有限体积模型对二维浅水流动的非结构化网格外文翻译资料

 2022-10-26 10:23:02

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有限体积模型对二维浅水流动的非结构化网格

摘要：数值模型是基于二阶逆风有限体积方法开发非结构化三角形网格求解的浅水方程，希尔近似Riemann解是用于无粘通量功能计算，这使得它能够处理不连续的解决方案。多维斜率限制技术被用来实现二阶空间精度和防止虚假振荡。为了减轻由于湿/干边界附近的小水深与数值不稳定性相关的问题，采用摩擦源项在全隐式的处理方式。半离散方程的时间积采用三阶TVD Runge Kutta方法。所开发的数值模型被应用到多个测试用例以及实际流动。数值试验证明了模型的鲁棒性和准确性。

数字对象标识符: 10.1061/~ASCE!0733-9429~2004!130:7~678!

CE数据库关键词: 洪水；水力模型；数值模型；浅水区；非定常流。

介绍

由于不均匀的海底地形和流域的不规则边界，以至于河流、冲积平原和沿海地区流动是非常复杂的。如果他们不能够处理复杂的几何形状，或是没有强大到足以处理突发流量的变化，如冲击和不连续或干河床条件，这些是不能由一维模型和二维模型解决或者说不能产生精确的结果，到目前为止，几个数值的技术已被开发来缓解涉及二维模型的缺陷，但似乎不存在一个全模型。二维浅水方程已被广泛用于模拟浅水湖泊，宽河流，河口和沿海地区的流动。数值方法求解这些方程，如有限差分法（Garcia and Kahawita 1986; Fennema and Chaudhry 1990; Molls and Chaudhry 1995）、有限元法（Akanbi and Katopodes 1988)和有限体积法（Alcrudo and Garcia-Navarro 1993; Zhao et al. 1994; Anastasiou and Chan 1997; Sleigh et al. 1998）。有限差分方法已被用于具有结构化格栅，其允许流场被有效地解决。结构化网格会使流动求解效率更高，可以在模拟复杂的流动几何面临的困难。在这些情况下，非结构网格可以减轻与结构化网格相关联的问题。三角形网格通常是覆盖两维域最简单，最方便的方法。使用三角网格的一个优点是它们在任意几何网格和增加高梯度区域或在流场特别感兴趣的区域的产生细胞数的能力。这是因为复杂的几何形状采用结构化网格时，是顽固性建模河流或沿海区域的颇具吸引力的技术。

近来，已经提出的几个方案成功的通过有限体积方法，以解决非结构网格浅水方程。据报道（Anastasiou and Chan ~1997 and Sleigh et al. ~1998）使用三角形网格二阶有限体积法二维浅水方程的解。Zhao等人（1994）开发了非结构化网格一阶空间精度的有限体积模型。目前，还没有一直向着应用非结构化有限体积法解决实际流动问题，并验证他们的能力来预测实际流场的研究工作。Zhao等人（1994）将他们的模型应用到美国的基西米河盆地取得了满意的效果。在英国斧口Sleigh等人（1998）采用二阶有限体积法。

在企图绕过存在于现有数值模型许多困难和验证有限体积法来实流动问题的适用性，二维模型被提出并在本文中进行测试。该模型是基于非结构化三角网格迎风有限体积法并采用格心有限体积制定解决保守的二维浅水方程。为了实现高阶空间精度，并防止非物理振荡，多维重建技术和Jawahar and Kamath （2000）提出的连续可微多维限制器在这项研究中被应用。Jawahar and Kamath （2000）应用的重建技术，解决了二维线性平流方程和可压缩欧拉和Navier-Stokes方程限制器。重建技术是基于广泛的计算模板和不强烈依赖于顶点的值保持为高度扭曲网格稳定性。限制器是连续可微并产生不连续的跳跃之间的平稳过渡一阶准确性和尖锐的，持续的梯度与二阶精度。

为了实现高阶时间精度的时间离散由三阶总变差减小采用Runge–Kutta的方法。HLL逼近黎曼格式使一个处理间断解被用来评估在池面上无粘通量。摩擦条款被视为完全隐式由运营商分割技术，以防止因附近的干区的小水深数值不稳定性。

控制方程

在垂直方向上均匀的速度分布，不可压缩的流体，流体静压分布，以及小底部斜率：二维深度集成浅水方程是通过在流动的深度与以下假设整合Navier-Stokes方程获得。连续性和动量方程：

式中：

其中u和v分别是x和y方向上的速度分量，h是水深，g是由于重力产生的加速度，(S ox ,S oy )分别是x和y方向的床斜坡，(S fx ,S fy )分别是x和y方向上的摩擦斜坡。在这项研究中，摩擦斜坡通过使用曼宁公式计算:

其中，n是曼宁粗糙系数；一般情况下，底部粗糙的影响比湍流剪应力的影响大。因此，在计算中，有效应力条件被忽略。

数值模式

一个单元为中心的有限体积法制定了公式（1），在一个三角形的控制体积（图1）中，其中因该系统的变量存储在单元的中心，并表示为分段常数。在第i个控制量的面积积分方程公式（1）中，可以得到。

其中，，是控制变量。

使用发散定理，公式3的左手侧的第二积分可以通过围绕控制量积分的线来代替。

其中，是第i个边界的控制变量，n是垂直于边界的单位向量。逼近一行中点积分规则，积分方程公式(4)可以写为

其中i和j分别表示第n个小区和第n个小区的第j个边缘，和是存储在第n个小区的中心的平均数量。是单位法向量。是第j个边缘的长度。是通过由一个精确的或近似Riemann解计算出的边缘的数值通量。

本模型采用高级语言HLL Riemann solver （Hartenet al. 1983）来计算正常磁通在控制的脸

体积如下：

其中，和分别是u在左方向和右方向的重建值，分别是波速度的估计值。

在这里，SL和SR有几种选择。在这个模型中我们采用的是Toro （1992）提出的方法。

其中，

线性重构

准确度，这是任何流动求解中最重要的方面，对于尽可能经济的解决一个流场所需的计算细胞的数量有直接的影响。代表溶液作为分段常数的数值近似等效于一阶空间精度，而为了实现所需的精度，这通常是不够的。出于这个原因，涉及的梯度重的一个高阶的实现是有必要的。

有适用于浅水方程在非结构三角网格数的高阶方案（Anastasiou和Chan 1997; Sleigh 等人1998; Hubbard 1999; Wang 和Liu 2000）。非结构网格高阶的重建不是一件容易的事，因为顶点的位置和周围的一个顶点元素的数量是任意的。一维的重建技术，如MUSCL方法，非结构化网格扩展使方案强烈地依赖于电网的连接，因此在高度扭曲的网格中得到的效果都不是很理想。在本研究中，由Jawahar和Kamath(2000)提出的重建技术，具有在广泛的计算模版依赖和在高度扭曲的三角形中不强烈依赖于顶点的值保存稳定性的特点。在每个时间步长的初始数据重建的公式：

其中，ri是相对质心点的位置向量，是有限梯度。

例如，在图1的两个三角形和的梯度，这被称为和，可以使用绿色–高斯定理计算

其中，是整合路径连接顶点的三角形，A是一个正三角形的面积。

为了计算的值，应该知道保守变量在顶点的值。为此，我们采用由Holmes 和 Connel（1989）提出的拟拉普拉斯公式插值法来计算顶点的值。假设顶点被M点包围，在顶点的保守的变量计算如下：

其中，

是可以求得的，在梯度j=1的情况下，用面积加权平均法计算两个三角形的

其中，以同样的方式计算。

使用面积加权平均梯度的三个面，质点i是用无限梯度计算。

多维限制器

高阶计划往往产生非物质振荡附近不连续性，因此，它是必不可少的，以抑制非物质通过限制的重建变量的斜率振荡。对于非结构化网格，在建设和一维的实施是本质上是多维，这不合适，此外，限制器应连续因为一个不可微函数如使用微最大和最小可能产生不利影响的收敛性稳定状态。为了这个原因，在这项研究中使用的多维限制器Jawahar and Kamath （2000）这是不同的

Jawahar and Kamath （2000 ）这个程序由有限的梯度组成，如下：

其中 权重由多维限幅功能，和无限的梯度的三个周围的细胞相结合，产生的有限的梯度，权重由以下公式决定

在Ga Gb Gc所给出规范的正方形的梯度的周围细胞的功能

和 e=一个很小的数字，介绍了防止消失三个梯度的区域均匀流引起的不确定性。

应用公式19后对于每一个网格单元的计算公式，并将无限的梯度代入20获得

有限的梯度。

最后，由公式11对于每个小区变量重建。

源项处理

从公式 1和2由斜率和摩擦的影响，并且这些量对于数值方法的准确性施加很大的影响。

在三角形网格，底部坡度很容易因为进行一个三角形的三个顶点计算

在不同于矩形网孔的顶点的同一平面上。含有一个三角形的三个顶点的平面的方程为

表示为：

其中，C1，C2，和C3 =常数，并且z =底部高程。x，y和z的值在三个顶点代入公式22得到值为C 1，C2，和C3以下的联立方程式：

其中，p表示元件的顶点。

C 1，C2，和c3求得之后，通过求解公式23获得底部斜率

因此，获得

在解决摩擦项，水深非常小一个简单明确的离散可能导致数值不稳定时，这通常不久发生的干/湿边界。 为了克服数值不稳定性，采用摩擦与分裂技术全隐式的处理方式。5式可以分成两个常微分方程：

式26右侧只包含摩擦源项。26和27分别用内隐式和显式方法求解。26式用全隐格式在每一个细胞，域的N次级泰勒级数展开法求解：

其中N表示时间的水平

方程29的右边矩阵。经过一些代数运算，得到

I是单位矩阵，U由于长期摩擦的增加通过求解方程30计算。

时间积分

初始条件利用方程26解，27式用TVD解决，龙格-库塔时间离散化方法，它保留了向后欧拉方法和高阶精度的强稳定性。这是在求解双曲型偏微分方程（shu和Osher 1988）被证明是非常有用的。表示式27右侧第一项L（u），给出的是一个最佳的三阶方法

由于–TVD Runge库塔法是一个明确的计算，时间长受弗里德里希-路易（CFL）限制。下面的公式是用来确定每个时间级的最大时间长：

Ri表示控制体积的形心到细胞的顶点距离和C波速。式32中，最小的是在计算域中的所有细胞，并在三个相邻的细胞中取最大值。

边界条件

边界条件加在细胞表面和在表面的保守的变量的值是从细胞中心外推。根据特征理论，在一维浅水方程的黎曼不变量是

这是在和，分别在源项的贡献被忽视。R-和R 分别表示右边和左边的面，由于一个边界的右边是外部的域，R-条件被替换成边界条件本身。对于二维浅水方程，给出了R-的条件。

其中下标*表示变量的边界和左侧， 34式结合边界条件来计算边界处的正态磁通。在边界处的正磁通为：

作为nx和ny在X和gamma;方向的n组分。根据特征理论，当流型为亚临界时，需要2个边界条件。对于亚临界流，边界条件施加的形式的流动深度，单位放电，或速度。

在一个深度的边界条件下， h *34和(u, v ) * bull;n又公式34得到：

在一个速度边界条件的情况下，（u，v）*bull;N和H *是通过34公式修改。

给出了一个单元放电边界条件

在q=unit放电，它在特定的时间阶段是恒定的。H（u，v）*和h*结合公式34和38计算。Q /h*=（u，v）*bull;n代入方程34产生一个非线性H *可以通过迭代的方法，如牛顿–迭代方法求解方程。假设边界的切向速度等于左状态，给出边界的切向速度分量

之后n*（u，v）*和（u，v）*t是计算机数据，u*和v*能被算出：

最后，正常流量，式35可以通过使用U * V *，h*

斜水跃问题的计算域

在一个超临界流的情况下，需要三个边界条件，因此，直接给定的u * , v * , 和 h *和通常的磁通是容易获得的。一个自由的排污口的条件，这使得波通过边界没有反射，适用于流出边界。在这种情况下，所有的物理变量， u * , v * , 和 h *在边界面是相同的内部变量。一个自由滑移条件适用于固体边界，即在表面的正常的速度分量被设置为零。

然后，在固体壁的正常磁通是

H *结合方程34和41计算

应用

斜水跃

当一个超临界流通过减小宽度的通道时，偏转的通道壁产生一个倾斜的驻波，伴随着一个突然增加的流动深度。这种现象被称为斜液压跳跃，其中一个解析（chow1959）这个是用来验证本模型的，以处理高速不连续的流动和扭曲的网格模型的稳定性。

这个问题如2所示。

初始条件设定为。超临界流条件

（）和一个自由的排污口条件分别适用

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