空间和图6中的坐标o0x0y0z0距离原点o0图之间的距离。D（X1，X2，X3，X4）的取值是由工作空间内部空腔的大小确定。
图1中和水平面上的第一个轴之间的夹角为gamma;。根据D-H坐标系统的规则：
a1/cos(gamma;) = x1, a2 = x2, a3 = x3 和 d4 = x4.并且目标函数可以变形为如下，然后minf（x）等同于方程（4），这是：
Min lambda; x x x x lambda; （4）
3.2 约束条件
3.2.1 链路长度约束
考虑到实际工作的要求，连接的长度不能太小。A1，A2，A3和D4的范围应该满足以下规则：
3.2.2 关节角度约束
在图3所示中，连接的长度和关节角度是具有一定的尺寸要求的，当工作空间的截面面积最大时，o42点是在O1和O2的延长线上。与此同时，theta;3max= arctan（d4/a3）。
在实际现实的情况下和考虑到一定的干扰的问题下考虑结构问题，关节的旋转范围应该是有限的，theta;2和theta;3的范围可以设置为如下：
3.2.3 内腔的约束
在如图3所示中，让M1作为是Г2和Г3的半径，让M2是Г1的半径。于是可以得到：
其中，ϕ1 = 2pi; theta;2min theta;3min minus;theta;2max。
如果A1，A2和A3和D4是最小的，在图3所示中，Delta;1对y0o0z0平面的阴影应该刚刚对应A1、A2的连接。为了确保腔内不交叉，Delta;1应当满足以下的条件：
其中有：
gamma;1是图3o0y0线角中包括O42线和O22线。gamma;1=theta;2max theta;3minminus;theta;3max；gamma;2是图2中 o0y0线角包括o42和O1的线。gamma;2=theta;2max minus;ϕ2。phi;2是图3中包括O42和O1的线角和O1和O22线角。
3.2.4 关键点制约
在内部空腔约束下，让O41的y坐标小于或等于D值的坐标（X1，X2，X3，X4）。然后，在A1和A2的连接线的截面正恰恰是关于o0y0轴所相对应的对称。Delta;2空间可以围绕o0z0轴截面。Delta;2是相对x0o0y0平面和y0o0z0平面所对称的。如果C ( x′c ,y′ c ,z′ c ) 在Delta;2的内部，然后Delta;1必须包含在Delta;2和6自由度机器人的工作空间。与此同时点的限制也应该如下：
其中，M3=a2 M1；gamma;3=arctan[(L2/2)/(L1 a1 M2]；gamma;4= {arccos(L2/2)/ sin (gamma;3)minus;a1]/M2}。
4 应用
根据汽车车身的焊接的位置和分布，6自由度的机器人的指定工作区的空间尺寸：
L1times;L2times;L3=500 mmtimes;1650 mmtimes;1400 mm （10）
为了避免运动干扰，机器人的连接长度和关节角度是有限的。L1=100mm，L2=L3=L4=150mm，–120˚ le;theta;2 le; 120˚，–70˚le;theta;3。在等式3中，令lambda;1 = 0.65，lambda;2 = 0.35，基于遗传算法[12]，约束条件的最优解则如表
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