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第6章 梁和柱
6.1定义
虽然许多结构构件可视为轴向受力的柱或仅受弯曲荷载的梁，但大多数梁和柱都承受一定程度的弯曲和轴向荷载。超静定结构尤其如此，即使是简支梁的滚轮支撑也可能会受到摩擦力的作用，从而纵向约束梁，在施加横向荷载时产生轴向张力。然而，在这种特殊情况下，次要影响通常很小，可以忽略不计。许多柱可视为误差可忽略不计的纯受压构件。如果柱是单层构件，并且可以被视为两端都被固定，则唯一的弯曲将由荷载的微小意外偏心引起。
然而，对于许多结构构件来说，这两种效应都很大，这种构件被称为梁柱。考虑图6.1中的刚性框架。对于给定的荷载条件，水平构件AB不仅必须支撑垂直均布荷载，还必须帮助垂直构件抵抗集中侧向荷载P1。构件CD是一个更为关键的情况，因为它必须承受P1 P2的荷载，而没有来自垂直构件的任何帮助。原因是用虚线表示的x形支撑防止了下层的侧滑。对于所示的P2方向，构件ED将处于拉伸状态，构件CF将松弛，前提是支撑元件的设计仅抵抗拉伸。然而，要发生这种情况，构件CD必须将负载P1 P2从C传输到D。
该框架的垂直构件也必须视为梁柱。在上面的叙述中，构件AC和BD将在P1的影响下弯曲。此外，在A和B处，弯矩通过刚性接头从水平构件传递。这种力矩的传递也发生在C和D位置，在任何刚性框架中都是如此，尽管这些力矩通常小于横向荷载产生的力矩。刚性框架中的大多数柱实际上是梁柱，弯曲的影响不应被忽略。然而，许多独立的单层柱实际上可以被视为轴向受压构件。
图6.1
梁柱的另一个例子有时可以在屋顶桁架中找到。虽然上弦杆通常被视为轴向受压构件，但是如果檩条被放置在节点之间，它们的反作用力将导致弯曲，这是必须考虑的。我们将在本章后面讨论处理这个问题的方法。
6.2相互作用公式
所需强度和可用强度之间的关系可以表示为
(6.1)
对于受压构件，强度是轴向力。例如，对LRFD来说，
对于ASD来说，
这些表达式可以用一般形式来写
其中
Pr=所需的轴向强度Pc=可用轴向强度
如果涉及一种以上类型的阻力，方程6.1可用于形成相互作用公式的基础。正如我们在第5章结合双轴弯曲讨论的那样，荷载-阻力比的总和必须限制为1。例如，如果弯曲和轴向压缩都起作用，则相互作用公式为
其中
Mr=所需的力矩强度
=Mu对于LRFD
=Ma对于ASD
Mr=可用力矩强度
=Phi;bMn对于LRFD
=对于ASD
对于双轴弯曲，将有两个力矩比：
(6.2)
其中x和y下标表示绕x和y轴弯曲。
方程6.2是承受弯曲加轴向压缩荷载的构件的AISC公式的基础。规范中给出了两个公式：一个用于小轴向荷载，一个用于大轴向荷载。如果轴向荷载较小，则轴向荷载项减小。对于较大的轴向荷载，弯曲项略有减少。AISC要求在第H章“合力和扭转构件的设计”中给出，并总结如下：
对于，
（AISC方程H1-1）
对于，
（AISC方程H1-1）
这些要求可以用LRFD或ASD的形式表达。
LRFD相互作用方程
对于，
（6.3）
对于，
（6.4）
ASD相互作用方程
对于，
（6.5）
对于，
（6.6）
示例6.1说明了公式6.3-6.6的应用。
示例6.1
LRFD解决办法
图6.2所示的梁柱两端都被固定，并承受所示的荷载。弯曲是关于强轴的。确定该成员是否满足适当的AISC规范相互作用方程。
从柱荷载表中，Fy=50千磅/平方英尺且有效长度KyL=1.0times;17=17英尺的W10times;49的轴向抗压设计强度为
Phi;cPn=405千磅
由于弯曲是围绕强轴进行的，Cb=1.0的设计力，Phi;bMn可从手册第3部分的梁设计图表中获得。
图6.2
对于无支撑长度Lb=17英尺，
Phi;bMn=197英尺-磅
对于该问题的结束条件和负载，Cb=1.32(见图5.15c)。
对于Cb=1.32，设计强度为
Phi;bMn=Cbtimes;197= 1.32(197)= 260英尺-磅
该力矩大于Phi;bMP=226.5英尺-磅(也可从梁设计中获得图表)，所以设计必须时刻限制在Phi;bMP。因此，
Phi;bMn=226.5英尺-磅
系数荷载：
Pu=1.2PD 1.6PL=1.2(35) 1.6(99)=200.4千磅
Qu=1.2QD 1.6QL=1.2(5) 1.6(12)=25.2千磅
最大弯矩出现在中间高度，所以
确定哪个相互作用方程控制：
there4;使用等式6.3(AIISC等式，H1-1a)
（符合）
结论该构件满足AISC规范
ASD解决办法
根据柱荷载表，W10times;49的容许抗压强度Fy=50千磅/平方英尺，KyL=1.0times;17=17英尺，
根据手册第3部分的设计图表，对于Lb=17英尺和Cb=1.0，
根据图5.15c，Cb=1.32，Cb=1.32时，
由于大于MP/Omega;b=151英尺-磅，所以允许力矩必须限制在MP/Omega;b，因此
总轴向压缩荷载为
Pa=PD PL=25 99=134千磅
总横向荷载为
Qa=QD QL=5 12=17千磅
最大弯矩在中间高度
确定哪个相互作用方程控制：
there4;使用等式6.5(AIISC等式，H1-1a)
（符合）
结论该构件满足AISC规范
6.3所需强度的分析方法
只要轴向荷载不太大，上述分析承受弯曲和轴向荷载的构件的方法是令人满意的。轴向荷载的存在会产生二次力矩，除非轴向荷载相对较小，否则必须考虑这些附加力矩。有关解释，请参考图6.3，该图显示了具有轴向荷载和横向均匀荷载的梁柱。在任意点O处，有一个由均匀荷载引起的弯矩和一个由轴向荷载引起的附加力矩Py，该轴向荷载以偏离构件纵轴的偏心率作用。在挠度最大的地方，次弯矩最大——在这种情况下，在中心线上，总弯矩为wL2/8 Pdelta;。当然，额外的力矩会引起一个额外的挠度，超过横向荷载所产生的挠度。因为总挠度不能直接找到，这个问题是非线性的，如果不知道挠度，我们就不能计算力矩。
图6.3
除了由构件变形引起的二次力矩(P-delta;力矩，如图6.4a所示)，当构件的一端相对于另一端平移时，还存在附加的二次力矩。这些力矩称为P-∆力矩，如图6.4b所示。在支撑框架中，构件端部不发生平移，因此只存在P-delta;力矩。在无支撑框架中，附加力矩P∆增加了端力矩。因此，构件中的力矩分布是主力矩、P-delta;力矩和P-∆力矩的组合。
无支撑刚架的稳定性取决于其连接处的力矩传递。因此，无支撑框架通常被称为弯矩框架。多层建筑可以由支撑框架和抗弯框架组合而成。
图6.4
除了最简单的结构外，所有的结构都需要计算机化的框架分析来获得弯矩和轴向荷载。分析给出了所需的成员强度。如本书第四章所述，压缩成员的可用强度考虑了成员的不直和不弹性。对所需强度的分析应考虑位移的几何形状、构件不垂直(偏离垂直)和非弹性。
不考虑位移几何的普通结构分析方法称为一阶方法。考虑到这些影响的迭代分析被称为二阶方法。
AISC规范第三章“稳定性设计”提供了三种确定所需弯曲和轴向抗压强度的方法:直接分析法、有效长度法和一阶分析法。
- 直接分析法是一种二阶分析，同时考虑了P-delta;和P-∆效应。作为替代方案，可以使用附录8中给出的近似二阶分析。这种方法使用放大的一阶力矩和轴向荷载。二阶分析和近似二阶分析都被认为是直接分析方法。在直接分析方法中，构件刚度降低，有效长度系数K=1用于分析和计算AISC第4章的可用强度。
- 有效长度分析方法包含在附录7中。它还需要二阶或近似二阶分析。相应可用强度的计算已在第4章“受压构件”中讨论过顾名思义，必须确定有效长度系数K。构件刚度不会降低。
- 一阶分析法是直接分析法的一个简化版本，可以在满足某些条件时使用。附录7涵盖了这一点。对于可用强度，使用有效长度系数K=1。构件刚度不会降低。实际结构中的所有柱都受到由构件不垂直引起的初始位移的影响。在三种分析方法中的每一种方法中，构件不垂直都是通过在荷载组合中包含虚拟横向荷载(称为名义荷载)来解决的。
实际结构中的所有柱都受到由构件引起的初始位移的不影响垂直。在三种分析方法中的每一种方法中，构件不垂直都是通过在荷载组合中包含虚拟横向荷载(称为名义荷载)来解决的。
直接分析法是首选方法。如果有合适的软件，二阶分析是选择的方法。如果二阶分析不可用，可以使用力矩放大法，这是一种可接受的直接分析方法。在本书中，结构分析的结果将在所有的例子和问题中给出。不要求读者进行分析。如果弯矩和轴向力来自二阶分析，可以直接进入AISC规范第H章的相互作用方程。如果要求的强度来自一阶分析，可以使用力矩放大法，附录8中给出的近似二阶分析。这种方法将在下面的章节中详细介绍。
6.4力矩放大法
力矩放大法需要通过一阶分析计算由弯曲荷载(横向荷载或构件端力矩)产生的最大弯矩，然后乘以力矩放大系数来计算次弯矩。现在将开发这个因子的表达式。
图6.5显示了具有轴向荷载和初始不平直的简单支撑构件。这种初始弯曲可以近似为
其中e是最大初始位移，出现在跨中。对于所示的坐标系，力矩-曲率关系可以写成
弯矩M是由轴向荷载P相对于构件轴线的偏心引起的。该偏心率由初始弯曲度y0加上弯曲产生的额外挠度y组成。在任何地方，时刻都是
M=P(y0 y)
图6.5
将这个方程代入微分方程，我们得到
重新排列得
这是一个普通的非齐次微分方程。因为它是一个二阶方程，所以有两个边界条件。对于所示的支撑条件，边界条件为
x = 0，y = 0和 x = L，y = 0。
也就是说，两端的位移为零。满足微分方程和边界条件的函数是
其中B是常数。代入微分方程，我们得到
求解常数得
其中
there4;
M=P(y0 y)
=
最大力矩出现在x = L/2：
其中M0是未简化的最大力矩。在这种情况下，它是由初始弯曲引起的，但一般来说，它可能是横向荷载或端部力矩的结果。因此，力矩放大系数为
因为构件偏转对应于弯曲形状，所以轴向荷载对应于失效荷载——即，对应于LRFD公式的荷载。因此，放大系数应写为
其中，Pu是系数轴向荷载。表达式6.7中所示的形式适用于LRFD。对于ASD，将使用稍后解释的不同形式
正如我们稍后描述的，AISC矩放大因子的精确形式 可能与表达式6.7中显示的略有不同。
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