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1介绍
在随机环境和运行条件下运行的结构和机械模型的验证是可靠性和安全性分析的关键步骤。为了达到这个目的，各种系统识别技术已经被开发出来，以便根据振动测量来估计和验证所研究结构的动态特性。然而，对于线性时不变系统，目前最常用的纯输出动态辨识方法4已经发展起来，而将其推广到非线性系统参数辨识的研究还没有引起足够的重视。
现代工程结构的复杂性和灵活性不断增加，产生了各种形式的非线性，并且往往随着振幅的增加而变得越来越显著。在这种背景下，本文的目标是提出一种适用于单自由度振子在随机激励下的参数输出辨识方法。非线性基准辨识问题的详细公式如第5章所述。
迟滞通常由高水平的动态载荷触发，这些载荷强调耗散力和恢复力的非线性性质，这些力取决于运动历史而不是瞬时运动。系统的非线性性质在大尺度结构中，当受到高水平的动态荷载时，力在滞回性能中起着重要作用。在磁流变（MR）阻尼器6等减振装置中发现的磁性、铁磁性和铁电材料中也可以遇到迟滞特性的其他例子。
第七章讨论了滞后行为影响系统的输入输出辨识方法。这些方法包括基于进化算法8、9、贝叶斯推断方法10、马尔可夫链蒙特卡罗方法11和最近用于非线性估计的带黑盒优化的频域方法12的方法。输入输出法仅限于可测量激励的结构。对于具有不可测量和不确定激励的动态激励结构，需要采用不同的识别策略，这些激励通常与大型结构或机械有关，其中没有直接的方法允许测量激励。
随机动态系统估计的经典方法是状态估计的Kalman滤波或基于随机响应的系统估计的实现理论。后者包含在时域操作模态分析方法14中，该方法仅限于线性和时不变系统。经典Kalman滤波方法的扩展使得能够在稀疏监测的动态结构15,16的感兴趣位置进行联合输入和状态估计。结构的状态预测也可用于结构健康监测，如17所示，这表明状态的统计特性可作为损伤指标。结构应用中的联合状态和输入估计假设线性系统的已知代表性有限元模型，并且在使用Kalman滤波器时伴随着沉重的计算负担，这可以通过模型简化方案18来减少。此外，当基于加速度测量19时，联合状态和输入估计在数值上是不稳定的，并且导致不可靠的输入估计，不幸的是，加速度测量19通常是动态结构可用的唯一可测量信号。
对于模型参数已知的系统，在20提出并在21进行了实验验证的增广联合状态输入估计中处理了与可观测性和秩亏相关的数值问题。本文提出了一种基于卡尔曼滤波的非线性迟滞系统在线参数辨识方法。最近，25还提出了一种线性时变系统的联合状态参数输入估计方法，该方法具有能够处理模式转向效应的优点。它已应用于26跟踪时变刚度特性的海上风力涡轮机结构。25中的方法的缺点是，测量的数量必须至少与感兴趣的参数和输入的数量相同，位移测量的数量至少与未知输入的数量相同。因此，这种方法不适用于在目前的基准测试挑战中，只有一个响应输出可用的滞后系统的参数输出识别。
现有的仅输出辨识策略对动态结构非线性的辨识精度有限，特别是对可能是非线性主要来源的耗能机制的辨识精度有限。因此，现有的纯输出技术可能特别不适用于由高振幅激励的非线性系统。具有非线性阻尼机制的系统可以很好地用等效线性模型来表示，但当刚度的非线性很严重并引起跳跃和分岔现象时，可能不具有代表性。回顾了实际系统中非线性阻尼的各种来源以及线性化技术。无论辨识方法的原理如何，迟滞系统的动态非线性都很难辨识，因为无法直接测量控制迟滞演化的内部状态变量。通过推导一个等效线性松弛模型来处理滞回系统的参数辨识问题，该模型的参数依赖于激励幅值和频率。这种隐式模型提供了一种可观察和可控制的系统格式，简化了分析。这导致了一种计算效率高的辨识方法，该方法扩展了经典的仅输出协方差驱动的随机子空间辨识4及其在不同激励振幅下估计模型刚度和阻尼的能力。
Bouc-Wen模型28,29被提出用于识别挑战的数据合成生成，广泛用于动态激励非线性结构30,31中的迟滞现象建模。在结构动力学中，发展了各种适用的方法来解决非线性随机问题，如Bouc-Wen模型。这些依赖于线性化技术，通常用于第一设计阶段的近似技术。因此，解决非线性辨识难题的一个明显方法是用一个等价的线性方程组代替非线性微分方程的控制集。线性化是一个优点，它使得仅输出协方差驱动的随机子空间辨识可以应用于基准挑战。系统辨识的出发点是对单输出模型参数的估计能力。
因此，该方法适用于具有粘弹性的单自由度振子。在高斯激励的情况下，可以假设弱非线性系统的响应接近高斯分布。因此，辨识过程可以适当地基于协方差驱动辨识方法所必需的统计特性。该方法以耦合常微分方程的形式估计动态模型的参数，其中滞后现象用Bouc-Wen模型表示。通过导出线性松弛阻尼模型参数的表达式，将模型参数联系起来。为了验证所提出的识别方法，我们从源5中获得了一个含有未知信号噪声的合成数据集。讨论了等效线性模型对滞回系统辨识的影响，本文总结了高阶输入激励下滞回系统纯输出系统辨识的发展方向并给出了相应的计算方法。
2滞后基准挑战的线性系统模型
描述单自由度系统振动的运动方程可以表示为
其中m是质量，c是粘滞阻尼系数，k是刚度，是外力，是位移，导数和分别代表速度和加速度。滞回系统的可用数学
Bouc-Wen模型来描述
其中和v是参数，控制磁滞回线的形状和平滑度。关于BoucWen模型的详细信息可以在图5中找到，而其机械表示如图1（a）所示。
非线性系统在随机激励作用下响应特性的理论发展尚未退化为普遍适用的结果。从连续马尔可夫过程理论出发，可以得到任意动态系统（线性或非线性）在白高斯激励下响应的精确解。精确的闭式解只适用于某些特殊情况，因此采用近似方法求解。线性化方法通过用一组线性微分方程代替非线性微分方程的控制集来逼近解。
2.1. 等效线性模型
迟滞系统的谐波平均原理最初在32被证明。该方法的有效性仅限于振幅和相位缓慢变化的系统，以及每个周期能量耗散很小的窄带响应情况。随机线性化方法可以处理宽带响应。该方法通过最小化非线性表达式与等效线性表达式之差的均方来获得等效系统的模型参数。然而，对期望的评估导致了一个随机线性模型，其中未测量内部状态变量的标准差及其相关系数出现33,34。因此，随机线性化似乎不适合只用于输出系统辨识的目的。随机线性化方法已被证明在抗震结构设计中是有用的。然而，响应是非平稳的，因此不适合用随机子空间辨识方法进行纯输出辨识，这是由于输出是平稳的假设。因此，从地震期间的结构响应中识别，第35条所述的方法更为合适。此外，由于摄动方法增加了代数复杂度，一阶精度有限，因此在本文中避免了摄动方法。因此，本文描述了一个等效线性模型，该模型可以用谐波平均原理来校正。
第一步是引入等效线性模型来代替非线性模型。存在广泛的可能候选模型，但是时间模型存储器的引入由一阶微分方程37方便地表示
式中，下面的和与（2）中的Bouc-Wen参数有关，通过假设振动周期的谐波平均。（3）的格式可以被认为是一种具有松弛特性的非粘性阻尼模型，通常也称为粘弹性材料模型。带有机械元件的等效线性模型的唯象表示如图1（b）所示。该模型最初是由齐纳38引入的Kelvin-Voigt模型与弹簧k0和缓冲器c0并联，以及附加弹簧k1 k0和缓冲器c0串联的组合。因此，k0表示松弛模型的低频刚度，而k1表示高频范围内的模型刚度。在角频率X的中间范围内，能量耗散的大小由刚度变化kinfin;-k0决定。由于低频刚度k0可直接与结构刚度k结合，因此（3）中的松弛模型可容易地简化为与消失k0相关联的双参数模型，这将在下面的推导中进一步强调。
在v=1的特殊情况下，证明了Bouc-Wen模型的线性化技术，将（2）中的非线性恢复力降低到最小
由于（3）和（4）的固有松弛特性，模型参数之间的关系在与慢速和快速运动相关的两个极限内确定，或在相对于角频率X的低和高振动频率内确定。对于轻阻尼结构的宽带激励，可以假设结构响应是相当窄带的，因此可以通过调和表达式在两个上交叉口之间近似响应
振幅为A，角频率为omega; ,在获得（3）中等效线性松弛模型的系统参数时，假设这种简谐运动如下。
2.2. 低频等效
最初，Bouc-Wen模型以低频极限表示，与慢运动相关。在低频范围内，（3）和（4）左侧的时间微分项和分别假定为消失。因此，Bouc-Wen模型（4）的低频表示可以写成
同时给出了相应的低频弛豫模型
其中第一项表示低频刚度，第二项表示阻尼。
分别确定了刚度和粘滞阻尼的贡献。假设刚度的低频分量与位移同相，因此可以从（7）近似为
zetT的这个表达式现在被插入（6）中的低频Bouc-Wen模型中。在这种情况下，低频刚度k0通过与相乘并在整个振动周期内积分关系来确定，
积分计算表明，低频线性刚度分量消失，从而
表明低频刚度包含在结构刚度分量k中。
假设线性低频模型中的粘性部分与速度同相，由此得出（7）式.
其中由（5）和k0=0代替。将的假设表达式代入（6）中Bouc-Wen模型的低频形式，然后乘以并在单个振动周期内积分，
积分的计算给出了刚度频率比的表达式
这个比率代表线性松弛的阻尼参数，因此 。由于原模型的非线性，使得（13）中的等效线性参数与振幅有关，随着的增大，线性参数明显减小。
2.3. 高频等效
在与快速运动相关的高频极限中，（4）中Bouc-Wen模型左侧的时间导数项占主导地位，模型近似为
（3）中相应的线性松弛模型可以类似地简化为
同样，粘性和刚度的贡献是分别确定的。首先，将（15）中高频弛豫模型的粘性部分近似为
当k0=0时，这种贡献消失，因此目前的线性化只留下高频刚度分量。该刚度贡献可从（15）中获得，如下所示：
在高频Bouc-Wen模型（14）中插入这种简化的简谐表示时，可以通过将关系与相乘并在假定的振动周期内积分来隔离刚度，
积分计算导出
值得注意的是，（3）中Zener型弛豫模型的能量耗散要求为正，在本例中对应于。由（19）可知，对于小振幅A，等效刚度接近Bouc-Wen模型中的初始刚度分量A，而对于有限振幅水平，刚度减小或增大，根据的符号，松弛模型（3）中的角频率omega; 现在通过将（19）中的表达式除以（13）中的表达式来获得。这给
对于有效。因此，基于低频和高频范围内的谐波平均，建立了线性模型参数和BoucWen模型参数之间的关系。其基本假设是，如果两个频率限值校准良好，两个模型之间的等效性在中频范围内也是合理的。当线性松弛模型的参数由系统辨识程序确定时，Bouc-Wen模型的参数可由（19）和（13）中的关系式得到。
2.4. 等效线性系统的数值例子
在下文中，将说明所获得的等效模型对滞回系统的一组参数值的影响。线性系统的参数设定为m=2kg、k=50000 N/m、c=10 Ns/m和a=50000 N/m，其中线性系统的固有频率为x=223.61 rad/s，模拟中的Bouc-Wen模型参数选择为=800 m 1和 =1100 m 1。采用固定步长四阶Runge-CKutta求解器的显式时间积分方法对响应进行了模拟。该系统是由一个随机过程激励的，由MATLAB中生成的随机数的正态分布得到。对激励振幅进行了标度，以获得30 N的均方根振幅。位移时间历程以375 Hz和N=个点进行采样。△t=0.0027s对应的时间步长大于系统自然周期的十分之一，因此Runge-CKutta解算器具有合理的计算速度和精度。模拟长度相当于线性振型的99512个振动周期。图2显示了初始条件设置为零时计算的响应，这显示了一个非退化的磁滞回线。
等效线性系统的系统模型参数为=44774 N/m、=80.6 rad/s和k0=0 N/m。这些参数由（19）和（20）中的表达式获得，其中线性系统的固有周期被选择为X=223.61 rad/s，振幅A=2.1mm代表滞回系统位移响应的标准差。
等效线性系统的位移和功率谱密度（PSD）如图2（a）-（b）所示，表明滞回和等效线性系统之间有很好的一致性。PSD的计算采用了welch谱估计方法，采用汉宁窗进行平均，重叠度为50%。磁滞回线图2（c）中的等效线性系统更加光滑和狭窄，而封闭区域几乎相同，表明系统中能量耗散的合理表示。
3.扩展协方差驱动参数辨识
将滞后基准问题看作离散系统的状态估计问题。它以经典的形式表现出来
其中x是ntimes;1状态向量，y是mtimes;1输出向量，u是rtimes;1输出向量，A是ntimes;n状态矩阵，B是ntimes;r输入矩阵，C是mtimes;r输出矩阵，D是mtimes;r馈通矩阵。对于非线性系统E；F；F和E，其中包括状态变量和输入变量的组合。因此，它们的个体大小取决于要分析的特定系统。状态估计问题对应于卡尔曼滤波问题。然而，在目前的情况下，系统参数的矩阵是寻求，而不是时间历史的状态变量。所谓的随机子空间辨识方法就是为此而提出的。输出随机子空间方法的关键在于可以通过系统的脉冲响应（用Toeplitz矩阵结构表示）得到可观测和可控制系统的Markov参数。（4）中的非线性滞回系统可以用状态空间格式写成
其中T表示转置。这表明，由于系统的可观测性和可控性的系统，滞回系统实际上是不可观测和不可控的。因此，线性子空间辨识方法不能直接对系统进行估计。（3）中的线性化松弛系统也可以在状态空间中表示，
其中已在（10）中演示。（25）和（26）中的线性时不变系统是可识别的，因为可观性和可控性矩阵具有期望的秩。因此，建议的识别程序依赖于（25）和（26）中的线性化模型，它包括下面解释的步骤。
3.1. 平稳过程的相关函数<!-- 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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