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人致激励下人行桥的随机振动及MTMD的振动控制
摘要
文章考察了人致激励下人行桥的振动特性，并讨论了多重调质阻尼器(MTMD)在振动控制方面的应用。建立了单步落足荷载模型，以此避免了连续外力的相位角未知的问题。基于此模型，将人群荷载简化为匀速的群集流动建立了人群随机振动模型，它考虑了人行桥的最不利振动情况。在这个随机振动模型中， 给出了用于计算任意跨度人行桥上任意位置响应的均方根加速度谱密度公式。当人致激励的频率位于结构自振频带内时会产生共振效应。为了防止过大的加速度影响行人的舒适感，这里使用了MTMD系统来优化人行桥的动力特性。根据随机振动模型， 使用求人行桥最大均方根加速度(rms)的最小值的方法，可以得到MTMD系统的最优参数，即振动优化方案。数值分析结果表明，较传统参数优化方法而言，文中使用的随机优化的方法在减少人行桥共振的动力响应方面更为高效，并且适当增大带宽可以有效降低MTMD去谐效应。
- 简介
随着中国高性能材料和桥梁建设方面的迅速发展，大跨度人行桥有向着轻柔、大跨、低频等特征发展的趋势。当存在外界荷载如行人作用时，桥身可能会产生过大的振动导致难以正常使用或行人不适。
行人激励下桥的过大振动是人行桥设计考虑的主要因素。过去几十年间，为了认识人行桥复杂的共振机理并找到合理有效的设计方案，学者们完成了大量的探索性实验。其中一个主要课题就是行人步行力的数值模拟。一般来说，行人导致的外力用有固定周期的傅里叶级数来表示[1]。
很多学者针对动载因子(DLF)和每阶谐波的相位角提出了多种公式，由此可以得到行人产生的外力[1-6]。之后，建立了概率力模型[7,8]和频域力模型[9,10]作为评估人群荷载随机特性的主要模型。
尽管之前的大多数研究都讨论了人行桥的动态特性，但对人致激励及对应的正常使用极限状态没有很好的说明。针对人致激励影响下人行桥振动的研究还较少[8,10-14]，更少提及的是行人以随机序列和不同步频行走时导致的人行桥随机振动。Matsumoto[11]研究了行人荷载的动态波动的特性，还建立了人群和单人导致的人行桥振动效果间的数值关系，Fujino[14]等人发现了桥梁实例中拥堵时人致侧向振动过大的情况，并研究了行走同步和侧向振动导致的人致侧向共振力。Brown Jhon等人[10]提出了一种自动谱密度方程来表示真实的人致激励，并运用了随机振动的方法来计算频域内人致激励下的人行桥振动。Venuti[13]等人将行人模拟成压缩流，并提出了一种数学模型来计算人致激励下的人行桥振动响应。这些研究很好的说明了人致激励下人行桥的振动响应情况，同时探究了用随机振动方法来解决人行桥振动的各种方法，但是并没有提出一种通用的人行桥随机振动模型。
当行人以均匀步频通过拥堵的人行桥时，过大的振动可能会发生并超过行人的舒适范围。所以要找到合适可行的方法来降低这种振动。作为一种相对经济方便的振动控制系统，被动多重调质阻尼器(MTMD)可以有效减少被控制结构的响应，并在有去谐效应的时候对原结构动力特性不会有很多的影响。Xu和Igusa[15]推荐使用MTMD系统来减少单自由度体系在宽频范围内随机激励作用下的过大振动。Yamaguchi和Harnpornchai[16]讨论了MTMD在抑制强制振动时的基本特性，包括频率范围，TMD阻尼比和TMD数量，并且进一步提供了一些对MTMD系统的建议。之后对MTMD系统对振动控制的研究集中在桥梁结构[17]，如铁路桥和交通桥的风致振动[18,19]，并发现MTMD系统在效果和鲁棒性上较STMD系统更加优越。多位学者考察了它在抑制人行桥人致振动上的应用情况，也强调了它在去谐效应下的鲁棒性情况。Bachmann和Weber[20]提出了为低阻尼结构确定TMD设计参数的优化程序，研究表明，频率比对TMD系统减振效果的影响比阻尼比更为显著。Poovarodom等人[21-23]展示了MTMD系统在抑制人行桥人致振动方面的应用情况，并考察了MTMD系统对错误预测人行桥自振频率和行人荷载的幅值方面控制效果的灵敏度。然而，说明MTMD控制效果时的考察对象只是单个行人产生的振动。针对均匀和随机步频的人群产生的作用也是很值得探究的，本文中主要涉及了这一问题。
文中首先提出了能够计算不同步频的单步落足荷载方程。基于这个方程，复杂的人群人行桥振动机理就可以由随机振动方法得到，同时也可以得到主频内计算这种振动的高效计算模型。对于行人的舒适度问题，应该将人行桥均方根加速度(rms)和正常使用状态[24-29]下振动舒适度要求相结合。大多数的舒适度曲线是基于频率的，因此为了达到减小均方根加速度的目的，我们建立了一种优化设计程序来抑制均匀或随机步频下的人行桥过大振动。还针对拥堵情况下人群经过造成的人行桥自振频率的波动，以及对人行桥自振频率的错误估计或随时间变化导致的MTMD 去谐效应进行了研究。文中提供了形象的实例以证实所建立方法的可靠性。
-
行人荷载模型
- 单步荷载模型
对于估计人行桥的振动来说，准确的预计行人产生的竖向力是很关键的。连续行走产生的力和人体质心的竖向振动一般被考虑为静态和动态部分的和，如下[30]
(1)
其中fs是步频，G是体重，ci和phi;i分别是动载因子(DLF)和第i阶谐波的相位角。
凭借实验技术的帮助，许多学者进行了一系列的测量来确定系数(fs，ci和phi;i)以确定上式的Fc(t)。很多学者进行了一系列对行走外力的测量来得到正常步频下的DLF值[4,6,30,31]。其中，Young的实证方程[6]根据测试中竖向外力的回归(包括Kerr的结果[5])确定了第一批前四个DLF，并有75%的准确率，如方程2所示。对于步频，Matsumoto[32]基于505个竖向力曲线样本，总结得到步频基本呈现以2.0Hz为均值、0.173Hz为标准差的正态分布，而1.6-2.4Hz基本覆盖了常见步频范围。然而，由于相位角没有一个清晰的物理含义，它的数值规律还没有被很好的解决。
(2)
没有直接的相位角公式，使用方程1就很困难。因此本文建立了一种单步荷载模型来描述行人产生的动态荷载，这不仅避免了相位角的问题还有助于之后人行桥的随机振动模型的建立。一般来说，图2中所示的常规单步荷载-时间曲线有两个峰，且第一个高于第二个。
由于行人行走时在桥上的着力点随时在变化，单步荷载比连续行走外力在模拟人行桥振动时更加趋近实际。为了保证荷载模型的普遍性和准确性，选择了Young的DLF实证方程来建立单步荷载模型。
单步荷载由傅里叶级数得到
(3)
其中An和Te分别是傅里叶系数和恒定周期。由于联系单步荷载和连续行走外力的约束方程数量有限，又由之前的研究和外力测量知道只需要前四阶谐波的DLF已知，故模型中只考虑了前5个傅里叶系数。根据Ebrahimpour[7]的数值结果，周期内行人双脚落地的时间占总周期的比率基本不变，且其均值大概为4.165，由此作图3。连续行走外力的周期，即步频的倒数写为
(4)
常数周期下的连续行走外力可由单步荷载得到
(5)
另外，周期为0.76Te的连续行走外力可以表示为
(6)
联立方程5和6，单步落足荷载模型中的傅里叶系数计算式为
(7)
根据三个约束条件：(1)Fe(t)在周期内总是正值；(2)An是实数；(3)由方程3计算得到的单步荷载和有两个峰值的实验外力曲线相近，并第一个峰高于第二个，这个方程组的根由图4所示。之后由最小二乘法，傅里叶系数简化为
(8)
2.2 单步荷载模型的验证
将由单步荷载模型得到的单步荷载和连续行走外力与多种测量的外力对比[5,7,12,30]如图5所示。从对比中可以明显看出多种由模型得到的外力与测量值大致相符。另外，微小差异来源于：(1)由Young推荐的4阶谐波的DLF来自数据回归；(2)Ebrahimpour推导的连续行走外力的周期也是数据归纳得到；(3)实际测量时由不同测量方式引入的不可避免的误差。
Fig5.单步模型和行走外力测量值的比较。(a)单步模型和Kerr的单步荷载测量值的比较(fs=1.6Hz)。(b)单步模型和Kerr的连续行走外力测量值的比较(fs=1.6Hz)。(c)单步模型和Ellingwood的单步荷载测量值的比较(fs=1.7Hz)。(d)单步模型和Ellingwood的连续行走外力测量值的比较(fs=1.7Hz)。(e)单步模型和Ebrahimpour的单步荷载测量值的比较(fs=1.85Hz)。(f)单步模型和Ebrahimpour的连续行走外力测量值的比较(fs=1.85Hz)。(g)单步模型和Kerr的单步荷载测量值的比较(fs=1.9Hz)。(h)单步模型和Kerr的连续行走外力测量值的比较(fs=1.9Hz)。(i)单步模型和Bachmann和Ellingwood的单步荷载测量值的比较(fs=2.0Hz)。(j)单步模型和Bachmann和Ellingwood的连续行走外力测量值的比较(fs=2.0Hz)。
- 时域中人群产生的人行桥振动
人行桥在x截面的柔性变形是
(9)
其中EI，m，c和u(x，t)分别是刚度，线密度，粘滞阻尼系数和人行桥的竖向位移。F(x，t)是外力。假设步距一定，图6表示了人行桥在空间和时间上的人致激励。由于第i个行人由时间t=ti开始从左边x=xi (0le;xile;∆l)处上桥，而第i个行人由时间t=ti开始从左边x=xi (0le;xile;∆l)处上桥，人群荷载方程写作
(10)
其中H(t，ti)=U(t-ti)-U(t-(ti L/vi))，Fei(t)和Fei(t)是第i个行人从左边和右边上桥的单步荷载，而U(t)和。。分别是单位步方程和Dirac delta方程，其定义是
(11)
(12)
方程10中，∆l, L和K分别表示步长，人行桥跨度和与人行桥接触的脚的总数。N和N分别是左边和右边的行人总数。tsi和tsi分别是左边和右边的第i个行人的单步荷载周期∆T是人流从右到左的延迟时间。根据方程9，由于人行桥的粘滞阻尼符合Rayleigh阻尼，n阶解耦的单自由度人行桥振动方程写作
(13)
其中omega;n, Mn<!-- 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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