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14.双向板：弹性和屈服线性分析
14.1板弹性分析综述
此处对板的弹性分析中涉及的概念进行了简要回顾，以显示板中的载荷与内部矩之间的关系。此外，更重要的是，这将显示力矩与平板曲率之间的关系。板可细分为厚板（厚度大于跨度的十分之一），薄板（厚度小于跨度的四十分之一）和中厚板。厚板作为平面拱形传递部分载荷，并具有显着的面内压缩力，结果是内部抵抗压缩力C大于内部拉力T。薄板通过作用而传递部分载荷作为张力膜因此，T大于C。中厚板既不表现出拱作用也不表现出膜作用，因此图14-1显示了从中厚双向板中切出的元素。该元件受图14-1a所示的力矩以及图14-1b所示的剪切力和载荷作用。 （为清楚起见，将附图分开。）每个边缘上存在两种类型的力矩：弯矩和绕平行于边缘的轴，以及弯矩和绕垂直于边缘的轴。用双箭头表示的矩矢量表示矩。所述力矩根据右旋规则作用于箭头。向量的长度代表力矩的大小。可以通过图形或数字方式添加矢量。弯矩等定义为它们作用的边缘的单位宽度，剪力等也是如此。和力矩为正，对应于顶面上的压缩。如图14-1a所示，相邻边缘上的扭转力矩均作用于在平板的同一表面上的两个边缘之间的拐角处产生压缩。垂直力的总和为
=-q (14-1)
- 板单元体上的弯曲和扭转力矩
- 板单元体上的剪力和荷载
图14-1中厚板的力矩和力。
绕平行于x和y轴的线的总弯矩而忽略了高阶项，则分别得出：
=Vy和 =Vx (14-2)
可以证明，微分方程。 （14-2）代入公式 （14-1）给出了中厚板的基本平衡方程：
=-q(14-3)
这纯粹是静力学方程式和不管施加板材料的行为。 对于弹性板，挠度z可通过以下方式与施加的载荷相关。
=-(14-4)
板刚度在哪里
D=(14-5)
就是泊松比。 术语D与板坯的单位宽度的EI值相当。
在弹性板分析中， 求解（14-4）以确定挠度z，并根据以下公式计算弯矩。
=-D( )
=-D( ) (14-6)
=-D(1-v)
其中z为正向下。
等式的解决方案 （14-6）可以在有关弹性板理论的书中找到。
14.2有限元分析的设计力矩
解决方程式的最常见方法。 （14-6）是使用有限元分析的。 这样的分析给出每个元素的和值，其中和是每单位宽度的弯矩。 图14-2显示了由对角裂纹界定的元素的一部分。 根据有限元分析，x和y面上的力矩如图14-2b所示。 绕平行于裂纹的轴的力矩为
mcds = (mx dy mxyk dy) cos （myk dy mxy dy2）sin 或
=()2((14-7)
该平板将通过在x和y方向上具有正弯矩承载力和每单位宽度的钢筋进行加固。 绕平行于假定裂纹的轴的相应力矩能力为
=()2( (14-8)
图14-2力矩分辨率。 （摘自[14-1]。）
必须等于或超过以提供足够强度的位置。 等同于这些并求解最小，我们得到
=
因为必须等于或超过考虑到,(的影响,
=
= (14-9)
其中k是一个正数，表示的绝对值。 对于所有裂纹方向（即，对于所有k值）都必须为真。 随着kis的增加，下降和上升。 两者之和的最小值（即最小的总钢筋）取决于所讨论的平板，但对于较大的弯矩值[14-1]，[14-2]是最佳选择。
平板底部各个方向上的增强材料旨在提供正阻力
= (14-10a)和
= (14-10b)
平板顶部各方向的钢筋设计可提供负的抗弯矩能力
=- (14-10c)
=- (14-10d)
正力矩的计算。 当和的值用于计算板中正力矩增强（底部钢）的面积时，计算基于方程式。 （14-10a）或等式 （14-10b）。 这些方程式中的符号和绝对数组合在一起，使术语“”为正。 如果这两个方程中的一个或两个为负，则在设计底部钢筋时将它们设置为零。
负力矩的计算。 对于负力矩钢筋（顶部钢），计算基于公式。 （14-10c）和（14-10d）。 符号和绝对数字组合在一起使术语“”为负。 如果这两个方程中的一个为正，则将其设置为零以设计顶部钢筋。
例14-1在一点上的设计弯矩的计算
有限元分析给出了元素中的弯矩，并计算了用于设计钢筋的弯矩。
（a）平板底部的钢
=-1 = 1kip-ft/ft
=5 = 7kip-ft/ft
(b)平板顶部的钢
=-1-=-3kip-ft/ft
=5-= 3kip-ft/ft
因为是正数，所以在平板顶部设计钢时将其设置为零。
通常，钢筋在正交带中均匀分布，使得
（a）带中提供的总钢筋足以抵抗为该带计算的总分解矩，并且
（b）带中单位宽度的抗力矩为 有限元分析中计算出的，带中每单位宽度最大力矩的至少三分之二。
在直接设计方法中，增强带的宽度应等于ACI代码第13.2节中定义的立柱和中间带的宽度。使用这种带（条）宽度通常是可以接受的。
14-3平板屈服线分析：简介
在板的抗弯破坏超载条件下，钢筋将首先在高弯矩区域屈服。发生这种情况时，平板的这一部分充当塑料铰链，只能抵抗其铰接力矩。如图13-4所示，当载荷进一步增加时，铰接区域将发生塑性旋转，并且由于附加载荷而产生的力矩将重新分配给相邻的截面，从而使它们产生屈服。发生屈服的带称为屈服线，并将平板分成一系列弹性板。最终，存在足够的屈服线以形成塑性机构，在该塑性机构中，板坯可以塑性变形而不会增加施加的载荷。板的屈服线分析方法实际上使荷载效应分析和构件强度分析之间具有更大的连续性。在一般设计中，使用适当的载荷系数和强度折减系数，将弹性分析得出的力矩和剪力与塑料构件的强度进行比较。在板的屈服线方法中，将建立塑性机制所需的载荷直接与构件的塑性阻力（标称强度）进行比较。负载因子和强度折减因子可以合并到该过程中，如稍后的示例所示。屈服线分析使用刚性塑性理论来计算对应于板坯各个部分中给定塑性矩阻力的破坏载荷。它不提供有关挠度或屈服首先开始的载荷的任何信息。尽管屈服线分析的概念由A. Ingerslev于1921–1923年首次提出，但K. W. Johansen发展了现代屈服线理论[14-3]。这种类型的分析在斯堪的纳维亚国家广泛用于板坯设计。这里提出了屈服线概念，以帮助理解服务载荷和破坏之间的板坯行为。在[14-4]至[14-7]中给出了更多细节。
屈服准则
为了限制挠度，楼板通常要比挠曲所需的厚度要厚得多，因此，楼板的钢筋加固率很少超过0.3到公式中定义的平衡钢筋加固率的三倍。 （4-25）。 在此范围的增强比中，弯矩曲率响应本质上是弹塑性，其塑性弯矩能力保守地假定等于截面的设计抗弯强度。
（a）加固图案 (b)单元体的瞬间
图14-3屈服准则。
如果屈服沿与钢筋成一定角度的直线发生，如图14-3所示，则假定弯矩和扭曲力矩沿屈服线均匀分布，并且是由钢筋的抗弯能力提供的最大值屈服线越过的层。进一步假设钢筋穿过屈服线时没有扭结。在图14-3中，x和y方向上的增强件提供的力矩能力为，每单位宽度（k-ft / ft）。屈服线每单位长度的弯矩和扭转力矩可以根据单元的力矩平衡来计算。在此计算中，将从x轴逆时针进行测量；弯矩，如果弯矩在平板底部产生拉力，则为正；如图所示，如果力矩矢量指向该截面，则扭转力矩为正。
考虑图14-3b中元素的平衡
L = mx（L sin ） sin my（L cos ）cos
该方程给出的弯矩为
(14-11)
扭转弯矩为
(14-12)
这些方程仅适用于正交钢筋。 如果这两个方程简化为，且与屈服线的角度无关。 这称为各向同性增强。
轴和屈服线的位置
屈服线在最大力矩区域形成，并将板划分为一系列弹性板段。 当屈服线形成时，所有进一步的变形都集中在屈服线上，并且平板通过一系列由长铰链连接在一起的刚性板挠曲，如图14-4所示。 如图14-5所示，变形模式由沿线支撑和越过柱的轴以及屈服线控制。 由于各个板绕轴和/或屈服线旋转，因此这些轴和线必须是直的。 为了满足图14-4中A和B等点处变形的兼容性，划分两个板的屈服线必须与这些板绕其旋转的轴的交点相交。 图14-5显示了许多承受均匀载荷的平板中的轴线和屈服线的位置。 图1和2中的屈服机理为 图14-4和14-5被称为运动学上允许的机构，因为相邻板段的位移和旋转是兼容的。 如果可以为给定的平板面板定义一个以上的运动学上允许的机构，则应研究每种机制以确定哪一个导致给定载荷下面板的最小阻力。
图14-4带有屈服线的平板的变形。
- 牢固地支撑在三堵墙上的板
- 梯形简支板
- 牢固地支撑在三堵墙上的板
- 简支板和柱
图14-5屈服线图案的示例
图14-6简单支撑在四个边缘上的平板中的屈服线。 （照片由J.G. MacGregor提供）
图14-6显示了类似于图14-4所示的钢筋混凝土板的底面。 裂纹趋向于遵循正交的增强模式。 从拐角处延伸的宽裂纹和沿着板中间的宽裂纹带标志着正屈服线的位置。
解决方法
在选择了运动学上允许的屈服机制之后，可以计算支持给定载荷集所需的m值，反之亦然。可以通过平衡方法（其中为每个板段编写平衡方程）来进行求解，也可以通过虚拟功法（通过对平板的某些部分进行虚拟位移并考虑所产生的功）来进行求解。
当使用平衡法时，必须特别注意显示作用在每个单元上的所有力，包括扭转力矩，尤其是在多条屈服线相交或屈服线与自由边相交时。在这样的位置，在屈服线的相交处需要抵消垂直节点力。由于节点力可能会被赋予错误的符号或位置，因此某些建筑法规要求采用虚功方法进行屈服线计算。这里的介绍性演示将限于解决方案的虚拟工作方法。关于平衡法的更多信息可以在[14-3]至[14-7]中获得。
虚拟工作方法
选择屈服线后，将在平板上的某个点进行虚拟位移，如图14-7c所示。 位移此量时负载完成的外部功为
外部工作= =(14-14)
其中q =面积单元上的均匀分布载荷
=该单元的挠度
W=板段上的总载荷
=该段的质心偏斜
在例14-2中，将显示等式的右侧。 （14-13）可以表示为板坯屈服机理的位移体积的q倍。 总外部功是每个板完成的单独功的总和。 通过旋转屈服线完成的内部工作是
内部工作=(14-15)
屈服线每单位长度的弯矩
L=屈服线的长度
屈服线上对应于虚拟位移d的角度变化,虚拟位移期间完成的内部总功是在每个单独的屈服线上完成的内部功的总和。 因为假定屈服线是在施加虚拟位移之前形成的，所以在虚拟位移期间不会发生弹性变形。 虚拟工作原理指出，为了节约能源，
外部工作=内部工作,或
（14-15）
虚拟工作解决方案是一个上限解决方案。 即，负载W等于或大于真实故障负载。 如果选择了一组不正确的屈服线，则对于给定的m，W将太大，反之，对于给定的W，m的值将太小。
示例14-2通过虚拟功进行的单向板屈服线分析
将分析图14-7中所示的单向平板，以确定将引起故障的面积载荷。 平板钢筋如图14-7a所示，假定的破坏机理如图14-7b所示。 在使用本章中所有平板的平面图时，在支撑处使用斜线符号表示该平板固定在支撑上或在支撑上连续，并且该平板能够抵抗负弯曲。 单阴影符号将用于表示不能抵抗负力矩的支撑（即简单支撑）。 假定在左支撑处的负弯曲能力等于6 k-ft / ft，在右支撑处的负弯曲能力等于10 k-ft / ft。 中跨附近的平板钢筋的正弯曲能力等于4 k-ft / ft。
- 选择轴和屈服线。两个平板段的负屈服线（如虚线所示）和旋转轴必须位于支撑处，如图14-7b所示。 因为支座上的两个轴彼此平行，所以正中屈服线（在中跨附近由波浪实线表示）必须与支座平行才能成为运动学上可接受的机构。 将确定导致最小值的距离x。
-
给平板进行虚拟位移。 假定正屈服线C–D向下位移等于虚拟位移的距离，如图14-7c所示。 这将导致板段I旋转一个角度，并且使板段II旋转一个角度。在中跨附近正屈服线上的总旋转是总和，对于小位移，大约等于lt;
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