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项目管理中支付调度问题的公平方法
京迪兹、塞尔坎
抽象
这项研究报告了一种新的方法来解决付款计划问题。在这种方法中，确定客户支付并由承包商收取的付款金额和时间安排，以实现公平的解决方案。公平解决方案定义为承包商和客户均偏离各自理想解决方案的比例相等的解决方案。对于承包商和客户而言，理想的解决方案是分别在项目开始和结束时一次性付款。双循环遗传算法（GA）被提出来解决一个公平的解决方案。外循环代表客户，内循环代表承包商。内循环对应于多模式资源受限的项目计划问题（RCPSP），目的是在给定的付款分配中最大化承包商的净现值（NPV）。在寻找公平解决方案时，信息在外循环和内循环之间流动，涉及事件节点上的付款分配以及这些付款的时间安排。解决并分析了一个示例问题。解决了文献中的93个问题，并报告了一些计算结果。
关键词：项目管理、遗传算法、付款安排问题。
1.问题定义
对项目管理和进度安排文献的回顾表明，在资源受限的项目进度安排问题（RCPSP）上已经花费了大量的精力，目的是最大程度地缩短工期（Ouml;zdamar和Ulusoy，1995；Kolisch和Padman，1998）。直到最近，虽然对项目管理的财务方面进行建模的首次尝试还相当早（Russell，1970），但财务方面的考虑才引起越来越多的关注。通过使用净现值的最大化来将项目管理的财务方面包括在问题制定中（NPV）目标，其中包括整个项目的负现金流（支出）和正现金流（接收）。Herroelen等人最近对现金流量折现的项目网络模型进行了回顾。（1997）。
本文所处理的问题可以看作是付款计划问题的扩展。付款计划问题将付款金额和付款时间视为决策变量，可能会影响承包商和客户的财务回报。付款金额和时间安排是客户与承包商之间谈判中的重要议程项目。在此，假定付款发生在事件节点上。
在本研究中，不仅考虑承包商或仅考虑客户，而且考虑客户和承包商，从而解决了付款计划问题。这项研究的目的是首先尝试调查承包商与客户之间的谈判过程。承包商和客户都旨在最大程度地提高其财务回报，从而最大化其各自的净现值。包括利润率在内的预算由客户和承包商商定。承包商通过使用客户对预算的付款来支付活动费用。每当承包商的累计现金流量变为负数时，便假定承包商以比用于计算NPV的常规折现率更大的借入利率借入资金。承包商最优选的付款时间表是在项目开始时一次性获得总付款。在开始时收到总付款后，承包商将通过安排活动的方式来尽量减少其成本，以使现金流出量较高的活动被尽可能晚地安排。为了计算客户的NPV，假定预算一开始就很容易获得，并且从这笔一次性付款中减去客户所有支出的NPV。其余部分是客户不必先支付全部款项而获得的收益。客户最优选的付款时间表是在项目完成时一次性付款。这样客户就不必担心活动的时间安排，而只需担心项目的持续时间，因为这是直接影响客户NPV的因素。对于承包商和客户而言，最优选的付款方式将称为分别为承包商和客户的理想解决方案。
谈判过程的调查在此简化为寻求对承包商和客户双方都公平的解决方案。公平的解决方案被定义为承包商和客户均偏离各自理想解决方案相等百分比的解决方案，以达成折衷解决方案，以克服双方之间出现的进度分歧。公平的解决方案在双方均同意放弃其理想解决方案的平等百分比的意义上是公平的。
戴安娜和帕德玛（1993）从承包商的角度出发，制定了付款计划问题。他们提出了一个零一整数编程公式，并提出并测试了几种启发式方法。戴安娜和帕德玛提出了一个两阶段程序，其中第一阶段包括模拟退火算法，第二阶段重新安排活动以改善项目净现值。他们报告说，这种方法的性能明显优于戴安娜和帕德玛早些时候提出的基于问题的启发式算法。另一个主要结果是，第二阶段带来的改进确实相对较小。戴安娜和帕德玛从客户的角度研究了付款安排问题。介绍了几种混合整数线性规划模型。分析表明，通过安排项目提早完成，客户可以获得最大的收益。事实证明，按固定的时间间隔付款通常会增加客户的费用。戴安娜和帕德玛引入了几种确定性模型来分析付款计划问题，目的是使承包商的净现值最大化。在这些模型中，规定了最后期限，付款次数是固定的。一旦确定了要从客户那里收到的总付款，在项目进行过程中它就保持不变。他们建议所描述的模型可以由承包商和客户双方使用，但需要进行一些修改。
倍（1981）等人证明了如何通过现金支出和收益的有效时机来增加项目活动的利润。在他们的模型中，唯一施加的资源约束是现金，这被视为双重约束的资源。他们利用一个示例问题来说明如何最小化项目成本或最大化项目的预期价值。通过使用一个数字示例，他们显示出最佳计划随所选目标功能的不同而变化，并且取决于从承包商的角度还是从客户的角度来看。研究表明，资本成本对活动的最佳时间顺序有影响。
2.问题表述和解决方法
2.1问题表述
如上定义的支付调度问题通过弧上活动（AoA）网络来表示。问题的所有方面都具有确定性。假定在一个或多个活动完成时发生事件的事件节点处支付进度付款。该项目将在截止日期之前完成。所使用的资源是数量有限的可再生资源。通常，可以通过一种以上的资源组合和使用级别的方式来完成每个活动。完成一项活动的每种不同方式都与该活动相关的模式相对应。从一种模式切换到另一种模式会导致资源持续时间的折衷或资源与资源的折衷。将资源分配给活动一定数量后，假设此资源将在整个活动期间被该活动占用。每种活动模式都有不同的完成成本。假定与一项活动的成本相关的现金流量发生在该活动完成时。请注意，这不是限制性假设，因为与活动相关的任何类型的现金流量都可以使用适当的折现率折现为在活动结束时发生的等值金额。活动计划被认为是非抢占式的。请注意，这不是限制性假设，因为与活动相关的任何类型的现金流量都可以使用适当的折现率折现为在活动结束时发生的等值金额。活动计划被认为是非抢占式的。请注意，这不是限制性假设，因为与活动相关的任何类型的现金流量都可以使用适当的折现率折现为在活动结束时发生的等值金额。活动计划被认为是非抢占式的。
支付分配在此定义为客户在预先指定的事件节点处要支付给承包商的预算百分比。可能由客户甚至由承包商预先指定可能发生付款的事件节点，例如初始节点处的付款。另外，可以将可能发生付款的事件节点的数量限制为预先指定的数量。
给定付款分配，则可以通过为承包商解决确定性多模式资源受限的max-NPV问题来获得承包商的最大NPV。使用进度付款的时间安排，可以轻松地计算客户的NPV，因为客户仅受进度付款的金额和时间安排的影响。因此，通过取与理想NPV的百分比偏差之间的绝对差，可以使用等式计算给定付款时间表的目标函数值Z。目标当然是Z的最小化：
其中NPV 客户和NPV 续分别是客户和承包商的NPV。上标“理想”是每种情况下的理想解决方案。注意，0⩽ Ž lt;1。
2.2谈判过程
在协商过程中，信息在客户和承包商之间流动。客户向承包商建议事件节点上的付款分配。承包商收到此信息后，将准备一个项目进度表，以最大化其NPV，并将有关付款时间的信息发送回客户。客户可以使用此信息来计算其NPV。客户与承包商之间的互动如图1所示。使用公式计算目标函数值。（1）。根据此结果，客户建议进行新的付款分配。重复此过程，直到达到公平的解决方案。在导致公平解决方案的步骤中，NPV 客户取决于从其开始的初始解，NPV处于递减模式，NPV cont处于递增模式，反之亦然。
客户
付款数额
付款时间
承包商
图1。合同涉及方之间的互动。
3.双循环遗传算法
遗传算法（GAs）由Holland（1975）开发为模拟自然演化的人工自适应系统。由于它们在搜索复杂的搜索空间中的有效性和效率，它们越来越多地用于解决NP难题。已经提出了几种用于解决RCPSP的GA应用，目的是最小化制造时间。Ouml;zdamar（1999）提出了一种具有优先级规则的GA，该规则对具有可再生和不可再生资源的多模式RCPSP进行了编码。Lee和Kim（1996）报告了他们在RCPSP上使用模拟退火，禁忌搜索和遗传算法的结果。他们的遗传算法基于优先级值编码。森与曾（1997）仅使用可再生资源攻击多模式RCPSP。他们使用直接染色体表示法，其中每个基因对应一个活动，并包括模式分配，调度顺序和相应活动的开始-完成时间。GA方法与Drexl和Gruenewald（1993）的随机调度方法进行了比较，发现该方法可以提供更好的解决方案。由哈特曼（1997）开发的GA同时考虑可再生和不可再生资源。编码基于活动的优先级可行集及其模式分配。使用本地搜索扩展来改善基本GA找到的解决方案。对GA的几种不同变体进行了广泛的实验，并将结果与文献中的其他三种启发式方法进行了比较。相对于最佳制造期的平均偏差较低，拟议的遗传算法优于其他算法。Hartmann（1998）为RCPSP引入了基于置换的GA，并将其与基于优先级值和基于优先级规则的GA进行了比较，发现它优于两者。据作者所知，尚未针对多模式资源受限的max-NPV问题报告遗传算法应用。
为了解决该问题，设计了双回路GA。Gravel等人提供了双回路GA的示例。（1998）。在这里提出的方法中，双循环GA结构通过使用外循环和内循环来反映付款计划部分和项目计划部分。外循环捕获有关每个事件节点上总付款的百分比付款的信息。内部循环在事件节点处保存有关给定付款结构的活动安排的信息。
适用于内环和外环的GA管理的基本规则基本相同（图2）。一个初始种群是由随机产生可行解创建的，成为当前群体。整个GA 的人口规模保持不变。当前人口中的解决方案构成了一代解决方案。通过三项操作从当前一代中产生了新一代：再现，交叉和变异。许多ntilde; Euml;个人叫ELIT个人转载。为此，种群中的染色体以适合度值的非递增顺序列出，第一个复制了列表顶部的N e个染色体。通过将精英比率乘以人口数量来确定N e。从当前种群中选择一个个体，以适合的比例随机交配。当前人口的选择过程是替换。选择交配的染色体以被称为交叉概率P c的概率进行交叉操作，或者以概率（1- P c）被复制。如果要进行交叉，则从当前人口中随机选择第二个人，其适应度与比例成正比。将由该过程产生的染色体进行突变操作的概率称为突变概率P mu。创造新一代的停止标准是世代数。对于给定的世代数，该过程的应用称为复制。复制的停止条件是复制的数量。
应用突变与PMU概率
直接用概率1-P相加
应用交叉概率PE
繁殖精英个体
候选人才库
当前人口
新的人口
图2。通用航空的管理。
3.1外循环
外循环的目标函数如方程式中所述。（1）。在计算染色体的目标函数值时，此处的有效位数限制为两个。这可能是对于给定的目标函数值，有可能存在对应不同NPV几种解决方案，客户端和NPV 续对其中一些主要的解决方案。显然，决策者会首选主导解决方案。假定通过使用与NPV cont情况相同的折扣率r计算NPV 客户。
3.1.1编码
外环的染色体表示捕获有关将在特定事件节点处支付的进度付款百分比的信息。每个基因都有一个整数，代表项目网络上的事件节点。基因的数量与分配给基因的预算单位份额的大小直接相关。例如，如果染色体由20个基因组成，则一个基因的单位份额为预算的5％。每次事件节点编号出现在染色体上时，相应的事件节点都会收到预算的单位份额。因此，事件节点号出现在染色体上的次数确定了要在该事件节点处接收的进度付款，占预算的百分比。
具有6个事件节点且每个基因的预算单位份额为10％的网络的样本染色体将是例如（3/5/1/6/5/6/1/6/3/5）。观察样本染色体，可以推断出在染色体上有2个计数的节点1将获得总付款额的20％；计数为3的节点6将收到总付款的30％，依此类推。如果需要更精细的分布，则可以相应地增加基因的数量。这样，可以在事件上获得更精确的预算分配，但是以增加的计算量为代价。
3.1.2交叉算子
包含一点，两点和统一交叉算子的小规模实验表明，两点交叉算子是更好的选择。由于唯一重要的信息是事件编号的发生次数，因此此处适用两点交叉而不会引起任何不可行性。为了应用交叉操作，选择2个基因座将亲本染色体分为3个部分。后代的孩子是由母亲的第一部分和最后部分以及父亲的中间部分组成的。交叉操作的示例在图3中给出。转移给孩子的基因以粗体显示。交叉操作产生单个后代。
后代
父亲
母亲
图3。外循环的交叉运算符。
3.1.3变异算子
已经考虑了两种类型的突变算子。一种是全局变异算子。选择具有全局突变概率的染色体进行突变，并使用全局突变概率考虑该染色体上的每个单独基因座，如果选择进行突变，则为所选基因座随机分配一个事件号。此处，在选定的染色体上，可以选择一个以上的基因座进行突变。另一个是局部突变算子。选择染色体以局部突变概率进行突变，选择基因座进行突变，并为所选基因座随机分配事件编号。因此，只有一个基因在选定的染色体上发生突变。通过参数微调实验，可以在两种类型的突变算子之间进行选择。
3.1.4健身价值
为了确定外环X染色体的适合度值，应从总体的最大目标函数值中减去X染色体的目标函数值。为了计算适应度值，需要知道NPV 客户和NPV cont。在外部循环产生的每个染色体X被发送到内环以确定最大的NPV CONT它可以定位和支付的相应的定时。此信息传递到外部循环，与付款结构一起用于计算NPV 客户。因此，获得了X染色体的适应度值。
3.2内循环
在内部循环中，目标是在特定付款分配下最大化NPV（续）。支付分布是由要计算其适应度函数值的外部环路的一个人施加的。内循环的结果是通过最大化NPV cont找到的活动计划。NPV cont是使用折现率r计算的。在客户的累计付
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